Metodo per convergenza uniforme
Buongiorno a tutti, avrei una domanda per quanto riguarda la conv. uniforme
Ho qui la funzione $f_n(x) = sqrt(n-x^(2n))/n^3$ e devo studiarne la convergenza uniforme con $x \in [-1,1]$
C'è un altro metodo oltre a quello della classica definizione $lim_(n->\infty) max|f_n(x)-f(x)| = 0$ ? Poichè calcolare la derivata a volte può essere faticoso e portare ad un vicolo cieco.
La funzione che ho proposto è solo un esempio, voglio un discorso in linea generale..c'è un'altra strada?
Ho qui la funzione $f_n(x) = sqrt(n-x^(2n))/n^3$ e devo studiarne la convergenza uniforme con $x \in [-1,1]$
C'è un altro metodo oltre a quello della classica definizione $lim_(n->\infty) max|f_n(x)-f(x)| = 0$ ? Poichè calcolare la derivata a volte può essere faticoso e portare ad un vicolo cieco.
La funzione che ho proposto è solo un esempio, voglio un discorso in linea generale..c'è un'altra strada?
Risposte
Innanzi tutto Benvenuto nel forum AstaLaVista!!
Si ci sono il primo e il secondo teorema del Dini, sono teoremi sulla monotonia.
Supponendo che $f_n(x)$ sia una successione di funzioni continue definite su un intervallo chiuso e limitato e che tale successione converga puntualmente a $f(x)$ e tale funzione sia continua, Allora abbiamo che
il primo teorema dice che se $f_n(x)$ è una successione monotona in $n$ (ad esempio $f_n> f_{n+1}$) allora la successione converge uniformemente nell'intervallo chiuso e limitato.
Il secondo teorema afferma che se per ogni $n$ abbiamo che $f_n(x)$ è una funzione monotona in $x$ all'interno dell'intervallo chiuso e limitato allora la successione converge uniformemente a $f(x)$ e inoltre tale funzione è monotona in $x$.
Nel tuo esempio potremmo applicare i teorema, infatti $[-1,1]$ è chiuso e limitato $f_n(x)$ è chiaramente continua per ogni $n$, il limite puntuale è $f(x)=0$ per ogni $x\in[-1,1]$ che è chiaramente una funzione continua.
Purtroppo però $f_n$ chiaramente non è monotona in $x$ visto che sono tutte funzioni pari. Mentre dimostrare che è monotona in $n$ non mi sembra così semplice(sempre che lo sia), però ci puoi provare.
Io però in questo caso non calcolerei nessuna derivata, basta scrivere la successione come
$$
f_n(x)=\frac{\sqrt{1-\frac{x^{2n}}{n}}}{n^{\frac 5 2}}\le \frac{1}{n^{\frac 5 2}} \, \forall \, x \in[-1,1]
$$
Quindi $$\max_{x\in[-1,1]}|f_n(x)-f(x)|\le \frac{1}{n^{\frac 5 2}} $$ per cui la successione converge uniformemente alla funzione nulla. Ho saltato qualche passaggio, ma se non fosse chiaro te li spiego più estesamente, in sostanza ho maggiorato il limite, tutto qui.
Si ci sono il primo e il secondo teorema del Dini, sono teoremi sulla monotonia.
Supponendo che $f_n(x)$ sia una successione di funzioni continue definite su un intervallo chiuso e limitato e che tale successione converga puntualmente a $f(x)$ e tale funzione sia continua, Allora abbiamo che
il primo teorema dice che se $f_n(x)$ è una successione monotona in $n$ (ad esempio $f_n> f_{n+1}$) allora la successione converge uniformemente nell'intervallo chiuso e limitato.
Il secondo teorema afferma che se per ogni $n$ abbiamo che $f_n(x)$ è una funzione monotona in $x$ all'interno dell'intervallo chiuso e limitato allora la successione converge uniformemente a $f(x)$ e inoltre tale funzione è monotona in $x$.
Nel tuo esempio potremmo applicare i teorema, infatti $[-1,1]$ è chiuso e limitato $f_n(x)$ è chiaramente continua per ogni $n$, il limite puntuale è $f(x)=0$ per ogni $x\in[-1,1]$ che è chiaramente una funzione continua.
Purtroppo però $f_n$ chiaramente non è monotona in $x$ visto che sono tutte funzioni pari. Mentre dimostrare che è monotona in $n$ non mi sembra così semplice(sempre che lo sia), però ci puoi provare.
Io però in questo caso non calcolerei nessuna derivata, basta scrivere la successione come
$$
f_n(x)=\frac{\sqrt{1-\frac{x^{2n}}{n}}}{n^{\frac 5 2}}\le \frac{1}{n^{\frac 5 2}} \, \forall \, x \in[-1,1]
$$
Quindi $$\max_{x\in[-1,1]}|f_n(x)-f(x)|\le \frac{1}{n^{\frac 5 2}} $$ per cui la successione converge uniformemente alla funzione nulla. Ho saltato qualche passaggio, ma se non fosse chiaro te li spiego più estesamente, in sostanza ho maggiorato il limite, tutto qui.
