Metodo di risoluzione integrali impropri
Salve a tutti..
Ho qualche problema nel risolvere gli integrali impropri quando studio una funzione integrale. Spesso non so come comportarmi perchè non posso ricondurmi ad integrali noti di quel tipo e vorrei sapere che tecniche si usano per determinare se l'integrale da un numero ad infinito diverge o converge e se converge capire a che numero.
Porto qualche esempio anche se vorrei scoprire un metodo generale e non solo in questi casi specifici (naturalmente in tutti gli esempi x tende ad infinito quindi l'integrale diventa improprio):
$f(x)=\int_1^(x^2)e^t/tdt$
$f(x)=\int_0^(x+|x|)t/(1+t^2)^2dt$
$f(x)=\int_2^(x^2)1/lntdt$
Grazie
Ho qualche problema nel risolvere gli integrali impropri quando studio una funzione integrale. Spesso non so come comportarmi perchè non posso ricondurmi ad integrali noti di quel tipo e vorrei sapere che tecniche si usano per determinare se l'integrale da un numero ad infinito diverge o converge e se converge capire a che numero.
Porto qualche esempio anche se vorrei scoprire un metodo generale e non solo in questi casi specifici (naturalmente in tutti gli esempi x tende ad infinito quindi l'integrale diventa improprio):
$f(x)=\int_1^(x^2)e^t/tdt$
$f(x)=\int_0^(x+|x|)t/(1+t^2)^2dt$
$f(x)=\int_2^(x^2)1/lntdt$
Grazie
Risposte
Se non ho fatto errori nei calcoli, dovrebbe essere:
$f(x)$=$\int_{0}^{x+|x|} t/(1+t^2)^2 dt$=$[-1/(2*(t^2+1))]^(x+|x|)_0$=$-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$
$\lim_{x \to \infty}-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$=$1/2$
L'integrale converge!
$f(x)$=$\int_{0}^{x+|x|} t/(1+t^2)^2 dt$=$[-1/(2*(t^2+1))]^(x+|x|)_0$=$-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$
$\lim_{x \to \infty}-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$=$1/2$
L'integrale converge!
Per quanto riguarda il primo, è sufficiente osservare che la funzione integranga è positiva; inoltre $\lim_{x\rarr +\infty}e^x/x=+\infty$ e quindi l'integrale non può convergere; dal momento che l'integranda è positiva, allora diverge a $+\infty$!
Invece per l'ultimo io procederei così: la funzione integranda è positiva; inoltre $\lim_{x\rarr +\infty}sqrt(x)/ln(x)=+\infty$; quindi l'ordine di infinitesimo di $ln(x)$ rispetto al campione $u(x)=1/x$ è inferiore a $1/2$; questo implica per il criterio dell'ordine di infinitesimo che l'integrale diverge.
Invece per l'ultimo io procederei così: la funzione integranda è positiva; inoltre $\lim_{x\rarr +\infty}sqrt(x)/ln(x)=+\infty$; quindi l'ordine di infinitesimo di $ln(x)$ rispetto al campione $u(x)=1/x$ è inferiore a $1/2$; questo implica per il criterio dell'ordine di infinitesimo che l'integrale diverge.
"moxetto":
Se non ho fatto errori nei calcoli, dovrebbe essere:
$f(x)$=$\int_{0}^{x+|x|} t/(1+t^2)^2 dt$=$[-1/(2*(t^2+1))]^(x+|x|)_0$=$-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$
$\lim_{x \to \infty}-1/(2*((x+|x|)^2+1))+1/(2*(0+1))$=$1/2$
L'integrale converge!
Che metodo hai utilizzato qui? L'integrale noto è $\int_{}^{} 1/(1+x^2)^2 dx$ ma nel mio esempio c'è una x al numeratore...
"maurer":
Per quanto riguarda il primo, è sufficiente osservare che la funzione integranga è positiva; inoltre $\lim_{x\rarr +\infty}e^x/x=+\infty$ e quindi l'integrale non può convergere; dal momento che l'integranda è positiva, allora diverge a $+\infty$!
