Metrica su N
Volevo chiedervi un aiuto per questo esercizio.
Sia N l'insieme dei numeri naturali. Individuare una metrica un N che lo renda compatto. Stabilire quindi se esistono funzioni da N in N strettamente monotone rispetto all'ordinamento naturale usuale di N, che siano continue rispetto alla metrica individuata.
Ho pensato ad una possibile risoluzione, ma non ho concluso molto. In pratica la metrica dovrebbe ridurre di molto le distanze tra i punti, così da renderlo limitato e chiuso, ma questo non mi implica la compattezza.
Avevo pensato una cosa del genere $d(x,y)=|(1/(x)^(1/x))-(1/(y)^(1/y))|$, ma non ne sono molto convinta.
Sia N l'insieme dei numeri naturali. Individuare una metrica un N che lo renda compatto. Stabilire quindi se esistono funzioni da N in N strettamente monotone rispetto all'ordinamento naturale usuale di N, che siano continue rispetto alla metrica individuata.
Ho pensato ad una possibile risoluzione, ma non ho concluso molto. In pratica la metrica dovrebbe ridurre di molto le distanze tra i punti, così da renderlo limitato e chiuso, ma questo non mi implica la compattezza.
Avevo pensato una cosa del genere $d(x,y)=|(1/(x)^(1/x))-(1/(y)^(1/y))|$, ma non ne sono molto convinta.
Per la seconda parte non ho idee.
Risposte
Vuoi rendere $NN$ limitato e chiuso in cosa? Presumo in $RR$, quindi stai cercando una metrica su $RR$ di cui poi considerare la restrizione ad $NN$: va benissimo come procedimento ma non è strettamente necessario, l'esercizio ti chiede solo una metrica su $NN$. (Queste sono cose che probabilmente sai ma nel dubbio le dico lo stesso).
La tua idea di definire una metrica che accorci progressivamente le distanze via via che $n$ cresce mi pare buona. Ma perché prendere una funzione così complicata per accorciare le distanze? Io direi che $arctan$, il cui grafico sul semiasse reale positivo è [asvg]xmin=0; xmax=10; ymin=0; ymax=2; axes(); plot("arctan(x)");[/asvg] va bene lo stesso, no? Chissà, magari definendo $d(m, n)=|arctan (m) - arctan (n)|$ si va da qualche parte. Adesso ci rifletto un po' anche io, è un esercizio interessante.
La tua idea di definire una metrica che accorci progressivamente le distanze via via che $n$ cresce mi pare buona. Ma perché prendere una funzione così complicata per accorciare le distanze? Io direi che $arctan$, il cui grafico sul semiasse reale positivo è [asvg]xmin=0; xmax=10; ymin=0; ymax=2; axes(); plot("arctan(x)");[/asvg] va bene lo stesso, no? Chissà, magari definendo $d(m, n)=|arctan (m) - arctan (n)|$ si va da qualche parte. Adesso ci rifletto un po' anche io, è un esercizio interessante.
Come domanda mi sembra strana... Dovrei pensarci ma secondo me non esiste nessuna metrica di quel tipo. Considera comunque che uno spazio metrico è un spazio di Hausdorff. Prova a pensare a cosa questo significa il uno spazio infinito fatto come $NN$...
EDIT: Guardando su un libro ho trovato il seguente teorema che mi dà ragione... ma prova a dimostrarlo seguendo il mio suggerimento (che ho cambiato un po' perché mi sono reso conto che lo stesso procedimento non risultava possibile in $QQ$)...
EDIT: Guardando su un libro ho trovato il seguente teorema che mi dà ragione... ma prova a dimostrarlo seguendo il mio suggerimento (che ho cambiato un po' perché mi sono reso conto che lo stesso procedimento non risultava possibile in $QQ$)...
Era un esercizio dell'appello di analisi. Ci rifletto ancora un po' anch'io, ma mi pare strano che non esista, più che altro perchè in questo caso non capisco il senso dell'esercizio e soprattutto della seconda richiesta. Comunque ci penso su e vi faccio sapere se giungo a qualche conclusione sensata!
