Metodo per derivata direzionale
MI è venuto in mente questo metodo per trovare la formula "generica" della derivata lungo una direzione in una funzione a 2 variabili, vorrei sapere se è affidabile.
Pongo y=mx.
Sostituisco nella formula.
E poi calcolo la derivata in funzione di m.
QUesto procedimento si può sempre fare o solo se f è differenziabile?
Pongo y=mx.
Sostituisco nella formula.
E poi calcolo la derivata in funzione di m.
QUesto procedimento si può sempre fare o solo se f è differenziabile?
Risposte
prova con un esempio, sinceramente non mi è molto chiaro quello che dici, non capisco nemmeno cosa intendi per "formula".
Per esempio:
$ z=x^3-y*2 $
voglio la derivata direzionale generica.
Il metodo classico sarebbe di porre una direzione generica (a,b) e calcolarmi il limite per t->0.
invece io dico:
y=mx
poi sostituisco.
$z=x^3-(mx)*2$
e di questa equazione in una variabile calcolo la derivata in funzione del parametro angolare m.
Ah, chiaramente intendo derivate direzionali nell origine.
$ z=x^3-y*2 $
voglio la derivata direzionale generica.
Il metodo classico sarebbe di porre una direzione generica (a,b) e calcolarmi il limite per t->0.
invece io dico:
y=mx
poi sostituisco.
$z=x^3-(mx)*2$
e di questa equazione in una variabile calcolo la derivata in funzione del parametro angolare m.
Ah, chiaramente intendo derivate direzionali nell origine.
Insomma, calcoli la derivata rispetto ad [tex]$m$[/tex], che viene [tex]$2x$[/tex], e poi metti [tex]$x=0$[/tex] (perchè sei nell'origine); viene [tex]$0$[/tex] per ogni [tex]$m$[/tex], ovviamente, contro il fatto che:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial \lambda} (0,0) =\langle \text{D} f(0,0),\lambda \rangle $[/tex]
[tex]$=f_x(0,0)\ \lambda_1+f_y(0,0)\ \lambda_2$[/tex]
[tex]$=3x^2\Big|_{(x,y)=(0,0)}\ \lambda_1 +(-2)\Big|_{(x,y)=(0,0)}\ \lambda_2$[/tex]
[tex]$=-2\lambda_2$[/tex]
(qui [tex]$\lambda =(\lambda_1,\lambda_2)$[/tex] è la direzione in cui calcoli la derivata).
Complimenti! Hai appena trovato un controesempio.
[tex]$\frac{\partial f}{\partial \lambda} (0,0) =\langle \text{D} f(0,0),\lambda \rangle $[/tex]
[tex]$=f_x(0,0)\ \lambda_1+f_y(0,0)\ \lambda_2$[/tex]
[tex]$=3x^2\Big|_{(x,y)=(0,0)}\ \lambda_1 +(-2)\Big|_{(x,y)=(0,0)}\ \lambda_2$[/tex]
[tex]$=-2\lambda_2$[/tex]
(qui [tex]$\lambda =(\lambda_1,\lambda_2)$[/tex] è la direzione in cui calcoli la derivata).
Complimenti! Hai appena trovato un controesempio.
io veramente intendevo derivare rispetto alla x...
Ah... Avevo capito male; pensavo volessi derivare rispetto ad [tex]$m$[/tex].
Comunque ho le mie riserve.
Infatti quel che dici vale se vuoi derivare rispetto a direzioni del tipo [tex]$\lambda =(1,m)$[/tex] (che 1 non sono individuate da un versore, perchè [tex]$|\lambda|=\sqrt{1+m^2} >1$[/tex] se [tex]$m>0$[/tex], e 2 non comprendono la direzione dell'asse [tex]$y$[/tex]), ma appena vuoi fare i conti rispetto ad un altro tipo di direzioni secondo me vai a finire in terre inesplorate.
