Metodo variazione costanti

[Webster]

Sto cercando l'integrale generale dell' equazione differenziale $ y''-y=1/(e^(t)-1) $ Prima di tutto ho risolto l'equazione omogenea associata $ y''-y=0 $ ottenendo $ bar(y(t))=k[1]e^t+k[2]e^-t $ Successivamente ho fatto variare le costanti $ y(t)=k[1](t)e^t+k[2](t)e^-t $ ho calcolato la derivata prima e seconda $ y'=k'[1]e^t+k[1]e^t+k'[2]e^(-t)-k[2]e^(-t),y''=k'[1]e^t+k'[1]e^t+k[1]e^t-k'[2]e^(-t)-k'[2]e^(-t)+k'[2]e^(-t) $ le ho sostituite nell'equazione di partenza e impostato poi il seguente sistema $ { (k'[1]e^t-k'[2]e^(-t)=1/(2(e^t-1))),(k'[1]e^t+k'[2]e^(-t)=0):} $ ottenendo $ k'[1]=1/(4e^t(e^t-1)),k'[2]=-(1/4)e^t/(e^t-1) $ Successivamente ho integrato ottenendo $ k[1]=(1/4)ln|e^t-1|-(1/4)t+1/(4e^t)+c[1],k[2]=-(1/4)ln|e^t-1|+c[2] $ ricavando così l'integrale generale $ y(t)=(1/2)ln|e^t-1|sinht+1/4+e^t(c[1]-t/4)+c[2]e^(-t) $ che però risulta essere leggermente diversa dalla soluzione indicata nell'esercitazione $ y(t)=ln|e^t-1|sinht+1/2+e^t(c[1]-t/2)+c[2]e^(-t) $.Potete aiutarmi?

[deserto1]

Ciao
Se l'equazione originaria è $ y''-y=1/(e^(t)-1) $ allora il sistema da risolvere è
$ { (k'[1]e^t-k'[2]e^(-t)=1/(e^t-1)),(k'[1]e^t+k'[2]e^(-t)=0):} $
e non
$ { (k'[1]e^t-k'[2]e^(-t)=1/(2(e^t-1))),(k'[1]e^t+k'[2]e^(-t)=0):} $