Invece per l'ultimo io procederei così: la funzione integranda è positiva; inoltre $\lim_{x\rarr +\infty}sqrt(x)/ln(x)=+\infty$; quindi l'ordine di infinitesimo di $ln(x)$ rispetto al campione $u(x)=1/x$ è inferiore a $1/2$; questo implica per il criterio dell'ordine di infinitesimo che l'integrale diverge.
Avrei dei dubbi anche su questo..
1) Quando devo vedere se converge o non converge basta fare il limite a +infinito della funzione integranda? Se non è un infinitesimo non può convergere? Ho cercato questo teorema ma nel mio libro non ne parla quindi vorrei capire se ho capito bene e se uno ha la dimostrazione a portata di mano me la faccia avere così la sbatto in faccia al prof
2) $f(x)=1/lnx$ non è sempre positiva o sbaglio? Se x è compreso tra 0 e 1 è negativa... Lo stesso vale per $f(x)=e^x/x$ negativa per x minore di zero...
Probabilmente saranno stupidi dubbi ma voglio imparare un criterio per risolvere tutti i casi possibili che mi si possono presentare.
Grazie mille per l'aiuto
ho usato una sostituzione:
$\int t/(1+t^2)^2 dt$ $->$ $x=1+t^2$ $->$ $dx=2tdt$ $->$ $dt=dx/(2t)$
$->$ l'integrale diventa $\int t/(x)^2 dx/(2t)$ $rArr$ $\int 1/(2*x^2) dx=-1/(2*x)$
rifacendo la sostituzione $->$ $\int t/(1+t^2)^2 dt=-1/(2*(1+t^2))$
$\int t/(1+t^2)^2 dt$ $->$ $x=1+t^2$ $->$ $dx=2tdt$ $->$ $dt=dx/(2t)$
$->$ l'integrale diventa $\int t/(x)^2 dx/(2t)$ $rArr$ $\int 1/(2*x^2) dx=-1/(2*x)$
rifacendo la sostituzione $->$ $\int t/(1+t^2)^2 dt=-1/(2*(1+t^2))$
Provo a riassumerti in breve le cose più importanti che conosco io sugli integrali impropri...
Supponiamo che $f(x)$ sia una funzione localmente integrabile su $[a,+\infty)$; allora se $f(x)$ è a segno (definitivamente) costante ottengo che la funzione integrale $F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ è una funzione monotona e quindi posso applicare i teoremi sui limiti delle funzioni monotone: il limite esiste sempre, o finito o infinito, cioè non è mai indeterminato. Sotto quest'ipotesi, se la funzione non è infinitesima per $x$ che tende all'infinito, allora l'integrale deve divergere a più infinito.
A questo punto il metodo più efficace per studiare la convergenza è il criterio dell'ordine di infinitesimo. Dal momento che è facile studiare la convergenza dell'integrale $\int_{a}^{+\infty}1/x^\alpha dx$ (perché della funzione conosci tutti gli integrali al variare di $\alpha$ tra i reali positivi), è comodo riportare lo studio di ogni integrale improprio in cui la funzione è a segno definitivamente costante a quel particolare caso noto.
La dimostrazione non è davvero difficile (basta applicare la definizione di limite e poi la proprietà di isotonia degli integrali impropri - che discende immediatamente da quella analoga per gli integrali di Riemann). Di solito il teorema recita così:
Se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha>1$ rispetto a $1/x$, allora l'integrale della funzione converge;
se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha \leq 1$ rispetto a $1/x$ allora l'integrale della funzione diverge;
se $f(x)$ è un o-piccolo di $1/x^\alpha$, con $\alpha>1$ allora l'integrale della funzione converge;
se $1/x^\alpha$ è un o-piccolo di $f(x)$ con $\alpha \leq 1$ allora l'integrale della funzione diverge.
(naturalmente tutti gli ordini e gli o-piccoli sono per $x\to +\infty$)
Un'ultima cosa. E' vero che la funzione $1/ln(x)$ è positiva soltanto per $x>1$; ma nel tuo integrale l'intervallo di integrazione era $[2,+\infty)$, e quindi la mia affermazione è giustificata.