Un'idea.
La posizione [tex]||x||:=|1/x|[/tex], [tex]||0||:=0[/tex] su $RR$ dovrebbe rendere $NN$ uno spazio metrico compatto con distanza [tex]d(x,y)=||x-y||[/tex]. L'unico problema è che per qualcuno [tex]0 \not \in \mathbb{N}[/tex], ma in questo caso basterebbe trasportare questa struttura su $NN$ tramite la biiezione [tex]\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N},\ n \mapsto n+1[/tex]. Quanto alla funzione continua, stavo pensando a [tex]n \mapsto n+1[/tex].
Mi suona, ma non sono sicurissimo.
La posizione [tex]||x||:=|1/x|[/tex], [tex]||0||:=0[/tex] su $RR$ dovrebbe rendere $NN$ uno spazio metrico compatto con distanza [tex]d(x,y)=||x-y||[/tex]. L'unico problema è che per qualcuno [tex]0 \not \in \mathbb{N}[/tex], ma in questo caso basterebbe trasportare questa struttura su $NN$ tramite la biiezione [tex]\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N},\ n \mapsto n+1[/tex]. Quanto alla funzione continua, stavo pensando a [tex]n \mapsto n+1[/tex].
Mi suona, ma non sono sicurissimo.
Allora ci ho pensato un po' su. Mi sbagliavo almeno in parte e poi se una cosa non vale per l'insieme [tex]\mathbb{Q}[/tex] non vale neanche per l'insieme [tex]\mathbb{N}[/tex] dato che hanno la stessa cardinalità (dopo spiego esattamente cosa intendo).
Cominciamo con l'enunciare un teorema (inventato da me per l'occasione).
Teorema 1 Sia [tex](X,d)[/tex] uno spazio metrico. Se per ogni [tex]x\in X[/tex] esiste un [tex]\epsilon\in \mathbb{R}^+[/tex] tale che [tex]\forall\gamma<\epsilon \in \mathbb{R}^+\ |B(x,\gamma)|<\omega[/tex] (cioé contiene al più un numero finito di punto) allora la topologia su [tex]X[/tex] indotta dalla metrica è discreta.
Dimostrazione Sia [tex]B(x,\gamma)[/tex] con [tex]|B(x,\gamma)|=n+1[/tex] una di queste palle aperte e siano [tex]\{x_i\}_{i\in [n]}[/tex] gli elementi di [tex]B(x,\gamma)[/tex] diversi da [tex]x[/tex]. Sia quindi [tex]\xi=\min_{i \in [n]} d(x,x_i)[/tex] allora ogni [tex]B(x,\lambda)[/tex] tale che [tex]\lambda<\xi[/tex] deve contenere solo [tex]x[/tex]. Quindi ogni punto è un aperto e ogni insieme numerabile di punti è aperto e quindi [tex]X[/tex] ha la metrica discreta.
----
Corollario Sia [tex]X[/tex] uno spazio metrico che possiede le caratteristiche scritte sopra allora esso è compatto se e solo se è finito.
Dimostrazione Siccome [tex]X[/tex] è uno spazio discreto allora esso è compatto solo se è finito in quanto se noi consideriamo il ricoprimento formato dall'insieme dei punti di [tex]X[/tex] non ha sottoricoprimento aperto.
----
Questo significa che affinché la metrica su [tex]\mathbb{N}[/tex] sia compatta senza dubbio non deve possedere la proprietà scritta sopra. D'altra parte una qualsiasi funzione di distanza che mantenga in qualche modo l'ordine di [tex]\mathbb{N}[/tex] lo fa.
