Metodo somiglianza eq. differenziale
Allora, sto risolvendo questo problema di Cauchy:
$ y''(t) + alpha^2y(t) = e^t $ con $ y(0) = 0 $ e $ y'(0) = 1 $
Trovo la soluzione dell'equazione associata che se non ho fatto errori dovrebbe essere $ lambda = +- ialpha $ e quindi $ y(t) = a cos(alphat) + b sin(alphat) $
Ora mi ritrovo a trovare la soluzione particolare della non omogenea, in pratica dato che è un esponenziale non so bene che caso utilizzare. Dato che mi trovo $ e^t $ al secondo membro dovrei utilizzare uno dei casi base dove ho il polinomio dello stesso grado dell'eq. principale, ma dato che è zero, non esiste, che metto? Lascio solo $ e^t $? Poi come risolvo? Non ci sto capendo nulla..
EDIT: al momento sto studiando il caso $ alpha ne 0 $
$ y''(t) + alpha^2y(t) = e^t $ con $ y(0) = 0 $ e $ y'(0) = 1 $
Trovo la soluzione dell'equazione associata che se non ho fatto errori dovrebbe essere $ lambda = +- ialpha $ e quindi $ y(t) = a cos(alphat) + b sin(alphat) $
Ora mi ritrovo a trovare la soluzione particolare della non omogenea, in pratica dato che è un esponenziale non so bene che caso utilizzare. Dato che mi trovo $ e^t $ al secondo membro dovrei utilizzare uno dei casi base dove ho il polinomio dello stesso grado dell'eq. principale, ma dato che è zero, non esiste, che metto? Lascio solo $ e^t $? Poi come risolvo? Non ci sto capendo nulla..
EDIT: al momento sto studiando il caso $ alpha ne 0 $
Risposte
Ciao.
Il termine forzante dell'equazione è dato da una funzione del tipo $e^{alpha*t}$ (che è esponenziale e non polinomiale), dove, nel tuo caso, $alpha=1$ risulta essere diverso da entrambe le soluzioni del polinomio caratteristico.
La "risposta forzata" (cioè la parte di soluzione dipendente dal termine forzante) da impostare dovrebbe essere del tipo $k*e^{alpha*t}$, con $k$ da determinare.
Saluti.
Il termine forzante dell'equazione è dato da una funzione del tipo $e^{alpha*t}$ (che è esponenziale e non polinomiale), dove, nel tuo caso, $alpha=1$ risulta essere diverso da entrambe le soluzioni del polinomio caratteristico.
La "risposta forzata" (cioè la parte di soluzione dipendente dal termine forzante) da impostare dovrebbe essere del tipo $k*e^{alpha*t}$, con $k$ da determinare.
Saluti.
Ciao e grazie della risposta. Mi rimane il dubbio su perché k, è proprio la regola?
Comunque, svolgendo con $ k e^t $ mi ritrovo la derivata seconda uguale all'originale e sostituendo ottengo:
$ k e^t + alpha^2 k e^t = e^t $
ma ora come procedo per ottenere k?
Comunque, svolgendo con $ k e^t $ mi ritrovo la derivata seconda uguale all'originale e sostituendo ottengo:
$ k e^t + alpha^2 k e^t = e^t $
ma ora come procedo per ottenere k?
Ciao.
Hai già applicato la procedura correttamente; grazie a tale procedura, ricavi il valore giusto da attribuire a $k$ nella risposta forzata dividendo per $e^t$ entrambi i membri della relazione da te riportata.
Nel tuo caso $k$ dipenderà dalla costante $alpha$, supponendola nota.
Attenzione, ho commesso una svista simbolica: il termine $alpha$ che compare all'esponente nella regola generale di risposta forzata di tipo esponenziale non è lo stesso $alpha$ termine costante che compare nell'equazione.
Saluti.
Hai già applicato la procedura correttamente; grazie a tale procedura, ricavi il valore giusto da attribuire a $k$ nella risposta forzata dividendo per $e^t$ entrambi i membri della relazione da te riportata.
Nel tuo caso $k$ dipenderà dalla costante $alpha$, supponendola nota.
Attenzione, ho commesso una svista simbolica: il termine $alpha$ che compare all'esponente nella regola generale di risposta forzata di tipo esponenziale non è lo stesso $alpha$ termine costante che compare nell'equazione.
Saluti.
Grazie mille ho risolto l'esercizio!
Ne sono lieto.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo