Metriche sui naturali.

[anto_zoolander]

Ciao!

Solitamente quando si ha a che fare con successioni in uno spazio metrico, si usano metriche sui numeri naturali?
Faccio un esempio: sia $x:NN->X$ una successione con $(X,d)$ spazio metrico, diremo che $x inX$ è il limite di $(x_n)$ se

$forallepsilon>0existsm inNN:d(x_n,x)m$

Per questo tipologia di limite, quale metrica si usa?

[dissonance]

Questa domanda non significa nulla. "Quale metrica si usa" lo hai scritto tu stesso.

[otta96]

Ma $x$ è una successione o un punto? E poi che intendi con quale metrica usiamo?

[anto_zoolander]

@dissonance
Sei monotono.

@otta
$x$ è un punto.
Sfruttando la definizione di ‘limiti di funzioni tra spazi metrici’, quale metrica si definisce su $NN$ usualmente?

Solitamente dati gli spazi metrici $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ è una funzione $f:X->Y$ si dice che $y inY$ è il limite di $f$ in $x_0$ se

$forallepsilon>0existsdelta>0:d_Y(f(x),f(y))

Ora se $X=NN$ si usa una particolare metrica su $NN$ oppure è una definizione che non usa questi concetti?

Cita

Segnala

[otta96]

Nella definizione che uso io (e che credo sia la più diffusa) di limite chiedo anche che $x!=x_0$ alla fine.
Mi dici chi sarebbe nel caso di una successione l'$x_0$ della definizione che hai dato sotto?
Comunque ricontrolla anche che nome hai dato alla tua successione all'inizio.

[anto_zoolander]

Si ho aggiunto il $0<$ che avevo dimenticato. Comunque per esempio considerando $X=RR$ con metrica euclidea e la successione $x_n=1/n$

Si ha che $forallepsilon>0existsk inNN:|1/n-0|k$

Questa scrittura discende formalmente da concetti metrici, oppure è qualcosa che si definisce a priori?

[dissonance]

Sarò monotono ma la qualità dei tuoi post non migliora, Anto. E' vero che ti ho preso di punta, ma non ti critico mai senza motivo, e se lo faccio è perché anche io ho ricevuto e ricevo molte critiche costruttive, anche dure (uno che faceva così con me, su questo forum, era Fioravante Patrone, e gliene sono grato).

Se ti senti offeso dalle mie critiche smetto semplicemente di leggere i tuoi post.

[anto_zoolander]

Non mi sono offeso, altrimenti avrei dovuto farlo da tempo.
Quando posto un quesito, solitamente lo faccio perché non mi viene nulla in mente e quindi cerco più che altro aiuto per rassettare le idee.

[dissonance]

E va benissimo farlo. Ma tu eri perfettamente in grado di porlo molto meglio di così. Così come hai fatto, la tua domanda iniziale, quella del primo post, non ha senso. Come sempre non ti sei riletto prima di postare e non hai scritto con sufficiente attenzione.

Io in realtà ho capito cosa volevi sapere, e se non ho risposto l'ho fatto apposta. Una successione si può considerare come una funzione di \(\mathbb N\) in \(\mathbb X\), dove \(X\) è il tuo spazio metrico. Quale *topologia* si deve mettere su \(\mathbb N\) affinché l'usuale definizione di "limite di successione" coincida con la definizione di limite nel senso degli spazi topologici? Questa topologia viene da una metrica?

La risposta è che bisogna considerare \(\mathbb N\) come un sottoinsieme di \(\mathbb N\bigcup \{+\infty\}\), che a sua volta è un sottoinsieme di \([0, +\infty]\). (Questo spazio topologico si chiama "compattificazione di Alexandroff" della semiretta \([0, \infty)\)). I limiti di successione, come pure i limiti all'infinito di variabile reale, coincidono con i limiti a \(+\infty\) di questo spazio topologico.

Inoltre questo spazio topologico è metrizzabile. Una metrica è la seguente:
\[
d(x, y)=|\arctan x - \arctan y|.\]

(Adesso devo scappare ma se vuoi ne riparliamo dopo)

[anto_zoolander]

Forse dovrei ridurre la presunzione nel considerare che qualcuno si scervelli nel capire quello che scrivo di fretta

Partiamo dal fatto che di topologia ancora non ho fatto molto, visto che la studierò in estate come unica materia per capirla per benino.
Sulla definizione di limite so quanto segue.

siano $(X,T_X)$ e $(Y,T_Y)$ spazi topologici e $f:X->Y$ una funzione.
Dato $x_0 inX$ di accumulazione per $X$, diremo che $linY$ è il limite della funzione in $x_0$ se

$forallU inT_Y(l inU)existsV inT_X(x inU):f(XcapV)subseteqU$

il mio problema è nato proprio da due considerazioni che bisogna fare:

$1-$ $x_0inX$ deve essere di accumulazione rispetto alla topologia su esso definita.
quale può essere una buona topologia per $NN$? Perchè questa possibile topologia dovrebbe esser buona?

$2-$ perchè questa topologia dovrebbe indurmi al considerare come unico punto di accumulazione il simbolo $+infty$?

