Metodo di variazione delle costanti di Lagrange

[swanrhcp]

Salve, ho un dubbio sul metodo di variazione delle costanti di Lagrange. Avendo un'equazione lineare del secondo ordine a coefficienti e termine noto continui, del tipo $y'' +a(x)y'+ b(x)y = f(x)$, sappiamo che l'integrale generale è dato da $y(x)=c1y1 + c2y2 + Vo(x) $ dove $y1$ e$ y2$ sono due integrali linearmente indipendenti dell'omogenea associata. Il metodo delle variazioni dice che siano $A' $e $B' $due funzioni derivate tale che risolvono questo sistema:

$ { (A'y1 + B'y2 = 0 ),( A'y'1 + B'y'2 = f(x) ):} $

una volta trovati i valori di $ B'$ ed $A' $ si integrano per trovare $ A$ e$ B $ e poi come faccio a trovare $Vo(x)$ ???

Io ho provato a fare così $Vo(x)= Ay1 + By2 $ però il risultato o mi usciva sempre $0$ oppure usciva diverso da come dovrebbe uscire, sbaglio in qualche passaggio?

E poi per trovare all'inizio gli integrali dell'omogenea associata, trovo le soluzioni del polinomio caratteristico e le inserisco nella formula generale $Yo(x)= C1e^(l1x) + C2e^(l2x)$. Ma con che criterio decido se accoppiare la soluzione $l1$ con $C1$ o con $C2$??? Vi faccio un esempio pratico, se dal polinomio caratteristico $P(l)$ mi escono due soluzioni:
$l= 1$ ed $l=2$, io l'integrale di soluzione lo scrivo come:
$Yo(x)= C1 e^x + C2 e^(2x)$ oppure $Yo(x)= C1 e^(2x) + C2 e^(x)$ ???

Grazie

[swanrhcp]

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