Metrica limitata e completa

[Berker]

Esiste una metrica limitata e completa? Potreste farmi un esempio?

[dissonance]

Te lo puoi fare facilmente pure tu: \([0,1]\) ti piace ?

[Berker]

Con $[0,1]$ intendi lo spazio in cui definire la mia distanza?
Io dovrei trovare una funzione distanza su $\mathbb{R}$ che sia limitata e completa (scusami, non l'avevo specificato).

[dissonance]

C'è un vecchio trucco per costruire distanze che è il seguente: se definisci
\[
d(x, y):=|f(x)-f(y)|, \forall x, y\in\mathbb R,
\]
e se \(f\colon\mathbb R \to \mathbb R\) è ingettiva, allora ottieni una distanza. Prova un po' a costruire qualche distanza così e vedi se ne trovi una limitata. Poi toccherà verificare se è completa

[dissonance]

C'è anche un altro vecchio trucco che forse è più facile. Poni
\[
d(x, y):=\min( |x-y|, 1),\qquad x,y\in \mathbb R.\]
Dovresti verificare che questa è una distanza, che è limitata (cosa ovvia) e che è completa.

[killing_buddha]

Sono anche equivalenti queste metriche?

[dissonance]

Vuoi dire che sono equivalenti alla metrica euclidea? La prima, \(d(x, y)=|f(x)-f(y)|\), lo è sse \(f\) è Lipschitziana con inversa Lipschitziana. La seconda non è equivalente alla metrica euclidea, perché \(\mathbb R\) munito di tale metrica è limitato. (@Berker: se due metriche sono equivalenti e una è limitata allora sono limitate tutte e due, ovviamente). Tuttavia, la restrizione della seconda metrica a qualsiasi insieme limitato di \(\mathbb R\) è equivalente alla metrica euclidea su questo insieme. In particolare la topologia generata dalla seconda metrica è quella euclidea.

non so se era questa la domanda