Metriche definite tramite funzioni
Sia $(S,d)$ uno spazio metrico, $S'$ un insieme arbitrario ed $f:S'->S$ un'arbitraria funzione.
Si definisca $d':S'XS'->RR$ ponendo $d'(x',y')=d(f(x'),f(y'))$.
Dire se $d'$ è una metrica su $S'$. Se non lo è, determinare un'ipotesi su $f$ affinchè lo sia. La condizione considerata è anche necessaria?
Soluzione:
Mi sembra che 3 delle 4 proprietà che definiscono una metrica siano soddisfatte. L'unico problema è se $f(x')=f(y')$ con $x' != y'$ si avrebbe comunque $d'(x',y')=0$.
Dunque serve l'ipotesi che $f$ sia iniettiva. Questa condizione è necessaria e sufficiente.
E' corretto?
Si definisca $d':S'XS'->RR$ ponendo $d'(x',y')=d(f(x'),f(y'))$.
Dire se $d'$ è una metrica su $S'$. Se non lo è, determinare un'ipotesi su $f$ affinchè lo sia. La condizione considerata è anche necessaria?
Soluzione:
Mi sembra che 3 delle 4 proprietà che definiscono una metrica siano soddisfatte. L'unico problema è se $f(x')=f(y')$ con $x' != y'$ si avrebbe comunque $d'(x',y')=0$.
Dunque serve l'ipotesi che $f$ sia iniettiva. Questa condizione è necessaria e sufficiente.
E' corretto?
Risposte
Mmmmm e la disuguaglianza triangolare? Se [tex]$x'.\ y',\ z'\in S'$[/tex] allora
[tex]$d'(x'+y',z')=d(f(x'+y'),f(z'))$[/tex]
e non vedo come ques'ultima cosa possa essere [tex]$\leq d(f(x'),f(z'))+d(f(y'),f(z'))$[/tex] a meno di non imporre, ad esempio, che [tex]$f(x+y)=f(x)+f(y)$[/tex] (cioè che [tex]$f$[/tex] sia lineare).
Sicuramente la simmetria e la definita positività sono verificate. Per quanto riguarda la non-degeneratezza, effettivamente
[tex]$0=d'(x',y')=d(f(x'),f(y'))\ \Leftrightarrow\ f(x')=f(y')$[/tex]
e quindi mi sembra che sia necessario imporre l'iniettività della funzione [tex]$f$[/tex].
[tex]$d'(x'+y',z')=d(f(x'+y'),f(z'))$[/tex]
e non vedo come ques'ultima cosa possa essere [tex]$\leq d(f(x'),f(z'))+d(f(y'),f(z'))$[/tex] a meno di non imporre, ad esempio, che [tex]$f(x+y)=f(x)+f(y)$[/tex] (cioè che [tex]$f$[/tex] sia lineare).
Sicuramente la simmetria e la definita positività sono verificate. Per quanto riguarda la non-degeneratezza, effettivamente
[tex]$0=d'(x',y')=d(f(x'),f(y'))\ \Leftrightarrow\ f(x')=f(y')$[/tex]
e quindi mi sembra che sia necessario imporre l'iniettività della funzione [tex]$f$[/tex].
@ ciampax:
Non mi è chiaro che disuglianza triangolare intendi.
La disuguaglianza triangolare è per $S'$: $d'(x',y')<=d'(x',z')+d'(z',y')$.
Ora traducendo: $d(f(x'),f(y'))<=d((f(x'),f(z'))+d(f(z'),f(y'))$.
Ma $f(x')$, $f(y')$ e $f(z')$ sono elementi di $S$ e soddisfano quindi la disuguaglianza triangolare per $d$.
Questo dimostra che vale la disuguaglianza triangolare in $(S',d')$.
Non mi è chiaro che disuglianza triangolare intendi.
La disuguaglianza triangolare è per $S'$: $d'(x',y')<=d'(x',z')+d'(z',y')$.
Ora traducendo: $d(f(x'),f(y'))<=d((f(x'),f(z'))+d(f(z'),f(y'))$.
Ma $f(x')$, $f(y')$ e $f(z')$ sono elementi di $S$ e soddisfano quindi la disuguaglianza triangolare per $d$.
Questo dimostra che vale la disuguaglianza triangolare in $(S',d')$.
Concordo con robb, non è nemmeno detto che ci sia l'operazione "+" nell'insieme.
Paola
Paola
Bene, grazie ad entrambi.
L'esercizio continua e la seconda parte non mi è chiara:
Supponiamo $(S,d)$ completo. Sotto quali ipotesi su $f$ possiamo concludere che $(S',d')$ è completo?
Considero una successione di Cauchy $(x'_n)$ in $S'$.
Per come è definita $d'$ segue che $(f(x'_n))$ è di Cauchy in $S$.
Per la completezza di $S$, si ha che $f(x'_n)-> bar x$.
Se $EE bar x' in S': f(bar x')=bar x$ allora $x'_n -> bar x'$.
Mi sembra strano che basti solo supporre l'esistenza di questo $bar x'$, sarebbe banale; ho la sensazione che mi sfugga qualcosa.
(Mi sono interrogato ad esempio sulla possibilità che $f$ sia discontinua, e mi sembra impossibile).[/spoiler]
L'esercizio continua e la seconda parte non mi è chiara:
Supponiamo $(S,d)$ completo. Sotto quali ipotesi su $f$ possiamo concludere che $(S',d')$ è completo?
Considero una successione di Cauchy $(x'_n)$ in $S'$.
Per come è definita $d'$ segue che $(f(x'_n))$ è di Cauchy in $S$.
Per la completezza di $S$, si ha che $f(x'_n)-> bar x$.
Se $EE bar x' in S': f(bar x')=bar x$ allora $x'_n -> bar x'$.
Mi sembra strano che basti solo supporre l'esistenza di questo $bar x'$, sarebbe banale; ho la sensazione che mi sfugga qualcosa.
(Mi sono interrogato ad esempio sulla possibilità che $f$ sia discontinua, e mi sembra impossibile).[/spoiler]
Continuando il ragionamento di prima, ammesso che sia giusto, concluderei che $(S',d')$ è completo sicuramente se una successione convergente di elementi di $f(S)$ converge ad un punto appartenente ad $f(S)$, ovvero se $f(S)$ è chiuso. Questa sarebbe una condizione sufficiente per $S$.
Viceversa, se $(S',d')$ è completo, indicando con $bar x'$ il limite di una sua successione, il trasformato $f(bar x')$ deve coincidere con $bar x$, poichè negli spazi metrici vale l'unicità del limite.
Quindi la condizione $f(S)$ chiuso secondo $d$, è necessaria e sufficiente.
Smentite?
Viceversa, se $(S',d')$ è completo, indicando con $bar x'$ il limite di una sua successione, il trasformato $f(bar x')$ deve coincidere con $bar x$, poichè negli spazi metrici vale l'unicità del limite.
Quindi la condizione $f(S)$ chiuso secondo $d$, è necessaria e sufficiente.
Smentite?
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