Mi aiutate a capire questi integrali

blake1
Stavo cercando di capire integrale $int(1/(sin^n(x)cos^m(x))). n,m=2k$ il libro mi mostra un metodo che io non capisco mi mostrate voi come lo fate please

Risposte
gugo82
Insomma, vuoi calcolare un integrale del tipo:
\[
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed uguali?
Oppure un integrale tipo:
\[
\int \frac{1}{\sin^{2h} x\ \cos^{2k} x}\ \text{d} x\; ,
\]
con gli esponenti pari ed, in generale, diversi?

blake1
Allora sul libro c'è scritto che lesponent,e é negativo di stessa parità

blake1
Qualcuno che mi aiuta non c'è?

gugo82
Qual è il problema nel ragionamento del libro (che ancora non hai detto qual è...)?
Suppongo si tratti di fare un'opportuna sostituzione o un'opportuna manipolazione delle funzioni trigonometriche, no?

blake1
Si tratta di una manipolazioni che non so riscrivere vi posso dire che scomponeva in $int csc^n(x)*sec^(m-2)(x)d(tan(x))$
Che poi diventa
$int (1+1/(tan^2(x)))^(n/2)(1+tan^2(x))^((m-2)/2)d(tg(x))$
E continua cosi
$int (1+tan^2(x))^((n+m)/2-1)/(tan^n(x))d(tan(x))$
Ora io non ho capito perché prende la derivata della tangente poi perché la secante é alla m-2
Nel secondo passaggio perche lo eleva alla n/2 e (m-2)/2
In poche parole non ho capito che procedimento segue

blake1
Non c'è nessuno che mi sblocca la situazione?

blake1
Ma nessuno mi può aiutare sono bloccato non posso andare avanti

gugo82
Innanzitutto, leggi il regolamento ed impara a non uppare un thread di continuo.

Per il resto, probabilmente ti puoi muovere così:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2h} x}\ \text{d} x &= \int \frac{1}{\sin^{2k} x\ \cos^{2(h-1)} x}\ \underbrace{\frac{1}{\cos^2 x}}_{=(\tan x)^\prime}\ \text{d} x \\
&= \int \left( \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x}\right)^k\ \left( \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x\\
&= \int \left( 1+\frac{1}{\tan^2 x}\right)^k\ (1+\tan^2 x)^{h-1}\ (\tan x)^\prime\ \text{d} x \\
&\stackrel{t=\tan x}{=} \int \left( 1+\frac{1}{t^2}\right)^k (1+t^2)^{h-1}\ \text{d} t \\
&= \int \frac{(1+t^2)^{k+h-1}}{t^{2k}}\ \text{d} t \\
&\stackrel{\tau =t^2}{=} \int \frac{(1+\tau)^{k+h-1}}{2\ \tau^{k+1/2}}\ \text{d} \tau
\end{split}
\]
ma devi farti i conti...

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.