Partendo dal primo punto, si potrebbe definire su $NN$ la metrica discreta e usare la topologia indotta da tale metrica.
Questa topologia sarebbe buona? Ma sopratutto cosa intendiamo per buona?
Avendo a che fare con l'analisi e la geometria, molto spesso, ciò che si fa(per quanto ho notato) è cercare di non staccare realtà e matematica e cercare di farle essere in un certo qual modo 'simili' in determinati ambiti.
Per esempio la metrica euclidea sui reali traduce molto bene quello che per noi quotidianamente può tradursi nel misurare una distanza tra due oggetti.

Sul simbolo $+infty$ chiaramente preferisco ascoltare prima di dire qualsiasi cosa.

Sto notando solo che andando sempre più avanti nello studio, ho sempre più voglia di tornare indietro perchè mi vado ricredendo su alcune cose, come sul fatto che $NNsubsetZZsubsetQQsubsetRRsubsetCC$ sia falso, ma che in realtà siano tutte immersioni e che quindi, per esempio, un numero naturale $n inNN$ non ha senso considerarlo in $RR$ bensì si può considerare una quantità aventi le stesse proprietà.
Oggi mi è venuta questa perplessità legata ai limiti, anche per la affermazione 'ogni successione è continua in un punto'.
Ho voglia di imparare bene, ma non posso ogni volta spendere $50€$ per un libro o passare due ore a cercare una cosa dovendo sostenere esami.

[dissonance]

Ho già risposto a tutte queste domande. RIPETO: Non è \(\mathbb N\) lo spazio giusto, ma \(\mathbb N\bigcup\{+\infty\}\). La metrica è
\[
d(n, m)=|\arctan n - \arctan m|, \]
con la convenzione che \(\arctan(+\infty)=\frac\pi2\).

[killing_buddha]

Sostanzialmente, a dirti qual è la topologia giusta da mettere su un insieme è ciò che vuoi ottenere da quella topologia. Per $NN$ hai [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Topologies_on_the_set_of_positive_integers]varie scelte[/url], e ciascuna è motivata dallo studiare una determinata cosa, o dal volere che $NN$ abbia o meno determinate proprietà.

[otta96]

"anto_zoolander":siano $(X,T_X)$ e $(Y,T_Y)$ spazi topologici e $f:X->Y$ una funzione.
Dato $x_0 inX$ di accumulazione per $X$, diremo che $linY$ è il limite della funzione in $x_0$ se

$forallU inT_Y(l inU)existsV inT_X(x inU):f(XcapV)subseteqU$

Alcune precisazioni: $f$ è sufficiente che sia definita in $X\setminus{x_0}$, non è tecnicamente indispensabile chiedere che $x_0$ sia di accumulazione (cioè, se non lo è si ottiene una definizione abbastanza poco interessante, ma io non me la sento di porre questa condizione proprio nella definizione, diciamo che preferisco aggiungerla dopo aver dato la definizione generale), nella parte finale non ha senso scrivere $XnnV$ perché $V\subX$, la cosa che sarebbe dovuta esserci è $V\setminus{x_0}$.
Ad ogni modo quello che hanno detto gli altri è più che gliusto, ma ti faccio notare che ci sono anche altre metriche che possono andare bene per i tuoi scopi su $NNuu{+\infty}$, per esempio $AAn,m\inNN,d(n,m)=|1/n-1/m|$ $d(n,+\infty)=1/n$, la distanza per le altre coppie possibili te le puoi dedurre dalle proprietà delle metriche, il punto è che ciò che ti interessa veramente è la topologia indotta, che deve venire la compattificazione di Alexandroff di uno spazio discreto numerabile (in cui il punto all'infinito è proprio $+\infty$).

[Indrjo Dedej]

[ot]

"anto_zoolander":(...) solo che andando sempre più avanti nello studio, ho sempre più voglia di tornare indietro perchè mi vado ricredendo su alcune cose, come sul fatto che $NNsubsetZZsubsetQQsubsetRRsubsetCC$ sia falso, ma che in realtà siano tutte immersioni e che quindi, per esempio, un numero naturale $n inNN$ non ha senso considerarlo in $RR$ bensì si può considerare una quantità aventi le stesse proprietà. (...)

Bravo! Stai attento però che con queste affermazioni puoi spargere del panico. Ahah, sto scherzando.
Però, sai una cosa? Ci ho pensato un po', anzi ci avevo fatto un pensierino qualche tempo fa. Dipende dall'approccio che fai. Per esempio: sovente si parte da $\mathbb{R}$ costruendolo con degli assiomi, per poi definire dall'alto gli altri insiemi numerici. Con la compattezza dell'algebra una via diventa postulare che esista (almeno) un insieme $\mathbb{R}$ per cui $(\mathbb{R},+,\cdot,\leq)$ sia un campo dotato di un ordine $\leq$ e completo. A questo punto posso definire $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ come suoi sottoinsiemi, propriamente detti, e dire $\mathbb{C}:=\mathbb{R}^2$. Però c'è anche una costruzione dal basso: parto con un'assiomatica per $\mathbb{N}$ e con il prodotto cartesiano e opportune relazioni (di equivalenza) costruisco gli interi e i razionali. Per passare ai reali è un'altro paio di maniche, ma si può fare. E per i complessi la strada è quella. In questo caso, ho che degli insiemi sono immersi in altri e si parla di inclusione in modo improprio. In definitiva dipende dall'approccio che hai nei confronti di questa situazione.

Purissima ignoranza: ma $\frac{1}{+\infty}$ non è una di quelle cosa del tipo "se io avrei"?[/ot]