Mi aiutereste con questo limite?
$\lim_{x \to \+infty}(xe^(1/x) - x + 1)/(sqrt(x^2 + 1) -x)$
nelle soluzioni c'è solo scritto di tener presente che la funzione è pari dopo opportuni passaggi, ma io non ci cavo un ragno da un buco...
vi ringrazio per gli aiuti
nelle soluzioni c'è solo scritto di tener presente che la funzione è pari dopo opportuni passaggi, ma io non ci cavo un ragno da un buco...
vi ringrazio per gli aiuti
Risposte
Quella funzione non è pari, forse la traccia si riferisce a qualche altra cosa. E in ogni caso non vedo a cosa ti possa servire la parità.
Ti consiglio di razionalizzare, ovvero moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(x^2+1)+x$.
Ti consiglio di razionalizzare, ovvero moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(x^2+1)+x$.
Mi potresti dire di che "armi" disponi? Credo di aver trovato una soluzione, che però sfrutta gli infinitesimi...
Dopo la razionalizzazione consigliata da MeganOOb il limite diventa $lim_(x \to +\infty)((xe^(1/x)-x+1)*(sqrt(x^2+1)+x))/(x^2+1-x^2)=lim_(x \to +\infty)[x(e^(1/x)-1)+1](sqrt(x^2+1)+x)$, dove ho raccolto parzialmente la $x$. Adesso procedo così:
$lim_(x \to +\infty)[x(e^(1/x)-1)(sqrt(x^2+1)+x)+(sqrt(x^2+1)+x)]$
Ma $e^(1/x)-1 \sim 1/x$, per cui posso riscrivere
$lim_(x \to +\infty)[x*1/x*(sqrt(x^2+1)+x)+(sqrt(x^2+1)+x)]=lim_(x \to +\infty)2(sqrt(x^2+1)+x)=+\infty$...
Cosa te ne pare?
Dopo la razionalizzazione consigliata da MeganOOb il limite diventa $lim_(x \to +\infty)((xe^(1/x)-x+1)*(sqrt(x^2+1)+x))/(x^2+1-x^2)=lim_(x \to +\infty)[x(e^(1/x)-1)+1](sqrt(x^2+1)+x)$, dove ho raccolto parzialmente la $x$. Adesso procedo così:
$lim_(x \to +\infty)[x(e^(1/x)-1)(sqrt(x^2+1)+x)+(sqrt(x^2+1)+x)]$
Ma $e^(1/x)-1 \sim 1/x$, per cui posso riscrivere
$lim_(x \to +\infty)[x*1/x*(sqrt(x^2+1)+x)+(sqrt(x^2+1)+x)]=lim_(x \to +\infty)2(sqrt(x^2+1)+x)=+\infty$...
Cosa te ne pare?
Il limite dovrebbe essere + infinito.
Applicando Taylor e tenendo presente che x sta tendendo a più infinito e quindi ragionevolemnte possiamo considerare un intervallo in cui sia positiva
$=LIM(x+1-x+1+o(1/x))/((x^2(1+(1/(x^2))))^(1/2)-x)=LIM(2+o(1/x))/(x((1+1/(x^2))^(1/2)-1))=$ $=LIM(2+o(1/x))/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))=LIM(2)/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))+(o(1/x))/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))=$
$=LIM(2)/(1/(2x)+o(1/x))+0=LIM4x=$ + infinito
A meno di sviste o altri errori
Applicando Taylor e tenendo presente che x sta tendendo a più infinito e quindi ragionevolemnte possiamo considerare un intervallo in cui sia positiva
$=LIM(x+1-x+1+o(1/x))/((x^2(1+(1/(x^2))))^(1/2)-x)=LIM(2+o(1/x))/(x((1+1/(x^2))^(1/2)-1))=$ $=LIM(2+o(1/x))/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))=LIM(2)/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))+(o(1/x))/(x(1/(2x^2)+o(1/(x^2))))=$
$=LIM(2)/(1/(2x)+o(1/x))+0=LIM4x=$ + infinito
A meno di sviste o altri errori
vi ringrazio innanzitutto..
prima per la fretta non ho scritto tutto, e mi scuso
ora vi scrivo i passaggi, che son riuscito a trovare in una soluzione : vi anticipo che il limite tende + 1, avevo provato infatti inizialmente con Derive per avere almeno "la fine"..