Innanzitutto ti ringrazio per l'accoglienza, sei stato molto gentile 
Ti ringrazio molto anche per la spiegazione e la pazienza che mi hai dedicato per i miei dubbi; in definitiva hai essenzialmente riscritto la $f_n(x)$ in modo analogo, e se ho interpretato bene, hai diviso ambo i membri per $sqrt(n)$ , giusto?
Per quanto riguarda i teoremi che mi hai proposto secondo me sono molto validi, solo che non ne avevo mai sentito parlare prima d'ora e non so se posso applicarli in vista dell'esame, in alternativa ho notato (anche in altri esercizi) che il metodo della maggiorazione risulta molto utile per questa tipologia e per questo motivo volevo farti notare se ho appreso bene :
Ho qui la mia $f_n(x) = (n*cosx)/(n^2+sen^2x)$ con $x\in [0,pi/2]$ che converge puntualmente a $f(x) = 0$
Per la convergenza uniforme procedo così :
$|(n*cosx)/(1+sen^2x)|<= |n/(1+n^2)|$ dunque $max_(x\in[0,pi/2]) |f_n(x)-f(x)| <= n/(1+n^2) = 0$, è sbagliato?
Ti ringrazio molto anche per la spiegazione e la pazienza che mi hai dedicato per i miei dubbi; in definitiva hai essenzialmente riscritto la $f_n(x)$ in modo analogo, e se ho interpretato bene, hai diviso ambo i membri per $sqrt(n)$ , giusto?
Per quanto riguarda i teoremi che mi hai proposto secondo me sono molto validi, solo che non ne avevo mai sentito parlare prima d'ora e non so se posso applicarli in vista dell'esame, in alternativa ho notato (anche in altri esercizi) che il metodo della maggiorazione risulta molto utile per questa tipologia e per questo motivo volevo farti notare se ho appreso bene :
Ho qui la mia $f_n(x) = (n*cosx)/(n^2+sen^2x)$ con $x\in [0,pi/2]$ che converge puntualmente a $f(x) = 0$
Per la convergenza uniforme procedo così :
$|(n*cosx)/(1+sen^2x)|<= |n/(1+n^2)|$ dunque $max_(x\in[0,pi/2]) |f_n(x)-f(x)| <= n/(1+n^2) = 0$, è sbagliato?
"AstaLaVista":
Ti ringrazio molto anche per la spiegazione e la pazienza che mi hai dedicato per i miei dubbi; in definitiva hai essenzialmente riscritto la $f_n(x)$ in modo analogo, e se ho interpretato bene, hai diviso ambo i membri per $sqrt(n)$ , giusto?
"Ambo i membri"? Quali membri? non ho un uguaglianza ma una funzione, ho semplicemente raccolto $n$ all'interno della radice, l'ho portato fuori, e ho usato le proprietà delle potenze
:$$
f_n(x)=\frac{\sqrt{n-x^{2n}}}{n^3}=\frac{\sqrt{n\left(1-\frac{x^{2n}}{n}\right)}}{n^3}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{1-\frac{x^{2n}}{n}}}{n^3}=\frac{\sqrt{1-\frac{x^{2n}}{n}}}{n^{3-\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{1-\frac{x^{2n}}{n}}}{n^{\frac{5}{2}}}
$$
"AstaLaVista":
Per quanto riguarda i teoremi che mi hai proposto secondo me sono molto validi, solo che non ne avevo mai sentito parlare prima d'ora e non so se posso applicarli in vista dell'esame...
Li trovi nelle prime pagine del libro "Analisi Matematica due - Fusco, Marcellini, Sbordone"
"AstaLaVista":
Ho qui la mia $f_n(x) = (n*cosx)/(n^2+sen^2x)$ con $x\in [0,pi/2]$ che converge puntualmente a $f(x) = 0$
Per la convergenza uniforme procedo così :
$|(n*cosx)/(1+sen^2x)|<= |n/(1+n^2)|$ dunque $max_(x\in[0,pi/2]) |f_n(x)-f(x)| <= n/(1+n^2) = 0$, è sbagliato?
Temo sia una procedura errata... anche perché nel testo c'è un fattore $n^2$ a denominatore mentre nei tuoi conti questo termine è scomparso... prova a spiegarmi i tuoi passaggi e poi ti dico come procederei io...
Inoltre formalmente non puoi scrivere alla fine $=0$ ma o scrivi il limite oppure scrivi $\to 0$.
Scusami.. ho sbagliato a scrivere la $f_n(x)$ per ben 2 volte 
$f_n(x) = (n*cosx)/(1+n^2sen^2x)$, comunque avevo pensato, visto che $senx$ e $cosx$ agiscono nel primo quadrante, il loro valore sarà essenzialmente sempre $[0,1]$ (quindi posso in qualche modo "trascurarli"), ma a quanto pare non regge.. tu come faresti?
E per la cronaca.. la prof ci ha consigliato "Elementi di Analisi Matematica due" - Marcellini, Sbordone che omette quei teoremi
$f_n(x) = (n*cosx)/(1+n^2sen^2x)$, comunque avevo pensato, visto che $senx$ e $cosx$ agiscono nel primo quadrante, il loro valore sarà essenzialmente sempre $[0,1]$ (quindi posso in qualche modo "trascurarli"), ma a quanto pare non regge.. tu come faresti?