Ad esempio, non vedo come tu possa calcolare la derivata di [tex]$f(x,y)$[/tex] rispetto alla direzione [tex]$\lambda=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})$[/tex] (direzione della bisettrice I-III). Potresti essere così gentile da mostrarmelo?
Comunque ho le mie riserve.
Infatti quel che dici vale se vuoi derivare rispetto a direzioni del tipo [tex]$\lambda =(1,m)$[/tex] (che 1 non sono individuate da un versore, perchè [tex]$|\lambda|=\sqrt{1+m^2} >1$[/tex] se [tex]$m>0$[/tex], e 2 non comprendono la direzione dell'asse [tex]$y$[/tex]), ma appena vuoi fare i conti rispetto ad un altro tipo di direzioni secondo me vai a finire in terre inesplorate.
Ad esempio, non vedo come tu possa calcolare la derivata di [tex]$f(x,y)$[/tex] rispetto alla direzione [tex]$\lambda=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})$[/tex] (direzione della bisettrice I-III). Potresti essere così gentile da mostrarmelo?
Ho capito il tuo ragionamento, Hop Frog, e credo che la cosa si possa sistemare e far funzionare.
Mentre che mi viene una idea geniale per aggirare i problemi sollevati da gugo, direi solo una cosa
Dovrebbe bastare che uno prende il gradiente e lo moltiplica scalarmente con il vettore (unitario) direzionale, se ben ricordo.
Se il tuo vettore $(1,m)$ ha la fortuna di essere un versore allora il tuo metodo coincide... altrimenti mi sa che devi tener conto della cosa e moltiplicare da qualche parte per qualcosa, ma se guardi l'ora vedi bene che adesso non sarei in grado di dirti da che parte né che cosa...
Mentre che mi viene una idea geniale per aggirare i problemi sollevati da gugo, direi solo una cosa
Il metodo classico sarebbe di porre una direzione generica (a,b) e calcolarmi il limite per t->0.
Dovrebbe bastare che uno prende il gradiente e lo moltiplica scalarmente con il vettore (unitario) direzionale, se ben ricordo.
Se il tuo vettore $(1,m)$ ha la fortuna di essere un versore allora il tuo metodo coincide... altrimenti mi sa che devi tener conto della cosa e moltiplicare da qualche parte per qualcosa, ma se guardi l'ora vedi bene che adesso non sarei in grado di dirti da che parte né che cosa...
"panurge":Devi dividere il risultato per $\sqrt{1+m^2}$, ovvero per la lunghezza del vettore $(1, m)$.
Se il tuo vettore $(1,m)$ ha la fortuna di essere un versore allora il tuo metodo coincide... altrimenti mi sa che devi tener conto della cosa e moltiplicare da qualche parte per qualcosa
Ad esempio, non vedo come tu possa calcolare la derivata di $f(x,y)$ rispetto alla direzione $\lambda=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})$ (direzione della bisettrice I-III). Potresti essere così gentile da mostrarmelo?
in questo caso prenderei y=x, ovvero studierei la funzione sul piano y=x
Dovrebbe bastare che uno prende il gradiente e lo moltiplica scalarmente con il vettore (unitario) direzionale, se ben ricordo.
Questo solo se la funzione è differenziabile..
Hop Frog, il tuo metodo non funziona e ti dico il perchè...
facendo quello che dici tu, non si trova il valore della derivata direzionale, ma si ottiene la derivata della proiezione della curva (data dall'intersezione della superfice con il piano $y=mx$).
Infatti ciò che ottieni è una curva $z=f(x)$ e quindi derivando questa, derivi una curva che si trova nel piano $zx$, ossia la curva intersezione proiettata su $zx$.
facendo quello che dici tu, non si trova il valore della derivata direzionale, ma si ottiene la derivata della proiezione della curva (data dall'intersezione della superfice con il piano $y=mx$).
Infatti ciò che ottieni è una curva $z=f(x)$ e quindi derivando questa, derivi una curva che si trova nel piano $zx$, ossia la curva intersezione proiettata su $zx$.
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