Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$
Sto cercando di dimostrare che la metrica \(\displaystyle d_p(f,g):=\left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) definita sull'insieme delle funzioni di classe $C^{(0)}[a,b]$ a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), tenda a \(\displaystyle \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \) per \(\displaystyle p\to\infty \).
La cosa non è così banale come nell'analogo caso di metrica su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), almeno per me.
Quello che ho provato a fare è questo.
Siccome \(\displaystyle |f(x)-g(x)| \) è continua in \(\displaystyle [a,b] \), assume massimo \(\displaystyle M \) in \(\displaystyle x_M\in [a,b] \). Di conseguenza, preso un \(\displaystyle \epsilon>0 \) piccolo a piacere, esiste un intorno \(\displaystyle U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) tale che \(\displaystyle |f(x)-g(x)|>M-\epsilon, \forall x\in U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \).
Allora, per qualsiasi intervallo \(\displaystyle [c,d]\subset U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) posso scrivere:
$$ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} $$
e, a colpo d'occhio, per concludere dovrei prima passare al \(\displaystyle \lim_{p\to\infty} \) ovunque, e poi al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) ovunque. Ciò che mi blocca è in particolare il primo dei due limiti, poiché in questo caso il teorema dei carabinieri non assicura più l'esistenza del limite al centro, in quanto i limiti a destra e sinistra non tendono allo stesso valore.
Come si può aggirare questa cosa? Oppure ho preso proprio una strada sbagliata per dimostrare l'asserto?
La cosa non è così banale come nell'analogo caso di metrica su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), almeno per me.
Quello che ho provato a fare è questo.
Siccome \(\displaystyle |f(x)-g(x)| \) è continua in \(\displaystyle [a,b] \), assume massimo \(\displaystyle M \) in \(\displaystyle x_M\in [a,b] \). Di conseguenza, preso un \(\displaystyle \epsilon>0 \) piccolo a piacere, esiste un intorno \(\displaystyle U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) tale che \(\displaystyle |f(x)-g(x)|>M-\epsilon, \forall x\in U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \).
Allora, per qualsiasi intervallo \(\displaystyle [c,d]\subset U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) posso scrivere:
$$ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} $$
e, a colpo d'occhio, per concludere dovrei prima passare al \(\displaystyle \lim_{p\to\infty} \) ovunque, e poi al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) ovunque. Ciò che mi blocca è in particolare il primo dei due limiti, poiché in questo caso il teorema dei carabinieri non assicura più l'esistenza del limite al centro, in quanto i limiti a destra e sinistra non tendono allo stesso valore.
Come si può aggirare questa cosa? Oppure ho preso proprio una strada sbagliata per dimostrare l'asserto?
Risposte
Liberati delle cose inutili... Ti basta mostrare che \(\| u\|_p \to \| u\|_\infty\) per $p -> oo$.
Questo si fa usando qualche disuguaglianza classica per gli spazi $L^p$: prova a cercare sul forum, mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.
Questo si fa usando qualche disuguaglianza classica per gli spazi $L^p$: prova a cercare sul forum, mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.
"gugo82":
Liberati delle cose inutili... Ti basta mostrare che \( \| u\|_p \to \| u\|_\infty \) per $ p -> oo $
Non ho capito di che parli
Comunque con la scrittura \( \| u\|_p \to \| u\|_\infty \) per $ p -> oo $ intendi \(\displaystyle u \) vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?
Questo si fa usando qualche disuguaglianza classica per gli spazi $ L^p $: prova a cercare sul forum, mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.
Sicuramente faccio una ricerca, anche se al momento sono ignorante sul significato di "spazio $ L^p $", purtroppo.
Comunque per questo particolare caso, me ne posso uscire vivo così...
Questa scrittura:
\[ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} \]
implica che la successione \(\displaystyle \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) è sia inferiormente che superiormente limitata.
Posso allora considerare i due limiti superiore e inferiore, i quali esistono sicuro poiché sono delle successioni monotone:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} (M-\epsilon)(d-c)^{1/p}=M-\epsilon\)
e siccome il primo membro non dipende da \(\displaystyle \epsilon \), posso passare al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) a entrambi i membri ottenendo:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq M \)
Analogamente, considerando il limite superiore:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} M(b-a)^{1/p}=M\)
Mettendo tutto insieme:
\(\displaystyle M \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n}(...) \leq \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} (...) \leq M \implies \exists \lim_{p\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} = M\).
Sono contento
Questa scrittura:
\[ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} \]
implica che la successione \(\displaystyle \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) è sia inferiormente che superiormente limitata.
Posso allora considerare i due limiti superiore e inferiore, i quali esistono sicuro poiché sono delle successioni monotone:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} (M-\epsilon)(d-c)^{1/p}=M-\epsilon\)
e siccome il primo membro non dipende da \(\displaystyle \epsilon \), posso passare al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) a entrambi i membri ottenendo:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq M \)
Analogamente, considerando il limite superiore:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} M(b-a)^{1/p}=M\)
Mettendo tutto insieme:
\(\displaystyle M \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n}(...) \leq \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} (...) \leq M \implies \exists \lim_{p\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} = M\).
Sono contento
Quindi non stai lavorando con gli spazi $L^p$... Che stai studiando?