E per la cronaca.. la prof ci ha consigliato "Elementi di Analisi Matematica due" - Marcellini, Sbordone che omette quei teoremi
"AstaLaVista":
Scusami.. ho sbagliato a scrivere la $ f_n(x) $ per ben 2 volte
$ f_n(x) = (n*cosx)/(1+n^2sen^2x) $
Ma allora cambia tutto, questa funzione evidentemente non può convergere uniformemente in $[0,\frac pi 2 ]$ perché $f_n(0)=n$ e quindi non esiste il limite puntuale in $[0,\frac pi 2 ]$, perché c'è un valore di $x$ per cui tale limite sarebbe infinito. Quindi non può nemmeno convergere uniformemente.
Fine dell'esercizio.
Poi nel caso in cui come dominio prendessi $(0,\frac pi 2 ]$ il limite puntuale esiste ed è la funzione $f(x)=0$.
Però ci sono infinite successioni di punti che mostrano che l'estremo superiore(in questo caso visto che l'insieme non è chiuso non si può parlare di massimo) non può tendere a zero.
Per vederlo prendiamo i punti $x=\frac 1 n$ questi punti per ogni $n$ appartengono a $(0,\frac pi 2 ]$ quindi tutto regolare, studiamo come si comporta la successione in questi punti.
$$
f_n\left(\frac 1 n\right)=\frac{n\cos(\frac 1 n)}{1+n^2\sin^2(\frac 1 n)}\sim \frac n 2 \to +\infty
$$
dove ho usato 2 asintotici notevoli (se non ti è chiaro me lo dici e ti faccio i passaggi), lo potevi fare anche maggiorando $\sin x \le x$ e quindi minorando tutta l'espressione.
Adesso non sappiamo se $x=\frac 1 n$ sia il massimo assoluto di $f_n(x)$ però di sicuro abbiamo che
$$
\lim_{n\to +\infty}|\sup_{x\in(0,\frac \pi 2)}(f_n(x))-0|\ge \lim_{n\to +\infty}\frac n 2 =+\infty
$$
Quindi il limite originario è infinito e quindi non può essere zero.
Per avere che la successione che converga uniformemente devi stringere ulteriormente il dominio, scegliendo $\epsilon>0$ e restringendo il dominio a $[\epsilon,\frac \pi 2]$ . nota che in questo caso non è più vero che $x=\frac 1 n$ appartiene al dominio per ogni $n$.
"AstaLaVista":
(quindi posso in qualche modo "trascurarli")
Questo ragionamento non sta ne in cielo ne in cella!
L'unico ragionamento che ha un senso sono le disuguaglianze ! se tu tramite disuguaglianze riesci a dimostrare che un cosa è più piccola(o più grande) di un altra allora ok altrimenti non fai niente!
Ad esempio tu sai che in generale $\cos x \le 1$ questo significa che $\frac{f_n(x)\cos(x)}{g_n(x)}\le \frac{f_n(x)}{g_n(x)}$ lo stesso dicasi per il seno e per le loro potenze. Però ad esempio la disuguaglianza che abbiamo sul coseno, NON IMPLICA IN NESSUN MODO che $\frac{f_n(x)}{g_n(x)\cos(x)}\le \frac{f_n(x)}{g_n(x)}$ quest'ultima disuguaglianza è FALSA!!
Una cosa che si può fare con i denominatori ad esempio è questo, se hai ad esempio $\frac{g_n(x)}{1+f_n(x)}$ allora se sei fortuna e sia $f_n(x)$ che $g_n(x)$ sono positive per ogni $n$ e per ogni $x$ allora puoi notare che
$$
f_n(x)>0 \Rightarrow 1+f_n(x)>1 \Rightarrow 1>\frac{1}{1+f_n(x)} \Rightarrow \frac{1}{1+f_n(x)}<1\Rightarrow \frac{g_n(x)}{1+f_n(x)}
Ora nel tuo caso $n\cos(x)\ge 0$ e$n^2\sin^2(x)\ge 0$ $\forall n$ e $\forall x\in[0,\frac \pi 2]$ Quindi si può applicare in teoria questo ragionamento, però in questo caso particolare non porta da nessuna parte salvo che nell'ultimo restringimento del dominio $[\epsilon,\frac \pi 2]$.
"AstaLaVista":
E per la cronaca.. la prof ci ha consigliato "Elementi di Analisi Matematica due" - Marcellini, Sbordone che omette quei teoremi
Quella che vi ha consigliato è la versione ridotta e semplificata del libro che ti ho menzionato.
Ti ringrazio veramente tanto! Sei stato molto utile, paziente e preciso e mi hai fatto notare in modo molto accurato i miei errori. Ho sempre avuto difficoltà con queste successioni e convergenze, ma ora credo di aver fatto tesoro dei tuoi "insegnamenti". Fossero tutti come te su questo forum, sarebbe tutto molto più semplice Grazie ancora!
Grazie ancora!
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