Metriche che inducono la stessa topologia

[thedarkhero]

Cosa significa che due metriche inducono la stessa topologia?

[ViciousGoblin]

Che gli aperti costruiti a partire dalle due metriche sono gli stessi.

[gugo82]

"ViciousGoblin":Che gli aperti costruiti a partire dalle due metriche sono gli stessi.

E ciò si verifica se e solo se ogni palla aperta indotta dalla prima metrica è inclusa in una palla aperta indotta dalla seconda, e viceversa.


P.S.: Ciao VG. Sempre un piacere rileggerti.

[gundamrx91-votailprof]

Dato che sto studiando proprio questa parte, potreste indicarmi cosa intendete per palla aperta? Io al momento ho letto di insiemi aperti, chiusi, intorni, punti di accumulazione, di frontiera, interni ed esterni.

[poncelet]

Presumo che gugo intendesse che ogni aperto indotto dalla prima metrica è contenuto in un aperto indotto dalla seconda metrica e viceversa. Il termine palla è mutuato dagli aperti di $\mathbb{R}^{3}$.

[Richard_Dedekind]

La palla aperta di centro \(y_0\) e raggio \(r\) in uno spazio metrico \((X,d)\) è l'insieme
\[B(y,r)=B_y (r)=\text{infinità di altre notazioni}=\{x\in X\,|\,d(x,y) Notare il minore stretto.

[gundamrx91-votailprof]

Ok, quindi altro non è che la definizione di intorno in $RR^n$.

[OT] Ancora non ho capito perchè non si sia pensato ad una standardizzazione delle definizioni... [/OT]

[Richard_Dedekind]

Mah, forse per gli analisti. In topologia un intorno di \(x_0\) in \(\mathbb{R}^n\) è semplicemente un insieme che contiene \(B(x_0,r)\) per qualche \(r>0\). Cioè, voglio dire, ogni palla aperta è un intorno di ogni suo punto, ma non tutti gli intorni sono palle aperte.

[gundamrx91-votailprof]

"Richard_Dedekind":Mah, forse per gli analisti. In topologia un intorno di \(x_0\) in \(\mathbb{R}^n\) è semplicemente un insieme che contiene \(B(x_0,r)\) per qualche \(r>0\). Cioè, voglio dire, ogni palla aperta è un intorno di ogni suo punto, ma non tutti gli intorni sono palle aperte.

Ad esempio?

[ViciousGoblin]

Ad esempio $[-3,5[\cup{10}$ è un intorno di zero in $RR$.

[gundamrx91-votailprof]

Ok, non avevo pensato ad un siffatto insieme
Grazie.