Mi aiutate a capire questi integrali
Stavo cercando di capire integrale $int(1/(sin^n(x)cos^m(x))). n,m=2k$ il libro mi mostra un metodo che io non capisco mi mostrate voi come lo fate please
Risposte
Insomma, vuoi calcolare un integrale del tipo:
\[
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed uguali?
Oppure un integrale tipo:
\[
\int \frac{1}{\sin^{2h} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed, in generale, diversi?
\[
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed uguali?
Oppure un integrale tipo:
\[
\int \frac{1}{\sin^{2h} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed, in generale, diversi?
Allora sul libro c'è scritto che lesponent,e é negativo di stessa parità
Qualcuno che mi aiuta non c'è?
Qual è il problema nel ragionamento del libro (che ancora non hai detto qual è...)?
Suppongo si tratti di fare un'opportuna sostituzione o un'opportuna manipolazione delle funzioni trigonometriche, no?
Suppongo si tratti di fare un'opportuna sostituzione o un'opportuna manipolazione delle funzioni trigonometriche, no?
Si tratta di una manipolazioni che non so riscrivere vi posso dire che scomponeva in $int csc^n(x)*sec^(m-2)(x)d(tan(x))$
Che poi diventa
$int (1+1/(tan^2(x)))^(n/2)(1+tan^2(x))^((m-2)/2)d(tg(x))$
E continua cosi
$int (1+tan^2(x))^((n+m)/2-1)/(tan^n(x))d(tan(x))$
Ora io non ho capito perché prende la derivata della tangente poi perché la secante é alla m-2
Nel secondo passaggio perche lo eleva alla n/2 e (m-2)/2
In poche parole non ho capito che procedimento segue
Che poi diventa
$int (1+1/(tan^2(x)))^(n/2)(1+tan^2(x))^((m-2)/2)d(tg(x))$
E continua cosi
$int (1+tan^2(x))^((n+m)/2-1)/(tan^n(x))d(tan(x))$
Ora io non ho capito perché prende la derivata della tangente poi perché la secante é alla m-2
Nel secondo passaggio perche lo eleva alla n/2 e (m-2)/2
In poche parole non ho capito che procedimento segue
Non c'è nessuno che mi sblocca la situazione?
Ma nessuno mi può aiutare sono bloccato non posso andare avanti
Innanzitutto, leggi il regolamento ed impara a non uppare un thread di continuo.
Per il resto, probabilmente ti puoi muovere così:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2h} x}\ \text{d} x &= \int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2(h-1)} x}\ \underbrace{\frac{1}{\cos^2 x}}_{=(\tan x)^\prime}\ \text{d} x \\
&= \int \left( \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x}\right)^k\ \left( \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x\\
&= \int \left( 1+\frac{1}{\tan^2 x}\right)^k\ (1+\tan^2 x)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x \\
&\stackrel{t=\tan x}{=} \int \left( 1+\frac{1}{t^2}\right)^k (1+t^2)^{h-1}\ \text{d} t \\
&= \int \frac{(1+t^2)^{k+h-1}}{t^{2k}}\ \text{d} t \\
&\stackrel{\tau =t^2}{=} \int \frac{(1+\tau)^{k+h-1}}{2\ \tau^{k+1/2}}\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
ma devi farti i conti...
Per il resto, probabilmente ti puoi muovere così:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2h} x}\ \text{d} x &= \int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2(h-1)} x}\ \underbrace{\frac{1}{\cos^2 x}}_{=(\tan x)^\prime}\ \text{d} x \\
&= \int \left( \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x}\right)^k\ \left( \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x\\
&= \int \left( 1+\frac{1}{\tan^2 x}\right)^k\ (1+\tan^2 x)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x \\
&\stackrel{t=\tan x}{=} \int \left( 1+\frac{1}{t^2}\right)^k (1+t^2)^{h-1}\ \text{d} t \\
&= \int \frac{(1+t^2)^{k+h-1}}{t^{2k}}\ \text{d} t \\
&\stackrel{\tau =t^2}{=} \int \frac{(1+\tau)^{k+h-1}}{2\ \tau^{k+1/2}}\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
ma devi farti i conti...
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