Supponiamo che $f(x)$ sia una funzione localmente integrabile su $[a,+\infty)$; allora se $f(x)$ è a segno (definitivamente) costante ottengo che la funzione integrale $F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ è una funzione monotona e quindi posso applicare i teoremi sui limiti delle funzioni monotone: il limite esiste sempre, o finito o infinito, cioè non è mai indeterminato. Sotto quest'ipotesi, se la funzione non è infinitesima per $x$ che tende all'infinito, allora l'integrale deve divergere a più infinito.
A questo punto il metodo più efficace per studiare la convergenza è il criterio dell'ordine di infinitesimo. Dal momento che è facile studiare la convergenza dell'integrale $\int_{a}^{+\infty}1/x^\alpha dx$ (perché della funzione conosci tutti gli integrali al variare di $\alpha$ tra i reali positivi), è comodo riportare lo studio di ogni integrale improprio in cui la funzione è a segno definitivamente costante a quel particolare caso noto.
La dimostrazione non è davvero difficile (basta applicare la definizione di limite e poi la proprietà di isotonia degli integrali impropri - che discende immediatamente da quella analoga per gli integrali di Riemann). Di solito il teorema recita così:
Se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha>1$ rispetto a $1/x$, allora l'integrale della funzione converge;
se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha \leq 1$ rispetto a $1/x$ allora l'integrale della funzione diverge;
se $f(x)$ è un o-piccolo di $1/x^\alpha$, con $\alpha>1$ allora l'integrale della funzione converge;
se $1/x^\alpha$ è un o-piccolo di $f(x)$ con $\alpha \leq 1$ allora l'integrale della funzione diverge.
(naturalmente tutti gli ordini e gli o-piccoli sono per $x\to +\infty$)
Un'ultima cosa. E' vero che la funzione $1/ln(x)$ è positiva soltanto per $x>1$; ma nel tuo integrale l'intervallo di integrazione era $[2,+\infty)$, e quindi la mia affermazione è giustificata.
"maurer":
Provo a riassumerti in breve le cose più importanti che conosco io sugli integrali impropri...
Supponiamo che $f(x)$ sia una funzione localmente integrabile su $[a,+\infty)$; allora se $f(x)$ è a segno (definitivamente) costante ottengo che la funzione integrale $F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ è una funzione monotona e quindi posso applicare i teoremi sui limiti delle funzioni monotone: il limite esiste sempre, o finito o infinito, cioè non è mai indeterminato. Sotto quest'ipotesi, se la funzione non è infinitesima per $x$ che tende all'infinito, allora l'integrale deve divergere a più infinito.
A questo punto il metodo più efficace per studiare la convergenza è il criterio dell'ordine di infinitesimo. Dal momento che è facile studiare la convergenza dell'integrale $\int_{a}^{+\infty}1/x^\alpha dx$ (perché della funzione conosci tutti gli integrali al variare di $\alpha$ tra i reali positivi), è comodo riportare lo studio di ogni integrale improprio in cui la funzione è a segno definitivamente costante a quel particolare caso noto.
La dimostrazione non è davvero difficile (basta applicare la definizione di limite e poi la proprietà di isotonia degli integrali impropri - che discende immediatamente da quella analoga per gli integrali di Riemann). Di solito il teorema recita così:
Se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha>1$ rispetto a $1/x$, allora l'integrale della funzione converge;
se $f(x)$ ha ordine di infinitesimo $\alpha \leq 1$ rispetto a $1/x$ allora l'integrale della funzione diverge;
se $f(x)$ è un o-piccolo di $1/x^\alpha$, con $\alpha>1$ allora l'integrale della funzione converge;
se $1/x^\alpha$ è un o-piccolo di $f(x)$ con $\alpha \leq 1$ allora l'integrale della funzione diverge.
(naturalmente tutti gli ordini e gli o-piccoli sono per $x\to +\infty$)
Un'ultima cosa. E' vero che la funzione $1/ln(x)$ è positiva soltanto per $x>1$; ma nel tuo integrale l'intervallo di integrazione era $[2,+\infty)$, e quindi la mia affermazione è giustificata.
Grazie mille per questa risposta.
Questo teorema risulta utilissimo in tantissimi casi e il problema resta solo di capire come sfruttarlo al meglio.
Nel tuo caso ad esempio hai confrontato con $sqrt(x)$ e notato che l'ordine di infinitesimo era superiore ma come fare in altri casi a capire con quale funzione conviene confrontare?