Se [tex]d(\bullet,\bullet)[/tex] è una metrica su [tex]X[/tex] e [tex]x\in X[/tex] allora la funzione [tex]d(\bullet,x)[/tex] è sempre una funzione continua da [tex]X\to\mathbb{R}[/tex]. Una funzione continua gode della proprietà che la controimmagine di aperti sono aperti. Quindi se [tex]d(y,x)=\gamma[/tex] allora [tex]\gamma[/tex] deve essere un punto di accumulazione per [tex]d(X,x)[/tex], in altre parole deve esistere una successione a valori in [tex]X\setminus \{y\}[/tex] tale che [tex]\lim_{n\to \infty}d(y_n,x)=\gamma[/tex]. Un'altro modo per vedere le cose è dire che [tex]d(X,x)[/tex] deve essere denso in un chiuso di [tex]\mathbb{R}[/tex] che contiene [tex]0[/tex] (questo perché per la compattezza abbiamo bisogno che la metrica sia finita).
Con il dire che [tex]d(\bullet,\bullet)[/tex] mantiene l'ordine di [tex]\mathbb{N}[/tex] intendo quindi dire che la funzione [tex]d(\bullet,0)[/tex] è strettamente monotona crescente (se è decrescente non cambia molto). Se la funzione è crescente allora [tex]d(x-1,0)
Non ho ancora pensato alla metrica di martino. Dovrei pensarci se le mie considerazioni valgono anche in quel caso. Io intanto sto pensando a metriche molto più strane.
P.S: [tex]\omega[/tex] è il simbolo per il numero ordinale di [tex]\mathbb{N}[/tex]. [tex]B(x,\gamma)[/tex] è la palla aperta di centro [tex]x[/tex] e raggio [tex]\gamma[/tex]. [tex][n][/tex] è l'insieme dei numeri naturali minori o uguali a [tex]n[/tex].
P.S2: la mia affermazione iniziale è legata al fatto che posso mettere in relazione biunivoca gli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex] con i razionali nel chiuso [tex][0,1][/tex]. Se [tex]f[/tex] è la biezione considerata allora [tex]d(n,m)=|f(n) - f(m)|[/tex] è una metrica su [tex]\mathbb{N}[/tex]. Questa metrica non è compatta perché [tex]\mathbb{N}[/tex] con questa metrica non è completo.
[edit] ho fatto una piccola modifica...
Cominciamo con l'enunciare un teorema (inventato da me per l'occasione).
Teorema 1 Sia [tex](X,d)[/tex] uno spazio metrico. Se per ogni [tex]x\in X[/tex] esiste un [tex]\epsilon\in \mathbb{R}^+[/tex] tale che [tex]\forall\gamma<\epsilon \in \mathbb{R}^+\ |B(x,\gamma)|<\omega[/tex] (cioé contiene al più un numero finito di punto) allora la topologia su [tex]X[/tex] indotta dalla metrica è discreta.
Dimostrazione Sia [tex]B(x,\gamma)[/tex] con [tex]|B(x,\gamma)|=n+1[/tex] una di queste palle aperte e siano [tex]\{x_i\}_{i\in [n]}[/tex] gli elementi di [tex]B(x,\gamma)[/tex] diversi da [tex]x[/tex]. Sia quindi [tex]\xi=\min_{i \in [n]} d(x,x_i)[/tex] allora ogni [tex]B(x,\lambda)[/tex] tale che [tex]\lambda<\xi[/tex] deve contenere solo [tex]x[/tex]. Quindi ogni punto è un aperto e ogni insieme numerabile di punti è aperto e quindi [tex]X[/tex] ha la metrica discreta.
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Corollario Sia [tex]X[/tex] uno spazio metrico che possiede le caratteristiche scritte sopra allora esso è compatto se e solo se è finito.
Dimostrazione Siccome [tex]X[/tex] è uno spazio discreto allora esso è compatto solo se è finito in quanto se noi consideriamo il ricoprimento formato dall'insieme dei punti di [tex]X[/tex] non ha sottoricoprimento aperto.
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Questo significa che affinché la metrica su [tex]\mathbb{N}[/tex] sia compatta senza dubbio non deve possedere la proprietà scritta sopra. D'altra parte una qualsiasi funzione di distanza che mantenga in qualche modo l'ordine di [tex]\mathbb{N}[/tex] lo fa.
