Metodo di separazione delle variabili
nella risoluzione delle equazioni diff. a derivate parziali con il metodo di separazione delle variabili, perché è possibile scrive una soluzione $u(x,t)$ come $X(x)T(t)$? Si può SEMPRE scrivere questa cosa? C'è un teorema che ce lo garantisce?
Risposte
Prima di tutto non è vero che ogni soluzione dell'equazione (per esempio del calore o delle onde) è del tipo $X(t)T(t)$, quello che si fa e di trovare delle
soluzioni particolare di quel tipo e sperare che ogni soluzione sia esprimibile mediante queste (come una serie ). La situazione è un analogo (è una generalizzazione)
di quanto si fa per esempio con le serie di Fourier.
Questo approccio funziona solo se il dominio ha delle particolari simmetrie - andrebbe precisata l'equazione. Dato che però parli solo di $x$ e $t$ e che probabilemente
$t$ è un tempo e $x$ è una variabile spaziale è molto probabile che si possa fare sempre.
La questione comunque è complessa e andrebbe precisata meglio.
soluzioni particolare di quel tipo e sperare che ogni soluzione sia esprimibile mediante queste (come una serie ). La situazione è un analogo (è una generalizzazione)
di quanto si fa per esempio con le serie di Fourier.
Questo approccio funziona solo se il dominio ha delle particolari simmetrie - andrebbe precisata l'equazione. Dato che però parli solo di $x$ e $t$ e che probabilemente
$t$ è un tempo e $x$ è una variabile spaziale è molto probabile che si possa fare sempre.
La questione comunque è complessa e andrebbe precisata meglio.
"ViciousGoblinEnters":
La questione comunque è complessa e andrebbe precisata meglio.
ok aggiungo altri dettagli. Ho il seguente problema
Consider a heat conducting bar of length l, insulated along its length, so that heat can flow only along the bar. The temperature u(x,t)
along the bar, satisfies the heat equation
$ut – kuxx = 0$, $0 < x < l, t > 0$ and boundary conditions $u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t > 0$.
Let the initial temperature along the bar at t = 0 be given by
$u(x, 0) = f(x), 0 < x < l$.
Assume a solution of the form
$u(x, t) = X(x)T(t).$
se ci sono problemi con l'inglese lo traduco
Ok, è vero che qui dice ASSUMIAMO, il che vuol dire che in seguito, deve verificarne la validità. Però diciamo che chi ha scritto già sa che la cosa è valida. Per questo sono interessato a sapere se c'è una qualche proprietà che vale più in generale e non solo in questo specifico caso
Come tutte le domande "vaghe" è difficile dare dare una risposta precisa. Bada che con "vago" non intendo
nè sbagliata nè tantomeno insensata (anzi sono le domande a cui è importante darsi una risposta per non
portarsi dentro l'impressione di non avere capito qualcosa).
Ti dico come vedo il problema (conoscendolo già e quindi avendo delle idee precostituite) -- ripeterò in realtà
quanto detto nel post precedente.
Tu hai l'equazione del calore unidimensionale (rispetto allo spazio)
$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial u^2}{\partial x^2}$
con $u(0,t)=u(L,t)=0$ per ogni $t$ e con una certa distribuzione iniziale
$u(x,o)=f(x)$.
Per studiarlo fai una scommessa e cerchi delle soluzioni particolari del tipo $u(t,x)=X(x)T(t)$
(RINUNCIANDO alla condizione iniziale tipo Cauchy). Facendo dei calcoli sotto questa ipotesi ("Assume ...")
-- calcoli che risultano semplici perchè ti riduci a delle equazioni ordinarie --
ti trovi che le possibili $X(t)T(t)$ sono della forma $X(x)=a\sin(\omega n x)=:a X_n(x)$
con $a\in\RR$ e $n$ intero $n\geq 1$, dove (se non sbaglio) $\omega=\pi/L$ e in corrispondenza
$T(t)=T_n(t)=...$.
Dunque trovi che le soluzioni "a variabili separabili" sono una famiglia del tipo $a X_n(x)T_n(t)$
per $a\in RR$ e $n\geq1$ intero. Non è detto che la soluzione con la condizione iniziale che avevi
sia una di queste , PERO' puoi chiederti se le soluzioni che hai trovato siano in grado di generale
tutte le soluzioni possibili, cioè se $u(x,t)=\sum_{n\geq 1}a_nX_n(x)T_n(t)$ per opportuni $a_n$.
