Metodo di variazione delle costanti con ODE di grado n

[FaberMkD1]

Salve a tutti,
a causa di un prof che fa sorpresine all'esame con materiale non sempre in programma sto approfondendo diversi argomenti , tra cui la risoluzione delle ODE non omogenee di grado n, premettendo di saper applicare il metodo di variazione delle costanti nella sua forma più semplice ( cioè quelle per le ODE di 2° grado) volevo chiedervi se qualcuno di voi poteva fornirmi qualche chiarimento o un esempio di come si applichi ad un'ODE di grado n perchè purtroppo dopo diversi tentativi di fare qualche applicazione da solo non riesco ad ottenere risultati validi..

io per ora ho capito che (facendo l'esempio con un ODE del III grado quale : $ 2y'''+7y''+7'+2y=x^2 $ )
- mi calcolo le soluzioni dell'omogenea associata che vale :
$ z(x)= c1*e^(-x)+c2*e^(-x/2)+c3*e^(-2x) $
partendo da cio' imposto il sistema

$ { ( c1'(x)*e^-x +c2'(x)*e^(-x/2)+c3'(x)*e^(-2x) = 0 ),( -c1'(x)*e^(-x)-1/2*c2'(x)*e^(x/2)-2c3'(x)*e^(-2x)=0 ),( = x^2))} $ dove al posto del menbro vuoto a sinistra nella terza riga non so se derivare nuovamente o far altro... e di conseguenza calcolarsi il wronskiano e procedere come nel caso delle ode di grado 2...
ringrazio anticipatamente chiunque possa darmi anche qualche consiglio perchè non riesco davvero ad uscirne ! grazie

[wnvl]

"FaberMkD":Salve a tutti,
a causa di un prof che fa sorpresine all'esame con materiale non sempre in programma sto approfondendo diversi argomenti , tra cui la risoluzione delle ODE non omogenee di grado n, premettendo di saper applicare il metodo di variazione delle costanti nella sua forma più semplice ( cioè quelle per le ODE di 2° grado) volevo chiedervi se qualcuno di voi poteva fornirmi qualche chiarimento o un esempio di come si applichi ad un'ODE di grado n perchè purtroppo dopo diversi tentativi di fare qualche applicazione da solo non riesco ad ottenere risultati validi..

io per ora ho capito che (facendo l'esempio con un ODE del III grado quale : $ 2y'''+7y''+7'+2y=x^2 $ )
- mi calcolo le soluzioni dell'omogenea associata che vale :
$ z(x)= c1*e^(-x)+c2*e^(-x/2)+c3*e^(-2x) $
partendo da cio' imposto il sistema

$ { ( c1'(x)*e^-x +c2'(x)*e^(-x/2)+c3'(x)*e^(-2x) = 0 ),( -c1'(x)*e^(-x)-1/2*c2'(x)*e^(x/2)-2c3'(x)*e^(-2x)=0 ),( = x^2))} $ dove al posto del menbro vuoto a sinistra nella terza riga non so se derivare nuovamente o far altro... e di conseguenza calcolarsi il wronskiano e procedere come nel caso delle ode di grado 2...
ringrazio anticipatamente chiunque possa darmi anche qualche consiglio perchè non riesco davvero ad uscirne ! grazie

Sì, devi derivare nuovamente...

\(\displaystyle c1'(x)*e^{-x}+1/4*c2'(x)*e^{x/2}+4c3'(x)*e^{-2x}=x^2 \)

e di conseguenza calcolarsi il wronskiano...

[FaberMkD1]

Grazie mille, un ultima cosa perdonami , quindi se mi ritroverò nella condizione di $ W!=0 $
applicando Cramer otterrò :

$ c1' =[( ( 0 , e^(-x/2) , e^-2x ),( -e^-x , -1/2e^(-x/2) , -2e^(-2x) ),( x^2 , 1/4e^(x/2) , 4e^(-2x) ) ) ]/W $

$ c2' =[( ( e^-x , 0 , e^-2x ),( -e^-x , -1/2e^(-x/2) , -2e^(-2x) ),( e^-x , x^2 , 4e^(-2x) ) ) ]/W $

e $ c3' =[( ( e^-x , e^(-x/2) , 0 ),( -e^-x , -1/2e^(-x/2) , -2e^(-2x) ),( e^-x , 1/4e^(x/2) , x^2 ) ) ]/W $

ed infine $ int c1'(x) dx $ , $ int c2'(x) dx $ e $ int c3'(x) dx $

E' giusto o ho detto qualche castroneria ? =D

[wnvl]

Penso che sia

$ c1' =[( ( 0 , e^(-x/2) , e^-2x ),( 0, -1/2e^(-x/2) , -2e^(-2x) ),( x^2 , 1/4e^(x/2) , 4e^(-2x) ) ) ]/W $

$ c2' =[( ( e^-x , 0 , e^-2x ),( -e^-x , 0 , -2e^(-2x) ),( e^-x , x^2 , 4e^(-2x) ) ) ]/W $

e $ c3' =[( ( e^-x , e^(-x/2) , 0 ),( -e^-x , -1/2e^(-x/2) , 0 ),( e^-x , 1/4e^(x/2) , x^2 ) ) ]/W $