Metodo perturbativo equazioni differenziali
Stavo studiando l'equazione differenziale
${d^2y}/{dt^2}+y=\epsilon[{dy}/{dt}-1/3({dy}/{dt})^3]$
come riportata a pagina 5 di questo articolo.
Per quanto riguarda lo sviluppo perturbativo dice:
Tuttavia c'è qualcosa che non mi torna. In uno sviluppo perturbativo le condizioni iniziali $y(t_0) = a$, $\doty(t_0) = b$ ricadono sul termine di ordine zero, ovvero $y_0(t_0) = a$, $\doty_0(t_0) = b$, mentre per i termini di ordine $n>=1$ si ha $y_n(t_0) = 0$, $\doty_n(t_0) = 0$.
Dalla soluzione fornita risulta che il termine di ordine uno è $y_1(t) = -{R_0^3}/96 \cos(t+\Theta_0) + R_0/2(1-R_0^2/4)(t-t_0)\sin(t+\Theta_0) + {R_0^3}/96 \cos3(t+\Theta_0)$. Ma $y_1(t_0) = -{R_0^3}/96 \cos(t_0+\Theta_0) + {R_0^3}/96 \cos3(t_0+\Theta_0)$ che è in generale diverso da zero. Sto commettendo qualche errore grossolano oppure la soluzione proposta è errata?
${d^2y}/{dt^2}+y=\epsilon[{dy}/{dt}-1/3({dy}/{dt})^3]$
come riportata a pagina 5 di questo articolo.
Per quanto riguarda lo sviluppo perturbativo dice:
A naive expansion $y=y_0+\epsilony_1+\epsilon^2y_2$... gives
$y(t) = R_0 \sin(t+\Theta_0) + \epsilon{-{R_0^3}/96 \cos(t+\Theta_0) + R_0/2(1-R_0^2/4)(t-t_0)\sin(t+\Theta_0) + {R_0^3}/96 \cos3(t+\Theta_0)} + O(\epsilon^2)$,
where $R_0,\Theta_0$ are constants determined by the initial conditions at arbitrary time $t=t_0$.
Tuttavia c'è qualcosa che non mi torna. In uno sviluppo perturbativo le condizioni iniziali $y(t_0) = a$, $\doty(t_0) = b$ ricadono sul termine di ordine zero, ovvero $y_0(t_0) = a$, $\doty_0(t_0) = b$, mentre per i termini di ordine $n>=1$ si ha $y_n(t_0) = 0$, $\doty_n(t_0) = 0$.
Dalla soluzione fornita risulta che il termine di ordine uno è $y_1(t) = -{R_0^3}/96 \cos(t+\Theta_0) + R_0/2(1-R_0^2/4)(t-t_0)\sin(t+\Theta_0) + {R_0^3}/96 \cos3(t+\Theta_0)$. Ma $y_1(t_0) = -{R_0^3}/96 \cos(t_0+\Theta_0) + {R_0^3}/96 \cos3(t_0+\Theta_0)$ che è in generale diverso da zero. Sto commettendo qualche errore grossolano oppure la soluzione proposta è errata?
Risposte
La tua osservazione mi pare corretta! Tuttavia mi pare di capire che la soluzione proposta tenga conto del fatto che $epsilon(t-t_0)<=1$ visto che altrimenti il metodo delle perturbazioni fallisce miseramente (sempre a pagina 5 subito sotto a quanto hai riportato). In questo senso quindi la determinazione di $Theta_0$ potrebbe far diventare:
$cos(t+Theta_0) \sim cos3(t+Theta_0)$
in generale dovrebbe essere cmq che $dot y_n(x_0)=0$ e $y_n(x_0)=0$
$cos(t+Theta_0) \sim cos3(t+Theta_0)$
in generale dovrebbe essere cmq che $dot y_n(x_0)=0$ e $y_n(x_0)=0$
"Lord K":
La tua osservazione mi pare corretta! Tuttavia mi pare di capire che la soluzione proposta tenga conto del fatto che $epsilon(t-t_0)<=1$ visto che altrimenti il metodo delle perturbazioni fallisce miseramente (sempre a pagina 5 subito sotto a quanto hai riportato).