evito di scrivere la razionalizzazione e parto subito dal passaggio successivo
$\lim_{x\to \+infty}(sqrt(x^2 + 1) + x)*(xe^(1/x) - x + 1)$ = $\lim_{x\to \+infty}((sqrt(x^2 + 1) + x)/x)*x(xe^(-1/x) - x + 1))$
=$\lim_{x\to \+infty}((sqrt(x^2 + 1) + x)/x)$*$\lim_{x\to \+infty}(x(xe^(-1/x) - x + 1))$
immagino che il fatto che la soluzione si riferisse alla parità della funziona entra ora. Infatti la soluzione continua con
$\2lim_{x\to \+infty}(x(xe^(-1/x) - x + 1))$
pone poi y=1/x
$\2lim_{y\to \0+}((e^(-y))/y - 1/y+ 1)/y$
$\2lim_{y\to \0+}(e^(-y) - 1+ y)/y$
applica poi l'hopital
$\lim_{y\to \0+}(e^(-y) - 1+ y)/y^2$
$\lim_{y\to \0+}(-e^(-y) +1)/(2y)$
2* 1/2 = +1
spero sappiate spiegarmi perchè, a metà, mi toglie metà limite.. non ce la faccio a capirlo e sui testi non trovo un riscontro... vi ringrazio per l'aiuto ancora
prima per la fretta non ho scritto tutto, e mi scuso
ora vi scrivo i passaggi, che son riuscito a trovare in una soluzione : vi anticipo che il limite tende + 1, avevo provato infatti inizialmente con Derive per avere almeno "la fine"..
evito di scrivere la razionalizzazione e parto subito dal passaggio successivo
$\lim_{x\to \+infty}(sqrt(x^2 + 1) + x)*(xe^(1/x) - x + 1)$ = $\lim_{x\to \+infty}((sqrt(x^2 + 1) + x)/x)*x(xe^(-1/x) - x + 1))$
=$\lim_{x\to \+infty}((sqrt(x^2 + 1) + x)/x)$*$\lim_{x\to \+infty}(x(xe^(-1/x) - x + 1))$
immagino che il fatto che la soluzione si riferisse alla parità della funziona entra ora. Infatti la soluzione continua con
$\2lim_{x\to \+infty}(x(xe^(-1/x) - x + 1))$
pone poi y=1/x
$\2lim_{y\to \0+}((e^(-y))/y - 1/y+ 1)/y$
$\2lim_{y\to \0+}(e^(-y) - 1+ y)/y$
applica poi l'hopital
$\lim_{y\to \0+}(e^(-y) - 1+ y)/y^2$
$\lim_{y\to \0+}(-e^(-y) +1)/(2y)$
2* 1/2 = +1
spero sappiate spiegarmi perchè, a metà, mi toglie metà limite.. non ce la faccio a capirlo e sui testi non trovo un riscontro... vi ringrazio per l'aiuto ancora
Ma adesso hai cambiato funzione! non è più $(xe^(1/x)-x+1)/(sqrt(x^2+1)-x)$, ma $(xe^(-1/x)-x+1)/(sqrt(x^2+1)-x)$... Io ho fatto fare i conti a Mathematica... Per la prima viene fuori $+\infty$ (come sostenevamo io e Feliciano), per la seconda invece viene fuori $+1$...
Comunque non ha tolto $lim_(x \to +infty)(sqrt(x^2+1)+x)/x$, ma lo ha sostituito con il suo risultato, cioè $2$!
Infatti $lim_(x \to +infty)(sqrt(x^2+1)+x)/x=lim_(x \to +infty)(sqrt((x^2+1)/x^2)+1)=lim_(x \to +\infty)(sqrt(1+1)+1)=2!
Comunque non ha tolto $lim_(x \to +infty)(sqrt(x^2+1)+x)/x$, ma lo ha sostituito con il suo risultato, cioè $2$!
Infatti $lim_(x \to +infty)(sqrt(x^2+1)+x)/x=lim_(x \to +infty)(sqrt((x^2+1)/x^2)+1)=lim_(x \to +\infty)(sqrt(1+1)+1)=2!
scusatemi molto, mi sono accorto ora!
veramente mi dispiace, è che mi son perso dentro il codice che era la prima volta che usavo! scusate per avervi fatto perdere tempo!
ok, allora era veramente semplice... in effetti è vero, riguardandolo è proprio facile.. devo prendermi una pausa
vi ringrazio nuovamente!
veramente mi dispiace, è che mi son perso dentro il codice che era la prima volta che usavo! scusate per avervi fatto perdere tempo!
ok, allora era veramente semplice... in effetti è vero, riguardandolo è proprio facile.. devo prendermi una pausa
vi ringrazio nuovamente!
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