Mi aiutate a capire definitivamente le derivate?
Ciao a tutti... sono nuovo del forum
Non ho solide basi matematiche alle spalle... e in vista dell'esame di Analisi uno devo assolutamente capire alcuni concetti.
ho una funzione:
F(x) = x^6 - 2^x
L'esercizio mi chiede per quali valori di x è derivabile?
Ecco... io non so che pesci pigliare...
So cosa sia una derivata, la so calcolare... ma non so rispondere...
AIUTO.
Non ho solide basi matematiche alle spalle... e in vista dell'esame di Analisi uno devo assolutamente capire alcuni concetti.
ho una funzione:
F(x) = x^6 - 2^x
L'esercizio mi chiede per quali valori di x è derivabile?
Ecco... io non so che pesci pigliare...
So cosa sia una derivata, la so calcolare... ma non so rispondere...
AIUTO.
Risposte
È derivabile in tutto il suo dominio, perché data dalla composizione di funzioni derivabili ovunque (polinomi e esponenziali).
vorrei imparare a capire quando e dove una funzione è derivabile.
come si fa?
come si fa?
"pj84":
vorrei imparare a capire quando e dove una funzione è derivabile.
come si fa?
I QUINDICI COMANDAMENTI
I. La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni derivabili sono derivabili.
II. Il rapporto di funzioni derivabili il cui denominatore è non nullo è una funzione derivabile.
III. La potenza ad esponente naturale di una funzione derivabile è derivabile.
IV. La potenza ad esponente intero negativo di una funzione derivabile e non nulla è derivabile.
V. La potenza ad esponente razionale positivo col denominatore dispari di una funzione derivabile è derivabile.
VI. La potenza ad esponente razionale positivo col denominatore pari di una funzione derivabile e non negativa è derivabile nei punti in cui la funzione non è nulla.
VII. La potenza ad esponente razionale negativo col denominatore dispari di una funzione non nulla derivabile è derivabile.
VIII.La potenza ad esponente razionale negativo col denominatore pari di una funzione positiva derivabile è derivabile.
IX. La potenza ad esponente reale qualsiasi di una funzione positiva e derivabile è derivabile.
X. L'esponenziale che ha come base un numero positivo e come esponente una funzione derivabile è derivabile.
XI. L'esponenziale che ha per base una funzione positiva e derivabile e come esponente una funzione derivabile è derivabile.
XII. Il logaritmo che ha per base un numero positivo diverso da $1$ e come argomento una funzione positiva derivabile è derivabile.
XIII. Il logaritmo che ha per base una funzione positiva, sempr diversa da $1$ e derivabile e come argomento una funzione positiva derivabile è derivabile.
XIV. La funzione composta da due funzioni componibili e derivabili è derivabile.
XV. Tutte le funzioni elementari sono derivabili nei punti dei propri insiemi di definizione nei quali rispettino i requisiti dei precedenti comandamenti.
Dopo averli dettati, il dio della Matematica chiese allo studente che trascriveva: - Devo continuare o sei abbastanza maturo per capire che sto enunciando casi particolari di teoremi che si studiano in Analisi I? -
@pj84
Un metodo meno "teorico" e più "pratico" è derivare e vedere come si comporta effettivamente $f'(x)$.
Nell'esempio da te postato:
$f(x)=x^6-2^x$.
Il suo dominio è tutto $RR$. Vale che $f'(x)=6x^5-2^x*ln2$. Anche $f'(x)$ ha dominio $RR$, quindi $f(x)$ ammette ovunque derivata prima.
Un metodo meno "teorico" e più "pratico" è derivare e vedere come si comporta effettivamente $f'(x)$.
Nell'esempio da te postato:
$f(x)=x^6-2^x$.
Il suo dominio è tutto $RR$. Vale che $f'(x)=6x^5-2^x*ln2$. Anche $f'(x)$ ha dominio $RR$, quindi $f(x)$ ammette ovunque derivata prima.
"matths87":
@pj84
Un metodo meno "teorico" e più "pratico" è derivare e vedere come si comporta effettivamente $f'(x)$.
Nell'esempio da te postato:
$f(x)=x^6-2^x$.
Il suo dominio è tutto $RR$. Vale che $f'(x)=6x^5-2^x*ln2$. Anche $f'(x)$ ha dominio $RR$, quindi $f(x)$ ammette ovunque derivata prima.
e' un metodo generale (cioe' puo' essere applicato "alla cieca")?
Certo. E non è un metodo di seconda scelta, credo sia quello che tutti noi utilizziamo per determinare l'insieme di derivabilità di funzioni un po' complesse.
Con questo voglio dire che se hai funzioni "semplici" come somme, prodotti o quozienti di funzioni elementari ti conviene applicare le regole.