Questo è vero (e questo è stato storicamente, almeno credo, la genesi delle serie di Fourier).
Questa idea poi, si può adattare a tantissimi altri problemi, con le dovute modifiche.
AGGIUNGO un commento sulla questione "ASSUMIAMO" che forse hai interpretato male. Quando lui dice
"Assume a solution" in effetti fa l'ipotesi di avere una soluzione di quel tipo. Fatta questa ipotesi trova
esplicitamente come può essere fatta una tale soluzione (come ho scritto sopra). A questo punto è facile
(tanto che di solito lo si trascura) verificare che quelle che ha trovato sono effettivamente soluzioni.
Questo non vuol dire che così ha trovato la soluzione del problema iniziale -- per ora abbiamo individuato una
famiglia "fondamentale" di soluzioni.
nè sbagliata nè tantomeno insensata (anzi sono le domande a cui è importante darsi una risposta per non
portarsi dentro l'impressione di non avere capito qualcosa).
Ti dico come vedo il problema (conoscendolo già e quindi avendo delle idee precostituite) -- ripeterò in realtà
quanto detto nel post precedente.
Tu hai l'equazione del calore unidimensionale (rispetto allo spazio)
$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial u^2}{\partial x^2}$
con $u(0,t)=u(L,t)=0$ per ogni $t$ e con una certa distribuzione iniziale
$u(x,o)=f(x)$.
Per studiarlo fai una scommessa e cerchi delle soluzioni particolari del tipo $u(t,x)=X(x)T(t)$
(RINUNCIANDO alla condizione iniziale tipo Cauchy). Facendo dei calcoli sotto questa ipotesi ("Assume ...")
-- calcoli che risultano semplici perchè ti riduci a delle equazioni ordinarie --
ti trovi che le possibili $X(t)T(t)$ sono della forma $X(x)=a\sin(\omega n x)=:a X_n(x)$
con $a\in\RR$ e $n$ intero $n\geq 1$, dove (se non sbaglio) $\omega=\pi/L$ e in corrispondenza
$T(t)=T_n(t)=...$.
Dunque trovi che le soluzioni "a variabili separabili" sono una famiglia del tipo $a X_n(x)T_n(t)$
per $a\in RR$ e $n\geq1$ intero. Non è detto che la soluzione con la condizione iniziale che avevi
sia una di queste , PERO' puoi chiederti se le soluzioni che hai trovato siano in grado di generale
tutte le soluzioni possibili, cioè se $u(x,t)=\sum_{n\geq 1}a_nX_n(x)T_n(t)$ per opportuni $a_n$.
Questo è vero (e questo è stato storicamente, almeno credo, la genesi delle serie di Fourier).
Questa idea poi, si può adattare a tantissimi altri problemi, con le dovute modifiche.
AGGIUNGO un commento sulla questione "ASSUMIAMO" che forse hai interpretato male. Quando lui dice
"Assume a solution" in effetti fa l'ipotesi di avere una soluzione di quel tipo. Fatta questa ipotesi trova
esplicitamente come può essere fatta una tale soluzione (come ho scritto sopra). A questo punto è facile
(tanto che di solito lo si trascura) verificare che quelle che ha trovato sono effettivamente soluzioni.
Questo non vuol dire che così ha trovato la soluzione del problema iniziale -- per ora abbiamo individuato una
famiglia "fondamentale" di soluzioni.
Le cose dovrebbero andare così: sia $Omega sub RR^N$ un aperto di frontiera $Gamma$, e siano $Q=Omega times ]0,+oo[$, $Sigma=Gamma times ]0,+oo[$; supponiamo di voler risolvere il problema
${((delu)/(del t)-grad^2u=0, "su " Q),(u=0, "su " Sigma),(u(x,0)=f(x), "su "Omega):}$
Se $Omega$ è limitato, il problema si può risolvere per decomposizione su una base hilbertiana di $L^2(Omega)$. Tale base $(e_i(x))_(i>=1)$ è costituita da autofunzioni di $-grad^2$: $-grad^2 e_i = lambda e_i$ su $Omega$, $e_i=0$ su $Gamma$. Come ben saprai, a seconda della geometria di $Omega$ queste autofunzioni del laplaciano sono seni e coseni, funzioni di Bessel, polinomi di Legendre, ecc. In generale, con il metodo di separazione delle variabili si cerca una soluzione della forma $u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)a_i(t)e_i(x)$.
