Metodo di sostituzione integrali definiti

[tommy1996q]

Avevo dei dubbi riguardanti questo metodo. Se avessi un integrale da a a b (intervallo chiuso e limitato) in dx e ponessi $t=f(x)$
allora gli estremi andrebbero da $f(a)$ a $f(b)$. Se volessi porre invece $x=g(t)$, allora dovrei avere per forza g invertibile e gli estremi sarebbero ora $g^{-1} (a)$ e $g^{-1} (b)$. Il dubbio è: se avessi estremi per esempio $-\pi/2$ e $\pi/2$ e mi facesse comodo porre $t=cos(x)$, allora entrembi mi adrebbero a 0. Dove sbaglio? Dimentico qualche ipotesi?

[Ernesto011]

Quando fai la sostituzione $cosx=t$ consideri solo un intervallo a tua scelta del tipo $[kpi,(k+1)pi)$.
Quindi ponendo $cosx=t$ ottieni una relazione biunivoca e gli estremi iniziali coincidono se e solo se coincidono quelli finali

[tommy1996q]

TeM non mi torna una cosa però, dopo che ho fatto la sostituzione qualsiasi cosa che ho da integrare mi torna 0, perchè gli estremi coincidono, è quello il problema....
Ernesto01, in che senso considero un intervallo a mia scelta? Se per favore potessi rispiegare la tua idea, non ho ben capito...

[tommy1996q]

Quindi, in pratica, se riesco a fare la sostituzione significa che ho una funzione dispari e quindi l'integrale è nullo!

[Ernesto011]

il controesempio sarebbe qualcosa di questo tipo per esempio
$ int_(-pi/2)^(pi/2) x^2dx!=0 $
Ma se $x=cosx$ allora
$ int_(0)^(0) cos^2dx=0 $
E quindi i risultati sarebbero diversi, assurdo.
Puoi applicare la sostituzione $x=cosy$ solo negli intervalli in cui il coseno è invertibile secondo me

[Ernesto011]

Oh,beh ora ho capito il senso. Uhm si, mi pare strano però