La condizione $epsilon(t-t_0)<=1$ garantisce che quello sviluppo dia un'approssimazione ragionevole, tuttavia l'obiettivo dell'analisi di quell'equazione differenziale sta nel mostrare che è rinormalizzabile, ovvero che la presenza di termini secolari del tipo $(t-t_0)$ è causata dallo sviluppo perturbativo, mentre questi non appaiono nella soluzione esatta che rimane limitata.
"Lord K":
In questo senso quindi la determinazione di $Theta_0$ potrebbe far diventare:
$cos(t+Theta_0) \sim cos3(t+Theta_0)$
in generale dovrebbe essere cmq che $dot y_n(x_0)=0$ e $y_n(x_0)=0$
Anche volendo mantenere la condizione $epsilon(t-t_0)<=1$ credo sia comunque possibile scegliere delle condizioni iniziali (inclusa la scelta di $t_0$) per cui risulti $cos(t+Theta_0)$ sensibilmente diverso da $cos3(t+Theta_0)$.
Pare un po' strano che un articolo pubblicato sbagli alla seconda equazione! Per questo mi chiedo se non mi stia sfuggendo qualcosa magari di molto banale.
Sto ripercorrendo i conti dell'articolo, a me risultano le seguenti equazioni:
$(d^2y_0)/(dt^2) + y_0 = 0$
$(d^2y_1)/(dt^2) + y_1 =2/3 (dy_0)/(dt) $
$(d^2y_2)/(dt^2) + y_2 = (dy_1)/(dt)*(1-1/3*(dy_0)/(dt)) $
dove: $y=y_0+epsilony_1+epsilon^2y_2 + o(epsilon^2)$ che comunque mi portano a soluzioni differenti...
$(d^2y_0)/(dt^2) + y_0 = 0$
$(d^2y_1)/(dt^2) + y_1 =2/3 (dy_0)/(dt) $
$(d^2y_2)/(dt^2) + y_2 = (dy_1)/(dt)*(1-1/3*(dy_0)/(dt)) $
dove: $y=y_0+epsilony_1+epsilon^2y_2 + o(epsilon^2)$ che comunque mi portano a soluzioni differenti...
Quella di ordine zero ha come soluzione $y_0(t) = R_0\sin(t+\Theta_0)$.
Non mi trovo invece con quella di ordine uno invece, che dovrebbe essere
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = {dy_0}/{dt} - 1/3({dy_0}/{dt})^3$
da cui sostituendo si ottiene
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = R_0\cos(t+\Theta_0) - 1/3R_0^3\cos^3(t+\Theta_0)$
Utilizzando $cos^3t=1/4cos3t+3/4cost$ diventa
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = R_0(1-{R_0^2}/4)\cos(t+\Theta_0) - {R_0^3}/12\cos3(t+\Theta_0)$
Non mi trovo invece con quella di ordine uno invece, che dovrebbe essere
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = {dy_0}/{dt} - 1/3({dy_0}/{dt})^3$
da cui sostituendo si ottiene
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = R_0\cos(t+\Theta_0) - 1/3R_0^3\cos^3(t+\Theta_0)$
Utilizzando $cos^3t=1/4cos3t+3/4cost$ diventa
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = R_0(1-{R_0^2}/4)\cos(t+\Theta_0) - {R_0^3}/12\cos3(t+\Theta_0)$
La prima si integra facilmente:
$y_0=R_0 sin(t+Theta_0)$
che poi produce la seconda:
$(d^2y_1)/(dt^2) + y_1 = 2/3 cos(t+Theta_0)$
$y_0=R_0 sin(t+Theta_0)$
che poi produce la seconda:
$(d^2y_1)/(dt^2) + y_1 = 2/3 cos(t+Theta_0)$
"Eredir":
Quella di ordine zero ha come soluzione $y_0(t) = R_0\sin(t+\Theta_0)$.