Se [tex]d(\bullet,\bullet)[/tex] è una metrica su [tex]X[/tex] e [tex]x\in X[/tex] allora la funzione [tex]d(\bullet,x)[/tex] è sempre una funzione continua da [tex]X\to\mathbb{R}[/tex]. Una funzione continua gode della proprietà che la controimmagine di aperti sono aperti. Quindi se [tex]d(y,x)=\gamma[/tex] allora [tex]\gamma[/tex] deve essere un punto di accumulazione per [tex]d(X,x)[/tex], in altre parole deve esistere una successione a valori in [tex]X\setminus \{y\}[/tex] tale che [tex]\lim_{n\to \infty}d(y_n,x)=\gamma[/tex]. Un'altro modo per vedere le cose è dire che [tex]d(X,x)[/tex] deve essere denso in un chiuso di [tex]\mathbb{R}[/tex] che contiene [tex]0[/tex] (questo perché per la compattezza abbiamo bisogno che la metrica sia finita).
Con il dire che [tex]d(\bullet,\bullet)[/tex] mantiene l'ordine di [tex]\mathbb{N}[/tex] intendo quindi dire che la funzione [tex]d(\bullet,0)[/tex] è strettamente monotona crescente (se è decrescente non cambia molto). Se la funzione è crescente allora [tex]d(x-1,0)
Non ho ancora pensato alla metrica di martino. Dovrei pensarci se le mie considerazioni valgono anche in quel caso. Io intanto sto pensando a metriche molto più strane.
P.S: [tex]\omega[/tex] è il simbolo per il numero ordinale di [tex]\mathbb{N}[/tex]. [tex]B(x,\gamma)[/tex] è la palla aperta di centro [tex]x[/tex] e raggio [tex]\gamma[/tex]. [tex][n][/tex] è l'insieme dei numeri naturali minori o uguali a [tex]n[/tex].
P.S2: la mia affermazione iniziale è legata al fatto che posso mettere in relazione biunivoca gli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex] con i razionali nel chiuso [tex][0,1][/tex]. Se [tex]f[/tex] è la biezione considerata allora [tex]d(n,m)=|f(n) - f(m)|[/tex] è una metrica su [tex]\mathbb{N}[/tex]. Questa metrica non è compatta perché [tex]\mathbb{N}[/tex] con questa metrica non è completo.
[edit] ho fatto una piccola modifica...
Posso comunque rispondere alla seconda domanda senza definire la metrica. Infatti sostituendo a [tex]d(\bullet,x)[/tex] una funzione strettamente monotona [tex]f[/tex] ho che la continuità di [tex]f[/tex] implicherebbe che ogni punto è un aperto e quindi per le ragioni scritte sopra ad una contraddizione. Personalmente trovo che per un esame di analisi sia un esercizio eccessivamente complicato.
Giusto per specificare meglio il mio esempio: io penso $NN$ contenente $0$. Identifichiamo ogni naturale $n ne 0$ col suo inverso $1/n$ in $RR$ e $0$ con $0$. L'insieme $L={0} uu {1/n\ |\ 0 ne n in NN}$ dotato della topologia indotta da quella usuale di $RR$ è uno spazio metrico compatto e la funzione $RR-{-1} to RR$ che manda $x$ in $x/(x+1)$ ristretta a $L$ è strettamente monotona crescente, ha valori in $L$ quindi è continua $L to L$. Mi sembra torni. No?
Ho letto velocemente le risposte...comunque, per quanto riguarda la risposta di Martino, se non ho capito male la metrica individuata sarebbe $d(n,m)=|1/n-1/m|$? Ma sul mio libro è usato questo esempio per dire che una successione in $N$ con questa metrica è di Cauchy ma non converge! Ma questo è assurdo se $N$ è dotato di una metrica che lo rende compatto. Non so se mi sono spiegata.
Adesso è tardi, doma rileggo per bene tutto.
Adesso è tardi, doma rileggo per bene tutto.
La soluzione di Martino mi pare corretta (e anche molto ben fatta), ma ho qualche dubbio sulla continuità della funzione monotona. Provo a formalizzare il discorso per spiegarmi meglio.
lemmino:
Siano $X$ un insieme, $L$ uno spazio metrico e $rho:X \to L$ una bigezione. Allora esiste un'unica metrica su $X$ tale che $rho$ è una isometria.