Dev'essere $a_i'(t)+lambda_i a_i(t)=0$, da cui $a_i(t)=a_i(0) e^(-lambda_i t)$. Le costanti $a_i(0)$ si determinano allora da $f(x)=sum_(i=1)^(oo) a_i(0)e_i(x)$, da cui la soluzione $u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)a_i(0)e^(-lambda_i t)e_i(x)$. Convergenza e regolarità vanno studiate con metodi appositi (quindi, come diceva VGE, si deve verificare se la scommessa iniziale era vincente).
Riguardo all'esistenza e unicità di una soluzione al problema generale, esistono svariati teoremi che le garantiscono. Generalmente si richiede che $f in L^2(Omega)$, o ancora meglio $f in H^k(Omega)$.
${((delu)/(del t)-grad^2u=0, "su " Q),(u=0, "su " Sigma),(u(x,0)=f(x), "su "Omega):}$
Se $Omega$ è limitato, il problema si può risolvere per decomposizione su una base hilbertiana di $L^2(Omega)$. Tale base $(e_i(x))_(i>=1)$ è costituita da autofunzioni di $-grad^2$: $-grad^2 e_i = lambda e_i$ su $Omega$, $e_i=0$ su $Gamma$. Come ben saprai, a seconda della geometria di $Omega$ queste autofunzioni del laplaciano sono seni e coseni, funzioni di Bessel, polinomi di Legendre, ecc. In generale, con il metodo di separazione delle variabili si cerca una soluzione della forma $u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)a_i(t)e_i(x)$.
Dev'essere $a_i'(t)+lambda_i a_i(t)=0$, da cui $a_i(t)=a_i(0) e^(-lambda_i t)$. Le costanti $a_i(0)$ si determinano allora da $f(x)=sum_(i=1)^(oo) a_i(0)e_i(x)$, da cui la soluzione $u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)a_i(0)e^(-lambda_i t)e_i(x)$. Convergenza e regolarità vanno studiate con metodi appositi (quindi, come diceva VGE, si deve verificare se la scommessa iniziale era vincente).
Riguardo all'esistenza e unicità di una soluzione al problema generale, esistono svariati teoremi che le garantiscono. Generalmente si richiede che $f in L^2(Omega)$, o ancora meglio $f in H^k(Omega)$.
grazie ad entrambi
@VGE riguardo all' "ASSUMIAMO" lo avevo inteso così come me lo hai spiegato, ma non ne ero convinto; grazie delle conferme.
Purtroppo mi è risultata più difficile la trattazione di Elgiovo
, ma grazie comunque per gli interventi ai miei post
@VGE riguardo all' "ASSUMIAMO" lo avevo inteso così come me lo hai spiegato, ma non ne ero convinto; grazie delle conferme.
Purtroppo mi è risultata più difficile la trattazione di Elgiovo
, ma grazie comunque per gli interventi ai miei post
"elgiovo":
Se $Omega$ è limitato, il problema si può risolvere per decomposizione su una base hilbertiana di $L^2(Omega)$. Tale base $(e_i(x))_(i>=1)$ è costituita da autofunzioni di $-grad^2$: $-grad^2 e_i = lambda e_i$ su $Omega$, $e_i=0$ su $Gamma$. Come ben saprai, a seconda della geometria di $Omega$ queste autofunzioni del laplaciano sono seni e coseni, funzioni di Bessel, polinomi di Legendre, ecc. In generale, con il metodo di separazione delle variabili si cerca una soluzione della forma $u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)a_i(t)e_i(x)$.
un ultimo chiarimento, perché proprio di questo tipo? Hanno qualche proprietà particolare? O è per il fatto stesso che posso separare la funzione di partenza nella parte in x e in quella in t?
Forse sembra un pò stupida come domanda, ma penso che SENZA SAPERE se tale decomposizione sia una possibile soluzione a chiunque verrebbe da chiedersi perché questa forma e non un'altra?
"raff5184":
un ultimo chiarimento, perché proprio di questo tipo? Hanno qualche proprietà particolare? O è per il fatto stesso che posso separare la funzione di partenza nella parte in x e in quella in t?
Forse sembra un pò stupida come domanda, ma penso che SENZA SAPERE se tale decomposizione sia una possibile soluzione a chiunque verrebbe da chiedersi perché questa forma e non un'altra?