Se hai composizione di funzioni in cui non si vede bene come si "attacchino" l'una all'altra le funzioni semplici di cui è composta allora deriva tutto e vedi dove è definita la derivata.
Con questo voglio dire che se hai funzioni "semplici" come somme, prodotti o quozienti di funzioni elementari ti conviene applicare le regole.
Se hai composizione di funzioni in cui non si vede bene come si "attacchino" l'una all'altra le funzioni semplici di cui è composta allora deriva tutto e vedi dove è definita la derivata.
Dissento:
$f(x)=logx$ è definita in $]0,+oo[$
la sua derivata:
$f'(x)=1/x$ secondo il vostro principio direi:
la $f'$ è definita in $RR-{0}$ allora la $f$ è derivabile in $RR-{0}$.
Che è sbagliato.
Più corretto dire che è derivabile in $Dom(f') cap Dom(f)$, così alla cieca..ma probabilmente si possono costruire ad ok dei controesempi anche per questa..
Secondo me è più corretto dire: è derivabile dove ha senso il concentto di derivata, ossia dove esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale. Quindi sicuramente $Dom(f') cap Dom(f) subset$ insieme di derivabilità.
Falso: $f(x)=sqrt(x)$ non è derivabile in 0, ma è qui definita.
Però mi rendo conto che così non facilito per niente il lavoro di pj84..ho messo troppa carne al fuoco.
Ma è meglio avere un'informazione complessa e pesante, che leggera ed errata
$f(x)=logx$ è definita in $]0,+oo[$
la sua derivata:
$f'(x)=1/x$ secondo il vostro principio direi:
la $f'$ è definita in $RR-{0}$ allora la $f$ è derivabile in $RR-{0}$.
Che è sbagliato.
Più corretto dire che è derivabile in $Dom(f') cap Dom(f)$, così alla cieca..ma probabilmente si possono costruire ad ok dei controesempi anche per questa..
Secondo me è più corretto dire: è derivabile dove ha senso il concentto di derivata, ossia dove esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale. Quindi sicuramente $Dom(f') cap Dom(f) subset$ insieme di derivabilità.
Tutte le funzioni elementari sono derivabili nei propri insiemi di definizione.
Falso: $f(x)=sqrt(x)$ non è derivabile in 0, ma è qui definita.
Però mi rendo conto che così non facilito per niente il lavoro di pj84..ho messo troppa carne al fuoco.
Ma è meglio avere un'informazione complessa e pesante, che leggera ed errata
"Gaal Dornick":
Più corretto dire che è derivabile in $Dom(f') cap Dom(f)$, così alla cieca..ma probabilmente si possono costruire ad ok dei controesempi anche per questa..
che ci siano dei controesempi anche per questa lo sospetto anch'io (a naso), se ti viene subito in mente postalo, cosi' ci togliamo questo dubbio.
"codino75":
[quote="Gaal Dornick"]
Più corretto dire che è derivabile in $Dom(f') cap Dom(f)$, così alla cieca..ma probabilmente si possono costruire ad ok dei controesempi anche per questa..
che ci siano dei controesempi anche per questa lo sospetto anch'io (a naso), se ti viene subito in mente postalo, cosi' ci togliamo questo dubbio.[/quote]
Non so se può funzionare come controesempio...
Prendi
$f(x) = sgn(x)$ (con la convenzione $sgn(0) = 0$)
Il dominio di $f$ è tutto $RR$ e la derivata (dove esiste!!!) è $0$, che è definita su tutto $RR$, ma l'insieme di derivabilità è $RR \setminus {0}$.
"Gaal Dornick":
Dissento:
$f(x)=logx$ è definita in $]0,+oo[$
la sua derivata:
$f'(x)=1/x$ secondo il vostro principio direi:
la $f'$ è definita in $RR-{0}$ allora la $f$ è derivabile in $RR-{0}$.
Sbagliato.
La derivata di una funzione $f$, per definizione, è definita solo nei punti $x_0$ di accumulazione appartenenti all'insieme di definizione di $f$ in cui esiste finito il limite del rapporto incrementale $lim_(xto x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$: ne consegue l'insieme dei punti di derivabilità di $f$ è contenuto nel suo insieme di definizione (infatti, se un punto $x_0$ non appartiene all'insieme di definizione, come lo calcoli il rapporto incrementale?).
Per usare il tuo esempio, la derivata prima di $log x$ non è la funzione $g:RR-{0} to RR, g(x)=1/x$ bensì è l'applicazione $h: (0,+oo)to RR, h(x)=1/x$. Benchè le due leggi di assegnazione coincidano su $(0,+oo)$ le due applicazioni non sono uguali (anzi $g$ è un prolungamento proprio di $h$).