Nel nostro caso è $X=NN,\ L={0}uu{1/n\ |\ 0!=n\inNN},\ rho(n)={(1/n, n!=0), (0, n=0):}$. Con la metrica indotta da $rho$, $NN$ è isometrico allo spazio compatto $L$ e quindi è esso stesso compatto. E qui finisce la prima parte.
___________________________________
Ora vediamo la funzione di Martino: $f: NN\toNN,\ f(n)=n+1$. Si tratta di una funzione monotona crescente. Consideriamo la composizione $bar{f}=rho circ f circ rho^{-1}: L \to L$.
Se $x\in L, x!=0$, allora $bar {f}(x)=rho(f(rho^{-1}(x)))=rho(f(1/x))=rho(1/x+1)=1/{1/x+1}=x/{1+x}$;
invece per $x=0\inL,\ \bar{f}(x)=rho(f(rho^{-1}(0)))=rho(f(0))=rho(1)=1$.
Da qui io direi (ma potrei benissimo sbagliarmi) che $bar{f} : L \to L$ non è continua e di conseguenza non lo è neanche $f$.
___________________________________
P.S.: @sarajuve: Il tuo libro considera $0\inNN$? Forse no. Se togliamo lo zero da $NN$, l'identificazione di sopra (che io ho chiamato $rho$) non è più tra $NN$ e ${0}uu{1/n}$ che è compatto, ma tra $NN$ e ${1/n}$ che non è nemmeno chiuso in $RR$.
lemmino:
Siano $X$ un insieme, $L$ uno spazio metrico e $rho:X \to L$ una bigezione. Allora esiste un'unica metrica su $X$ tale che $rho$ è una isometria.
Nel nostro caso è $X=NN,\ L={0}uu{1/n\ |\ 0!=n\inNN},\ rho(n)={(1/n, n!=0), (0, n=0):}$. Con la metrica indotta da $rho$, $NN$ è isometrico allo spazio compatto $L$ e quindi è esso stesso compatto. E qui finisce la prima parte.
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Ora vediamo la funzione di Martino: $f: NN\toNN,\ f(n)=n+1$. Si tratta di una funzione monotona crescente. Consideriamo la composizione $bar{f}=rho circ f circ rho^{-1}: L \to L$.
Se $x\in L, x!=0$, allora $bar {f}(x)=rho(f(rho^{-1}(x)))=rho(f(1/x))=rho(1/x+1)=1/{1/x+1}=x/{1+x}$;
invece per $x=0\inL,\ \bar{f}(x)=rho(f(rho^{-1}(0)))=rho(f(0))=rho(1)=1$.
Da qui io direi (ma potrei benissimo sbagliarmi) che $bar{f} : L \to L$ non è continua e di conseguenza non lo è neanche $f$.
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P.S.: @sarajuve: Il tuo libro considera $0\inNN$? Forse no. Se togliamo lo zero da $NN$, l'identificazione di sopra (che io ho chiamato $rho$) non è più tra $NN$ e ${0}uu{1/n}$ che è compatto, ma tra $NN$ e ${1/n}$ che non è nemmeno chiuso in $RR$.
Hai ragione dissonance, infatti non credo di essermi espresso benissimo. Intendevo dire che consideriamo dapprima $bar(f):L to L$ (uso la tua notazione) definita da $x to x/(x+1)$, e poi definiamo la funzione $f$ come $rho^{-1} circ bar(f) circ rho: NN to NN$. In questo modo $f(n)=n+1$ se $n ne 0$ e $f(0)=0$. Questa $f$ è monotona crescente e continua (dato il trasporto di struttura e dato che la $x/(x+1)$ è continua come funzione reale). Ora facendo la verifica come hai fatto tu torna tutto, quindi dovremmo essere ok. Dovremmo, dico 
@sarajuve: probabilmente tu non consideri $0$ dentro $NN$. Non cambia molto, basta identificare $NN$ con $NN uu {0}$ tramite la biiezione $NN to NN uu {0}$, $n to n-1$ e fare la costruzione di cui sopra.