L'interesse principale di questo tipo di soluzioni (che, a priori, diciamo essere in quella forma) risiede nel fatto che ci si riconduce alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie (un bel vantaggio!). Se poi si riesce a dimostrare l'unicità e la regolarità di una soluzione al problema, e se si verifica che la somma di queste soluzioni "separate" è altresì regolare e unica, allora si è risolto il problema. Non è detto che la soluzione ad una pde si debba trovare con la separazione delle variabili. Un valido metodo, da applicare perlopiù all'equazione di Laplace, è quello delle rappresentazioni conformi.
perfetto grazie ancora
Nel caso dell'equazione del calore unidimensionale è abbastanza spontaneo ritenere che $x$ e $t$ abbiano ruoli diversi
e comunque c'è voluta una buona idea iniziale (che, ripeto, dovrebbe essere stata di Fourier).
In casi più complicati le cose possono essere diverse. Per esempio se studi la propagazione del calore su un oggetto bidimensionale $D$ ti ritrovi
$\frac{\partial }{\partial t}u=\frac{\partial^2}{\partial x^2}u+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u$ su $D$ con le condizioni
$u(t,x,y)=0$ se $(x,y)\in\partial D$ e $u(0,x,y)=f(x,y)$.
Stavolta puoi ancora sperare di trovare una "base" di soluzioni del tipo $T(t)W(x,y)$ ma non puoi in generale
separare $x$ e $y$ (cioè trovare cose del tipo $T(t)X(x)Y(y)$), A MENO CHE $D$ non sia un rettangolo.
Quindi la possibilità di trovare una famiglia fondamentale di soluzioni con le variabili separate dipende dall'equazione e
dalla forma del dominio (un altro caso interessante è quello di $D$ circolare in cui si separano le variabili dopo essere passati
a coordinate polari).
Ma penso che ci si debba arrivare per gradi
e comunque c'è voluta una buona idea iniziale (che, ripeto, dovrebbe essere stata di Fourier).
In casi più complicati le cose possono essere diverse. Per esempio se studi la propagazione del calore su un oggetto bidimensionale $D$ ti ritrovi
$\frac{\partial }{\partial t}u=\frac{\partial^2}{\partial x^2}u+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u$ su $D$ con le condizioni
$u(t,x,y)=0$ se $(x,y)\in\partial D$ e $u(0,x,y)=f(x,y)$.
Stavolta puoi ancora sperare di trovare una "base" di soluzioni del tipo $T(t)W(x,y)$ ma non puoi in generale
separare $x$ e $y$ (cioè trovare cose del tipo $T(t)X(x)Y(y)$), A MENO CHE $D$ non sia un rettangolo.
Quindi la possibilità di trovare una famiglia fondamentale di soluzioni con le variabili separate dipende dall'equazione e
dalla forma del dominio (un altro caso interessante è quello di $D$ circolare in cui si separano le variabili dopo essere passati
a coordinate polari).
Ma penso che ci si debba arrivare per gradi
"ViciousGoblinEnters":
Nel caso dell'equazione del calore unidimensionale è abbastanza spontaneo ritenere che $x$ e $t$ abbiano ruoli diversi
e comunque c'è voluta una buona idea iniziale (che, ripeto, dovrebbe essere stata di Fourier).
In casi più complicati le cose possono essere diverse. Per esempio se studi la propagazione del calore su un oggetto bidimensionale $D$ ti ritrovi
$\frac{\partial }{\partial t}u=\frac{\partial^2}{\partial x^2}u+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u$ su $D$ con le condizioni
$u(t,x,y)=0$ se $(x,y)\in\partial D$ e $u(0,x,y)=f(x,y)$.
Stavolta puoi ancora sperare di trovare una "base" di soluzioni del tipo $T(t)W(x,y)$ ma non puoi in generale
separare $x$ e $y$ (cioè trovare cose del tipo $T(t)X(x)Y(y)$), A MENO CHE $D$ non sia un rettangolo.
Quindi la possibilità di trovare una famiglia fondamentale di soluzioni con le variabili separate dipende dall'equazione e
dalla forma del dominio (un altro caso interessante è quello di $D$ circolare in cui si separano le variabili dopo essere passati
a coordinate polari).
Ma penso che ci si debba arrivare per gradi
Ho capito. In genere ho avuto a che fare con l'equazione delle onde, eq di Helmholtz... E in quei casi mi capitava che potevo separare l'equazione nelle variabili spaziail x e y.
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