Metodo di studio della convergenza di una serie di funzioni
Facendo una rapida ricerca nel forum non ho trovato molte informazioni al riguardo, quindi mi chiedevo se il metodo che usavo io per trovare la convergenza di una serie di funzioni fosse giusta.
Allora data una serie di funzioni
$\sum_{n = 1} ^ {\infty} f_n(x)$
1)Studiarne convergenza puntuale e determinare il insieme $I$ di convergenza puntuale
2)Controllare se converge totalmente per il insieme $I$ trovato.
La serie converge puntualmente se $\lim_{n \rightarrow \infty} g(x) = 0"
Guardo per quali valori di x il limite è nullo e quello e il raggio di convergenza.
2) Mi vengono due metodi.
Il primo è trovare per $g(x) = f_n$ il $M_n = sup(|f_n(x) - f(x)|)$ e guardare per quali valori di x $M_n \rightarrow 0$ , tali valori sono quelli di convergenza totale.
Non potrei pero usare anche i metodi del rapporto,radice e infinitesimi?
Se fosse una via praticabile, come mi comporto per i valori di x in cui il limite $l = 1$?
Allora data una serie di funzioni
$\sum_{n = 1} ^ {\infty} f_n(x)$
1)Studiarne convergenza puntuale e determinare il insieme $I$ di convergenza puntuale
2)Controllare se converge totalmente per il insieme $I$ trovato.
La serie converge puntualmente se $\lim_{n \rightarrow \infty} g(x) = 0"
Guardo per quali valori di x il limite è nullo e quello e il raggio di convergenza.
2) Mi vengono due metodi.
Il primo è trovare per $g(x) = f_n$ il $M_n = sup(|f_n(x) - f(x)|)$ e guardare per quali valori di x $M_n \rightarrow 0$ , tali valori sono quelli di convergenza totale.
Non potrei pero usare anche i metodi del rapporto,radice e infinitesimi?
Se fosse una via praticabile, come mi comporto per i valori di x in cui il limite $l = 1$?
Risposte
Ma ti riferisci a serie di potenze?
No, una serie di funzioni
Mah, sinceramente questo argomento non ce l'ho freschissimo, comunque mi pare che di raggio di convergenza si possa parlare solo per serie di potenze...no? Una serie di funzioni qualsiasi penso che possa convergere in un insieme qualsiasi. Non è una pignoleria secondo me, perché ti cambia parecchio le carte in tavola. Ad esempio, sempre se non ricordo male, con il criterio della radice applicato ad una serie di funzioni in generale non riesci a concludere se la convergenza è uniforme o meno. L'unico test generale di convergenza uniforme è quello della successione $M_n$ che citavi prima. Tutto IMHO naturalmente, spero di non dire fesserie...
Hai ragione, non è raggio di convergenza, leggendo il mio post ho fatto confuzione con i termini.
Non è raggio di convergenza, ma Insieme di convergenza.
Non è raggio di convergenza, ma Insieme di convergenza.
A parte il fatto del raggio di convergenza, anche su questi punti ho l'impressione che ci siano problemi:
non riesco a capire cosa vuoi dire...cos'è $g(x)$?
Comunque, per la convergenza puntuale si tratta di studiare la serie di funzioni come se fosse una serie numerica dipendente da un parametro. E' qui che ti possono servire i criteri di convergenza delle serie numeriche a cui facevi riferimento (radice, rapporto, ecc...).
Mi pare che non basti: credo che bisogni verificare che la serie numerica $sum_{n=1}^infty M_n$ converga. Ho l'impressione che tu ti stia confondendo con i metodi che si usano per studiare la convergenza uniforme delle successioni di funzioni reali. Vedi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Weierstrass
Come dicevo prima, questi strumenti servono per le serie numeriche. Quindi le informazioni che ti possono dare riguardano la convergenza solo puntuale, a meno che tu non sappia a priori (è il caso delle serie di potenze) che la serie deve convergere uniformemente. Perciò, IMHO, la risposta a questa domanda è no.
Ciao!
"lishi":
La serie converge puntualmente se $\lim_{n \rightarrow \infty} g(x) = 0"
non riesco a capire cosa vuoi dire...cos'è $g(x)$?
Comunque, per la convergenza puntuale si tratta di studiare la serie di funzioni come se fosse una serie numerica dipendente da un parametro. E' qui che ti possono servire i criteri di convergenza delle serie numeriche a cui facevi riferimento (radice, rapporto, ecc...).
"lishi":
Il primo è trovare per $g(x) = f_n$ il $M_n = sup(|f_n(x) - f(x)|)$ e guardare per quali valori di x $M_n \rightarrow 0$ , tali valori sono quelli di convergenza totale.
Mi pare che non basti: credo che bisogni verificare che la serie numerica $sum_{n=1}^infty M_n$ converga. Ho l'impressione che tu ti stia confondendo con i metodi che si usano per studiare la convergenza uniforme delle successioni di funzioni reali. Vedi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Weierstrass
"lishi":
Non potrei pero usare anche i metodi del rapporto,radice e infinitesimi??
Come dicevo prima, questi strumenti servono per le serie numeriche. Quindi le informazioni che ti possono dare riguardano la convergenza solo puntuale, a meno che tu non sappia a priori (è il caso delle serie di potenze) che la serie deve convergere uniformemente. Perciò, IMHO, la risposta a questa domanda è no.
Ciao!
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