Metodo di sostituzione per Integrale indefinito

[daniele087]

Ciao,
avrei bisogno di un piccolo chiarimento circa un passaggio del metodo di sostituzione che non mi è ben chiaro e che vi allego nella foto.

Sono arrivato a calcolare t e dt, ma non riesco proprio a capire i successivi passaggi, cioè il calcolo di x e di dx.
Come ha calcolato x? E sopratutto perché?

Grazie

[anto_zoolander]

Stavi procedendo bene.

$intxe^sqrtxdx$

applichiamo come tu hai ben detto la sostituzione $sqrtx=t <=> t^2=x$ con $x,tgeq0$
e calcoliamo il differenziale

$dt=dx/(2sqrtx)$

dobbiamo quindi far spuntare dentro l'integrale il termine $1/(2sqrtx)$ e possiamo ottenerlo, moltiplicando e dividendo per $2sqrtx$ ma dobbiamo essere sicuri che non stiamo dividendo per $0$ quindi per ora escludiamoli.

$x,t>0$

$2int(xsqrtx*e^sqrtx)*dx/(2sqrtx)$

adesso il nostro integrale si riduce a.. $2intt^3e^tdt$

ora ti metto come spoiler la continuazione, usala solo se non sai come muoverti

data la natura dell'integrale, la cosa migliore è integrare per parti ed infatti è ciò che facciamo.

$2t^3e^t-2int3t^2e^tdt$ uno..

$2t^3e^t-6t^2e^t+2int6te^tdt$ due..

$2t^3e^t-6t^2e^t+12te^t-2int6e^tdt$ tre..

$2t^3e^t-6t^2e^t+12te^t-12e^t+c$ e quattro..

adesso raccogliamo un po' di cose, ottenendo in fine:

$2e^t(t^3-3t^2+6t-6)+c$

ricordando che $t=sqrtx, forallx,t>0$

$2e^sqrtx(xsqrtx-3x+6sqrtx-6)+c$

[daniele087]

Intanto grazie per la risposta.
Non mi è ancora chiaro però perchè io dopo aver calcolato t e dt debba calcolarmi anche x e dx.
Probabilmente perché non avrei altro modo per sostituire all'interno dell'integrale il dt?

[anto_zoolander]

puoi farlo anche calcolando direttamente $2tdt=dx$ alla fine dentro l'integrale avrai sempre la stessa cosa ovvero:

$2intt^3e^tdt$

cambia solo il modo in cui lo calcoli. Infatti $t^2=x <=> 2tdt=dx$ e inoltre $t=sqrtx$

quindi $intunderbrace{t^2}_(x)*underbrace{e^t}_(e^sqrtx)*underbrace{2tdt}_(dx) => 2intt^3e^tdt$