Metodo di variazione delle costanti

[anonymous_b7df6f]

Buongiorno,

Considerate la seguente EDO lineare.

$y''+ a_1(x)y'+ a_0(x)y= b(x)$

dove $a_1(x)$ e $a_0(x)$ e $b(x)$ sono di classe $C^(oo)$

La soluzione dell'omogenea è

*) $tilde(y)= c_1y_1(x)+ c_2y_2(x)$

Una soluzione particolare viene trovata pensando la (*) a coefficienti variabili

$bar(y) =c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$

Derivando due volte (ottenendo dunque $bar(y)'$ e $bar(y)''$) e sostituendo nella (*) si ottiene

**) $c'_1(x)y'_1(x) +c_1(x)y''_1(x) + c'_2(x)y'_2(x) + c_2(x)y''_2(x) + a_1( c_1(x)y'_1(x) + c_2(x)y'_2(x)) + a_0 (c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x) = b(x)$



Ho due dubbi...


1) come mai, tenendo conto che la $y_1$ e la $y_2$ sono soluzioni della omogenea, dalla (**) si ricava

$c'_1(x)y'_1(x)+ c'_2(x)y'_2(x) = b(x)$

?

2) Come mai, dopo ciò, si può giungere al seguente sistema per ricavare $c'_1$ e $c'_2$ ? Da dove salta fuori la prima equazione del seguente sistema?

$ { ( c'_1(x)y_1(x)+ c'_2(x)y_2(x) = 0 ),( c'_1(x)y'_1(x)+ c'_2(x)y'_2(x) = b(x) ):} $

[gugo82]

Se $y(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$ (qui mi limito al caso di EDO del secondo ordine, ma si può facilmente generalizzare), la derivata prima di $y(x)$ è:

$y^\prime (x) = c_1^\prime (x) y_1(x) + c_2^\prime (x) y_2(x) + c_1(x) y_1^\prime (x) + c_2(x) y_2^\prime (x)$

e dunque (come giustamente osservi pure tu) la derivata seconda di $y(x)$ potrebbe contenere sia derivate prime che derivate seconde delle funzioni incognite $c_1(x)$ e $c_2(x)$.
Qui entra in gioco l'intuizione di Lagrange: visto che le $c_1(x)$ e $c_2(x)$ sono funzioni incognite sulle quali non è bene fare troppe ipotesi di regolarità, cerchiamo di evitare che in $y^(\prime \prime)(x)$ compaiano le derivate seconde di $c_1(x)$ e $c_2(x)$; questo si può ottenere richiedendo che la parte di $y^\prime (x)$ contenente le derivate prime $c_1^\prime (x)$ e $c_2^\prime (x)$ sia identicamente nulla, cioè che $c_1(x)$ e $c_2(x)$ soddisfino:

(*) $c_1^\prime (x) y_1(x) + c_2^\prime (x) y_2(x) = 0$ nell'intervallo di definizione della EDO.

Ciò richiesto, l'espressione di $y^\prime (x)$ ovviamente si riscrive:

$y^\prime (x) = c_1(x) y_1^\prime (x) + c_2(x) y_2^\prime (x)$

e quindi la derivata seconda è:

$y^(\prime \prime) (x) = c_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + c_2^\prime (x) y_2^\prime (x) + c_1(x) y_1^(\prime \prime) (x) + c_2(x) y_2^(\prime \prime) (x)$

e contiene solo le derivate prime di $c_1(x)$ e $c_2(x)$ (come si voleva); sostituendo tutto nella EDO di partenza si vede che, dopo semplificazioni, la $y(x)$ risolve la EDO solo se:

(**) $c_1^\prime (x) y_1^\prime (x) + c_2^\prime (x) y_2^\prime (x) = b(x)$ nell'intervallo di definizione della EDO.
Pertanto $y(x)$ risolve la EDO solo se $c_1(x)$ e $c_2(x)$ soddisfano il sistema di EDO formato da (*) e (**).

[anonymous_b7df6f]

"gugo82":
e dunque (come giustamente osservi pure tu) la derivata seconda di $y(x)$ potrebbe contenere sia derivate prime che derivate seconde delle funzioni incognite $c_1(x)$ e $c_2(x)$.
Qui entra in gioco l'intuizione di Lagrange: visto che le $c_1(x)$ e $c_2(x)$ sono funzioni incognite sulle quali non è bene fare troppe ipotesi di regolarità, cerchiamo di evitare che in $y^(\prime \prime)(x)$ compaiano le derivate seconde di $c_1(x)$ e $c_2(x)$; questo si può ottenere richiedendo che la parte di $y^\prime (x)$ contenente le derivate prime $c_1^\prime (x)$ e $c_2^\prime (x)$ sia identicamente nulla, cioè che $c_1(x)$ e $c_2(x)$ soddisfino:

Molto chiaro gugo, grazie mille

[CLaudio Nine]

"gugo82":
Qui entra in gioco l'intuizione di Lagrange: visto che le $c_1(x)$ e $c_2(x)$ sono funzioni incognite sulle quali non è bene fare troppe ipotesi di regolarità, cerchiamo di evitare che in $y^(\prime \prime)(x)$ compaiano le derivate seconde di $c_1(x)$ e $c_2(x)$; questo si può ottenere richiedendo che la parte di $y^\prime (x)$ contenente le derivate prime $c_1^\prime (x)$ e $c_2^\prime (x)$ sia identicamente nulla, cioè che $c_1(x)$ e $c_2(x)$ soddisfino:

Questa intuizione di Lagrange non venne spiegata neanche a me, ai tempi

[gugo82]

Dovete leggere testi buoni ed ascoltare docenti bravi...