Non mi trovo invece con quella di ordine uno invece, che dovrebbe essere
${d^2y_1}/{dt^2} + y_1 = {dy_0}/{dt} - 1/3({dy_0}/{dt})^3$
Hai ragione mi sono dimenticato l'esponente!
Aggiungo anche il risultato che ho trovato. Nella forma che ho scritto nell'ultimo post si verifica facilmente che una soluzione particolare è data da
$R_0/2(1-{R_0^2}/4)t\sin(t+\Theta_0) + {R_0^3}/96\cos3(t+\Theta_0)$
Quindi alla fine non mi trovo solo per quanto riguarda la soluzione dell'omogenea.
$R_0/2(1-{R_0^2}/4)t\sin(t+\Theta_0) + {R_0^3}/96\cos3(t+\Theta_0)$
Quindi alla fine non mi trovo solo per quanto riguarda la soluzione dell'omogenea.
Facendo una verifica "al contrario" ho inserito la soluzione proposta nell'articolo ma non combacia!
Guardando un po' il resto dell'articolo mi sono accorto che anche nel paragrafo successivo, precisamente nell'equazione 2.13, c'è lo stesso problema per le condizioni iniziali.
A questo punto inizio a pensare che faccia effettivamente la posizione $cos(t+Theta_0) \sim cos3(t+Theta_0)$, che però come ho detto prima non mi pare molto giustificata. Mi sorprende che non ci sia una riga di spiegazione a riguardo.
A questo punto inizio a pensare che faccia effettivamente la posizione $cos(t+Theta_0) \sim cos3(t+Theta_0)$, che però come ho detto prima non mi pare molto giustificata. Mi sorprende che non ci sia una riga di spiegazione a riguardo.
Solo per dire che qui:
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... PRE_96.pdf
c'è la versione pubblicata dell'articolo.
Magari potrebbe esserci qualche correzione.
PHYSICAL REVIEW E
VOLUME 54, NUMBER 1
JULY 1996
Prego leggere la nota a mano in rosso a pag. 3...
Penso sia stata messa da Davd Cai:
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... cAnalysis/
Magari se i dubbi persistono un mail a lui lo puoi mandare, che ti dia una mano a sbrogliare la matassa.
O direttamente agli autori del lavoro.
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... PRE_96.pdf
c'è la versione pubblicata dell'articolo.
Magari potrebbe esserci qualche correzione.
PHYSICAL REVIEW E
VOLUME 54, NUMBER 1
JULY 1996
Prego leggere la nota a mano in rosso a pag. 3...
Penso sia stata messa da Davd Cai:
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... cAnalysis/
Magari se i dubbi persistono un mail a lui lo puoi mandare, che ti dia una mano a sbrogliare la matassa.
O direttamente agli autori del lavoro.
"Fioravante Patrone":
Solo per dire che qui:
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... PRE_96.pdf
c'è la versione pubblicata dell'articolo.
Magari potrebbe esserci qualche correzione.
PHYSICAL REVIEW E
VOLUME 54, NUMBER 1
JULY 1996
Non ci sono differenze in quei paragrafi, avevo già controllato poichè la versione che ho sottomano è proprio quella pubblicata.
"Fioravante Patrone":
Prego leggere la nota a mano in rosso a pag. 3...
Penso sia stata messa da Davd Cai:
http://www.math.nyu.edu/~cai/Courses/As ... cAnalysis/
Magari se i dubbi persistono un mail a lui lo puoi mandare, che ti dia una mano a sbrogliare la matassa.
O direttamente agli autori del lavoro.
Vista anche la nota nel suo cattivissimo rosso.
A questo punto aspetto che riprendano le lezioni per chiedere spiegazioni al professore che mi ha fornito l'articolo. Se anche lui non mi sa dire niente allora valuterò l'idea di tampinare i soggetti da te proposti.
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