Esplicitamente, in questo caso la distanza tra $n$ e $m$ non è più $|1/n-1/m|$ ma diventa
$d(n,1)=d(1,n)=1/(n-1)$ se $n ne 1$,
$d(1,1)=0$ e
$d(n,m)=|1/(n-1)-1/(m-1)|$ se $n,m ne 1$.
Osserva che con questa metrica la successione $a_n=n$ converge a $1$.
Insomma, è più comodo pensare lo zero dentro $NN$
@sarajuve: probabilmente tu non consideri $0$ dentro $NN$. Non cambia molto, basta identificare $NN$ con $NN uu {0}$ tramite la biiezione $NN to NN uu {0}$, $n to n-1$ e fare la costruzione di cui sopra.
Esplicitamente, in questo caso la distanza tra $n$ e $m$ non è più $|1/n-1/m|$ ma diventa
$d(n,1)=d(1,n)=1/(n-1)$ se $n ne 1$,
$d(1,1)=0$ e
$d(n,m)=|1/(n-1)-1/(m-1)|$ se $n,m ne 1$.
Osserva che con questa metrica la successione $a_n=n$ converge a $1$.
Insomma, è più comodo pensare lo zero dentro $NN$
"Martino":
Giusto per specificare meglio il mio esempio: io penso $NN$ contenente $0$. Identifichiamo ogni naturale $n ne 0$ col suo inverso $1/n$ in $RR$ e $0$ con $0$. L'insieme $L={0} uu {1/n\ |\ 0 ne n in NN}$ dotato della topologia indotta da quella usuale di $RR$ è uno spazio metrico compatto e la funzione $RR-{-1} to RR$ che manda $x$ in $x/(x+1)$ ristretta a $L$ è strettamente monotona crescente, ha valori in $L$ quindi è continua $L to L$. Mi sembra torni. No?
Una prima considerazione: nella tua costruzione $1/x$ non è una norma altrimenti calcoleresti $d(x,y)$ come $1/(x-y)$ invece che con la metrica indotta da $RR$ su $L$. E' solamente una associazione tra numeri. Nella mia dimostrazione avevo considerato le funzioni monotone decrescenti uguali a quelle monotone crescenti ma mi sbagliavo come dimostra il tuo esempio. Ovviamente si può sostituire $n\to 1/n$ con qualsiasi altre funzione monotona descrescente con limite infinito uguale a $0$ rendendolo comunque compatto (e ovviamente poi ponendo 0=0).
Detto questo faccio una osservazione: una qualsiasi successione di Cauchy in $L$ è una successione di divergente con la usuale metrica su $N$ e questo perché di fatto abbiamo associato lo $0$ con l'infinito. In ogni caso anche se $N$ non avesse conpreso lo 0 si poteva mettere a posto il tutto.
La mia dimostrazione per le funzioni monotone crescenti vale ancora. Ricordo che in $L$ ogni punto è aperto tranne lo $0$. Inoltre anche per la monotonia decrescente vale in questo caso la stessa cosa perché in questo caso non possiamo associare $0$ a $0$ e poi far tendere la funzione a $0$ all'infinito mantenendo la monotonia ed escludendo la funzione costante.
Facendomi prendere un po' la mano ipotizzo (ma sono quasi sicuro che sia così) che tutte le metriche che rendono $NN$ compatto siano date dalla associazione di $NN$ con la chiusura di una qualche nube di punti numerabile, limitata, totalmente disconnessa e con al più un numero numerabile di punti di accumulazione in uno spazio metrico completo $X^n$ con la topologia indotta dallo spazio $X^n$.
Grazie mille! Adesso guardo per bene tutto. Se ho qualche altro dubbio vi faccio sapere. Comunque sì, il mio libro escludeva lo zero dai naturali.
Io, in linea di massima, ho capito che, devo cercare di identificare N con un insieme che mi permetta di ridurre le distanze tra i punti e tale che la successione dei punti converga ad un limite che devo includere nell'insieme affinchè l'insieme sia chiuso. Giusto?Mah..
Per la funzione: posso pensare il nostro insieme L come un intervallo?
Perchè in questo caso potrebbe essere utile il teorema per cui:
Data una funzione f:I(intervallo)->R strettamente monotona, essa è continua se e solo se f(I) è ancora un intervallo.
Dunque se I fosse un intervallo, qualunque funzione strettamente crescente soddisfa le richieste.
Credo di aver fatto un po' di confusione...
Io, in linea di massima, ho capito che, devo cercare di identificare N con un insieme che mi permetta di ridurre le distanze tra i punti e tale che la successione dei punti converga ad un limite che devo includere nell'insieme affinchè l'insieme sia chiuso. Giusto?Mah..
Per la funzione: posso pensare il nostro insieme L come un intervallo?
Perchè in questo caso potrebbe essere utile il teorema per cui:
Data una funzione f:I(intervallo)->R strettamente monotona, essa è continua se e solo se f(I) è ancora un intervallo.
Dunque se I fosse un intervallo, qualunque funzione strettamente crescente soddisfa le richieste.
Credo di aver fatto un po' di confusione...
"sarajuve":
Grazie mille! Adesso guardo per bene tutto. Se ho qualche altro dubbio vi faccio sapere. Comunque sì, il mio libro escludeva lo zero dai naturali.
Io, in linea di massima, ho capito che, devo cercare di identificare N con un insieme che mi permetta di ridurre le distanze tra i punti e tale che la successione dei punti converga ad un limite che devo includere nell'insieme affinchè l'insieme sia chiuso. Giusto?Mah..
Per la funzione: posso pensare il nostro insieme L come un intervallo?
Perchè in questo caso potrebbe essere utile il teorema per cui:
Data una funzione f:I(intervallo)->R strettamente monotona, essa è continua se e solo se f(I) è ancora un intervallo.
Dunque se I fosse un intervallo, qualunque funzione strettamente crescente soddisfa le richieste.
Credo di aver fatto un po' di confusione...
Solo per curiosità... ma che analisi è? 1,2,3, uno alla specialistica? Comunque non puoi usare quella definizione. L è molto diverso da un intervallo. Tanto per incominciare perché ogni punto tranne lo 0 di L è un aperto mentre in un intervallo nessun punto è un aperto ma solo un chiuso. Quindi è molto diverso. D'altra parte si può usare la definizione di continuità seguente [tex]lim_{n\to \infty}f(x_n) = f(lim_{n\to \infty} x_n)[/tex] dove prendi per [tex]x_n[/tex] una successione divergente in [tex]\mathbb{N}[/tex]. La successione [tex]x_n[/tex] è una successione di Cauchy e tende a [tex]0[/tex]. Quindi devi trovare, se esiste
, una funzione trettamente monotona tale che [tex]lim_{n\to \infty}f(x_n) = f(0)[/tex] che essendo una successione divergente si traduce in [tex]lim_{x\to \infty} f(x) = f(0)[/tex]
Analisi 1. é vero, non può essere un intervallo.
"sarajuve":
Analisi 1. é vero, non può essere un intervallo.
L'abbozzo di dimostrazione che ti ho scritto penso che si possa capire per analisi I. Comunque è impossibile mettere in relazione $NN$ con un intervallo, al massimo con un insieme denso in un intervallo. E questo perché un intervallo è un insieme della cardinalità del continuo.
Sì, infatti esiste sempre almeno una bolla per ogni punto di N che contiene solo un punto di N, che è appunto il centro della bolla.
"sarajuve":
Analisi 1.
Per caso studi matematica alla statale di Milano e questo corso è tenuto dal professor Zanco ?
Se sì . . beh, in bocca al lupo !
Per caso studi matematica alla statale di Milano e questo corso è tenuto dal professor Zanco ?
Se sì . . beh, in bocca al lupo !
Esatto..e ho passato pure lo scritto, ma all'orale mi hanno bocciata
...(Crepi il lupo!)
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