Metrica, completezza.
Ciao a tutti 
La prima domanda è abbastanza banale, volevo sapere se si potesse definire il concetto di ‘maggiorante’ e di ‘estremo superiore’ sugli spazi metrici $RR^n$ con la solita metrica euclidea.
Poi stavo riflettendo sulla definizione di ‘punto di accumulazione’ per spazi metrici.
È possibile definire il punto di accumulazione su uno spazio metrico che non sia completo?
Per definizione di punto di accumulazione io ho che:
Sia $Y$ un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico $(X,d)$ allora,
$x inY$ è detto di accumulazione se,
$forall r>0: (B(x,r[-{x})capYneemptyset$
La prima domanda è abbastanza banale, volevo sapere se si potesse definire il concetto di ‘maggiorante’ e di ‘estremo superiore’ sugli spazi metrici $RR^n$ con la solita metrica euclidea.
Poi stavo riflettendo sulla definizione di ‘punto di accumulazione’ per spazi metrici.
È possibile definire il punto di accumulazione su uno spazio metrico che non sia completo?
Per definizione di punto di accumulazione io ho che:
Sia $Y$ un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico $(X,d)$ allora,
$x inY$ è detto di accumulazione se,
$forall r>0: (B(x,r[-{x})capYneemptyset$
Risposte
Sto un po' sparando ma credo che si possa definire l'estremo superiore in $RR^n$, a patto di considerare una relazione d'ordine totale come \(\mathbf{x}\le \mathbf{y} \iff x_i\le y_i ~~~\forall i=1,...n\). Aspetto smentite
Facciamo un po' di ordine: l'estremo superiore è una nozione che ha a che fare con l'ordinamento di un insieme https://it.wikipedia.org/wiki/Estremo_s ... _inferiore, di punti di accumulazione se ne parla per spazi topologici https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_ ... topologici.
Ha senso cercare una relazione tra i due concetti se un insieme ha sia una topologia che un ordine, ma non basta; l'ordine e la topologia devono essere compatibili, nel senso che la topologia deve essere esattamente quella che si ottiene a partire dall'ordine (totale) come detto qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology.
Il fatto che uno spazio metrico sia completo non c'entra nulla con la definizione di punto di accumulazione e, a dirla tutta, nemmeno che sia uno spazio metrico, basta topologico.
Per quanto riguarda la proposta di Weierstress, quella non funziona perché quell'ordinamento non è totale, infatti $(0,1)$ e $(1,0)$ non sono confrontabili in $RR^2$ secondo quell'ordine, per di più credo proprio che non esistano ordini (totali) in $RR^n$ che siano compatibili con la sua topologia (questa è una mia sensazione, non ne sono certo).
Ha senso cercare una relazione tra i due concetti se un insieme ha sia una topologia che un ordine, ma non basta; l'ordine e la topologia devono essere compatibili, nel senso che la topologia deve essere esattamente quella che si ottiene a partire dall'ordine (totale) come detto qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology.
Il fatto che uno spazio metrico sia completo non c'entra nulla con la definizione di punto di accumulazione e, a dirla tutta, nemmeno che sia uno spazio metrico, basta topologico.
Per quanto riguarda la proposta di Weierstress, quella non funziona perché quell'ordinamento non è totale, infatti $(0,1)$ e $(1,0)$ non sono confrontabili in $RR^2$ secondo quell'ordine, per di più credo proprio che non esistano ordini (totali) in $RR^n$ che siano compatibili con la sua topologia (questa è una mia sensazione, non ne sono certo).
Hai ragione, mi sono reso conto tardi che la mia relazione d'ordine è parziale.
Comunque, non si può usare una generalizzazione della relazione lessicografica? In $RR^2$, si avrebbe $(a, b) <= (c, d) iff a
Da bravo fisico però lascio questo topic in mani migliori...
Comunque, non si può usare una generalizzazione della relazione lessicografica? In $RR^2$, si avrebbe $(a, b) <= (c, d) iff a
Da bravo fisico però lascio questo topic in mani migliori...
Sicuramente si può considerare quella relazione in $RR^n$, che risulta completa, ma senz'altro non compatibile con la metrica euclidea.
Questa linea di ragionamento porta alla "topologia dell'ordine alfabetico".
viewtopic.php?f=37&t=39650
Quanto ai punti di accumulazione, cosa c'entra la completezza? Sono concetti puramente topologici. Nota, anto, che la tua definizione è sbagliata. Il punto \(x\in X\) può essere di accumulazione per \(Y\) e non appartenere a \(Y\).
viewtopic.php?f=37&t=39650
Quanto ai punti di accumulazione, cosa c'entra la completezza? Sono concetti puramente topologici. Nota, anto, che la tua definizione è sbagliata. Il punto \(x\in X\) può essere di accumulazione per \(Y\) e non appartenere a \(Y\).
Ciao dissonance. Con calma mi leggerò il topic che hai postato...
P.S. Ma ti rircordavi quella discussione dal 2009?!
P.S. Ma ti rircordavi quella discussione dal 2009?!
"dissonance":
Questa linea di ragionamento porta alla "topologia dell'ordine alfabetico".
viewtopic.php?f=37&t=39650
Quanto ai punti di accumulazione, cosa c'entra la completezza? Sono concetti puramente topologici. Nota, anto, che la tua definizione è sbagliata. Il punto \(x\in X\) può essere di accumulazione per \(Y\) e non appartenere a \(Y\).
Topic interessante quello, peccato non sia proseguito, però ci sono delle cose che non mi tornano...
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