Per quanto riguarda \(\| u\|_p\) questo simbolo denota la norma $L^p$ della funzione $u$, i.e. la quantità $(int_a^b |u(x)|^p "d"x)^(1/p)$, ed analogamente \(\| u\|_\infty\) denota la norma $L^oo$, cioè la quantità $text(esssup)_{(a,b)} |u|$ che per funzioni continue in un compatto coincide con $\max_("["a,b"]") |u|$.
Per quanto riguarda \(\| u\|_p\) questo simbolo denota la norma $L^p$ della funzione $u$, i.e. la quantità $(int_a^b |u(x)|^p "d"x)^(1/p)$, ed analogamente \(\| u\|_\infty\) denota la norma $L^oo$, cioè la quantità $text(esssup)_{(a,b)} |u|$ che per funzioni continue in un compatto coincide con $\max_("["a,b"]") |u|$.
"gugo82":
Quindi non stai lavorando con gli spazi Lp... Che stai studiando?
No infatti. Sto studiando per la prima volta cosa siano gli spazi metrici e gli spazi topologici, e sto vedendo alcuni esempi proposti, come quello sopra
Comunque le "cose inutili" sono \(f(x)-g(x)\). Basta porre \(u(x)=f(x)-g(x)\) e si risparmiano un sacco di caratteri, oltre a facilitare la vita di chi legge.
"dissonance":
Comunque le "cose inutili" sono \(f(x)-g(x)\). Basta porre \(u(x)=f(x)-g(x)\) e si risparmiano un sacco di caratteri, oltre a facilitare la vita di chi legge.
Già... Ci conosciamo da troppo tempo: sai già dove voglio andare a parare.
"gugo82":
mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.
Beh, 10 anni e mezzo fa... La memoria ancora funziona (almeno fin tanto che non si tratta di cosa ho mangiato ieri sera!).
Capisco
Grazie di aver riportato il link, quando arriverò a leggere qualcosa sugli spazi \(\displaystyle L^p \) andrò sicuramente a studiarmelo in dettaglio.
Grazie di aver riportato il link, quando arriverò a leggere qualcosa sugli spazi \(\displaystyle L^p \) andrò sicuramente a studiarmelo in dettaglio.
Aspe'... Forse per le funzioni continue si può fare qualcosa di molto più semplice.
Appena ho un po' di tempo, cerco di buttare giù qualcosa.
Appena ho un po' di tempo, cerco di buttare giù qualcosa.
"gugo82":
Aspe'...
E chi si muove
In realtà pensavo si potesse usare la definizione di integrale di Riemann (scegliendo in modo decente le partizioni) ed il fatto banale che la media d'ordine $p$ di numeri positivi converge verso la norma del massimo quando $p->oo$.
In altri termini, qualcosa del genere: scegliendo (per comodità) una successione crescente di decomposizioni, chiamiamole $D_N = \{ a=x_0^N < x_1^N < \cdots < x_(N-1)^N < x_N^N = b\}$,[nota]Ad esempio, quella che si ottiene dividendo $[a,b]$ in $2$, $4$, $8$, ..., $2^N$, ... parti uguali.[/nota] dell'intervallo $[a,b]$ e fissando come punto $xi_n^N = x_n^N$, si ha:
\[
\lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \| u\|_p
\]
e pure:
\[
\lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
quindi basterebbe poter scambiare i limiti per ottenere:
\[
\lim_{p\to +\infty} \| u\|_p = \lim_{p\to +\infty} \lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
e dimostrare che:
\[
\lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\} = \max_{[a,b]} |u| = \| u\|_\infty
\]
per ottenere la tesi.
Per lo scambio dei limiti, servirebbe un po' di convergenza uniforme; mentre per l'ultimo limite mi sa che la continuità uniforme può essere d'aiuto.
Non ho pensato ai dettagli, ma puoi provare a vedere se è fattibile.
In altri termini, qualcosa del genere: scegliendo (per comodità) una successione crescente di decomposizioni, chiamiamole $D_N = \{ a=x_0^N < x_1^N < \cdots < x_(N-1)^N < x_N^N = b\}$,[nota]Ad esempio, quella che si ottiene dividendo $[a,b]$ in $2$, $4$, $8$, ..., $2^N$, ... parti uguali.[/nota] dell'intervallo $[a,b]$ e fissando come punto $xi_n^N = x_n^N$, si ha:
\[
\lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \| u\|_p
\]
e pure:
\[
\lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
quindi basterebbe poter scambiare i limiti per ottenere:
\[
\lim_{p\to +\infty} \| u\|_p = \lim_{p\to +\infty} \lim_{N\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \lim_{p\to +\infty} \left( \sum_{n=1}^N |u(x_n^N)|^p (x_n^N - x_{n-1}^N)\right)^{\frac{1}{p}} = \lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\}
\]
e dimostrare che:
\[
\lim_{N\to +\infty} \max \{ |u(x_1^N)|,\ldots ,|u(x_N^N)|\} = \max_{[a,b]} |u| = \| u\|_\infty
\]
per ottenere la tesi.
Per lo scambio dei limiti, servirebbe un po' di convergenza uniforme; mentre per l'ultimo limite mi sa che la continuità uniforme può essere d'aiuto.
Non ho pensato ai dettagli, ma puoi provare a vedere se è fattibile.
Ho capito la linea di pensiero, anche se vedo che effettivamente richiede le nozioni di convergenza uniforme e continuità uniforme.
Comunque me la salvo, ti ringrazio.
Comunque me la salvo, ti ringrazio.
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