"Gaal Dornick":Tutte le funzioni elementari sono derivabili nei propri insiemi di definizione.
Falso: $f(x)=sqrt(x)$ non è derivabile in 0, ma è qui definita.
Ok, vado a modificare il mio post precedente.
Errore dettato dalla fretta.
Attenzione: quello che è stato proposto era di vedere prima la FUNZIONE DERIVATA (senza studiare il dominio della funzione di partenza, e quindi neanche i punti di accumulazione) e POI guardare il dominio di tale funzione... Beh, non è detto che coincida con l'insieme dei punti di derivabilità, no?
Andiamoci piano con le regole "preconfezionate".
Mi ricordo la funzione:
$f(x) = x^2 cos (1/x)$ se $x ne 0$
$f(x) = 0$ se $x=0$
ammette derivata nell'origine (bisogna fare il rapporto incrementale),
ma derivata non è definita in $x=0$..
Mi ricordo la funzione:
$f(x) = x^2 cos (1/x)$ se $x ne 0$
$f(x) = 0$ se $x=0$
ammette derivata nell'origine (bisogna fare il rapporto incrementale),
ma derivata non è definita in $x=0$..
@ gugo
sono d'accordo con te, il mio era semplicemente uno smentire il discorso di Megan, che è intuitivamente valido, ma cade non appena ci si sofferma un po'..
@pj84:
cerco di dirti quali sono i teoremi che ti servono..cerca poi di generalizzare quest'idea, e di rendertela intuitiva: non dovresti pensarci più di 0.5 secondi..
Hai dimostrato che:
1) data ($n in NN, n>0$)$f:RR->RR$ $f(x)=x^n$ essa è derivabile in $RR$ e $f'(x)=nx^(n-1)$
2) data $h:RR->RR$ $h(x)=2^x$ essa è derivabile in $RR$ e $h'(x)=ln(2)*2^x$
3) data $f:RR->RR$ derivabile su $RR$ allora $AAc in RR: cf$ è derivabile su $RR$ e $D(c*f)(x)=c*D(f)(x)$
4) date $f:RR->RR$ e $g:RR->RR$ derivabili su $RR$ allora f+g è derivabile su $RR$ e $D(f+g)(x)=f'(x)+g'(x)$
quindi i passaggi che devi fare sono:
$x^6$ e $2^x$ sono derivabili su $RR$ (1) e (2), allora anche $-1*2^x$ è derivabile su $RR$ (3 -qui c=-1)
allora $x^6-2^x$ è derivabile su $RR$
e $D(x^6-2^x)=D(x^6)-1*D(2^x)=6x^5-2^x*ln2$
boh non so se sono stato chiarificatore..
sono d'accordo con te, il mio era semplicemente uno smentire il discorso di Megan, che è intuitivamente valido, ma cade non appena ci si sofferma un po'..
@pj84:
cerco di dirti quali sono i teoremi che ti servono..cerca poi di generalizzare quest'idea, e di rendertela intuitiva: non dovresti pensarci più di 0.5 secondi..
Hai dimostrato che:
1) data ($n in NN, n>0$)$f:RR->RR$ $f(x)=x^n$ essa è derivabile in $RR$ e $f'(x)=nx^(n-1)$
2) data $h:RR->RR$ $h(x)=2^x$ essa è derivabile in $RR$ e $h'(x)=ln(2)*2^x$
3) data $f:RR->RR$ derivabile su $RR$ allora $AAc in RR: cf$ è derivabile su $RR$ e $D(c*f)(x)=c*D(f)(x)$
4) date $f:RR->RR$ e $g:RR->RR$ derivabili su $RR$ allora f+g è derivabile su $RR$ e $D(f+g)(x)=f'(x)+g'(x)$
quindi i passaggi che devi fare sono:
$x^6$ e $2^x$ sono derivabili su $RR$ (1) e (2), allora anche $-1*2^x$ è derivabile su $RR$ (3 -qui c=-1)
allora $x^6-2^x$ è derivabile su $RR$
e $D(x^6-2^x)=D(x^6)-1*D(2^x)=6x^5-2^x*ln2$
boh non so se sono stato chiarificatore..
"franced":
Andiamoci piano con le regole "preconfezionate".
Mi ricordo la funzione:
$f(x) = x^2 cos (1/x)$ se $x ne 0$
$f(x) = 0$ se $x=0$
ammette derivata nell'origine (bisogna fare il rapporto incrementale),
ma derivata non è definita in $x=0$..
per me sarebbe interessante trovare una funzione f(x) che sia "definita da una unica espressione" tale che per essa non valga che:
f(x) e' derivabile nell'intersezione tra il suo insieme di definizione e l'insieme di definizione di f'(x), dove:
f'(x) e' la "derivata di f(x) calcolata con le note formule di derivazione".
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