Poi conviene usarlo solo con funzioni semplici (in questo caso 1/lnx) oppure anche per funzioni magari fratte più complicate con più termini?
L'idea di fondo è di cercare di farsi un'idea a proposito dell'ordine di infinitesimo con cui la funzione integranda tende a zero. Come saprai ci sono diverse maniere... nei casi più semplici bastano i limiti notevoli, altrimenti puoi ricorrere a de l'Hopital e se proprio il limite è brutto pensa alle serie di Taylor (se si possono applicare). In questo modo determini in molti casi l'ordine esatto di infinitesimo, e grazie al criterio concludi.
Nel caso di $1/ln(x)$ ho preso $1/sqrt(x)$ perché so che il logaritmo ha un ordine di infinito inferiore a qualunque potenza (e quindi che $1/ln(x)$ ha ordine di infinitesimo inferiore a qualunque potenza); ho scelto il numero $1/2$ perché, essendo minore di 1, mi permetteva di applicare il criterio dell'ordine di infinitesimo...
Nel caso di $1/ln(x)$ ho preso $1/sqrt(x)$ perché so che il logaritmo ha un ordine di infinito inferiore a qualunque potenza (e quindi che $1/ln(x)$ ha ordine di infinitesimo inferiore a qualunque potenza); ho scelto il numero $1/2$ perché, essendo minore di 1, mi permetteva di applicare il criterio dell'ordine di infinitesimo...
Grazie ancora, sei stato chiarissimo.
L'unico problema è che spesso gli ordini di infinito si danno per scontati e invece non ho mai trovato riscontri del genere nel mio libro. Gli unici che conosco sono dati dall'esperienza (ad esempio so che $e^x$ ha ordine di infinito superiore rispetto a qualunque altra funzione). Che il logaritmo fosse di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza lo avrei dimostrato solo applicando de l'Hopital ma sinceramente non lo conoscevo come risultato immediato. Sai se è disponibile da qualche parte una tabella con questi risultati immediati?
Grazie mille, mi sei stato utilissimo!
L'unico problema è che spesso gli ordini di infinito si danno per scontati e invece non ho mai trovato riscontri del genere nel mio libro. Gli unici che conosco sono dati dall'esperienza (ad esempio so che $e^x$ ha ordine di infinito superiore rispetto a qualunque altra funzione). Che il logaritmo fosse di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza lo avrei dimostrato solo applicando de l'Hopital ma sinceramente non lo conoscevo come risultato immediato. Sai se è disponibile da qualche parte una tabella con questi risultati immediati?
Grazie mille, mi sei stato utilissimo!
Scusate se mi intrometto... Vorrei segnalare una (piccolissima) imprecisione in quello che è stato detto. Proprio ieri avevo preso da un pdf questo grafico di funzione:
Naturalmente si intende che la funzione vada avanti così per tutte le $x$ positive, con triangoli via via sempre più alti e stretti.
Con questo sistema si può costruire una funzione continua, integrabile impropriamente (se i triangoli si restringono abbastanza velocemente, l'integrale di questa funzione diventa una serie convergente), ma non infinitesima per $x\to0$.
Quindi la frase:
non è completamente esatta: la versione corretta dovrebbe essere:
dove naturalmente le ipotesi sono le stesse del post di maurer.
Sottolineo che con questo post non intendo polemizzare con maurer: nella pratica infatti non succede quasi mai di avere a che fare con funzioni come quella "a triangoli" di sopra. E la maniera di procedere che indica lui è assolutamente corretta.
Naturalmente si intende che la funzione vada avanti così per tutte le $x$ positive, con triangoli via via sempre più alti e stretti.
Con questo sistema si può costruire una funzione continua, integrabile impropriamente (se i triangoli si restringono abbastanza velocemente, l'integrale di questa funzione diventa una serie convergente), ma non infinitesima per $x\to0$.
Quindi la frase:
"maurer":
Sotto quest'ipotesi, se la funzione non è infinitesima per x che tende all'infinito, allora l'integrale deve divergere a più infinito.
non è completamente esatta: la versione corretta dovrebbe essere:
Sotto queste ipotesi, se la funzione ammette limite per $x\to+infty$ e questo limite è diverso da 0, allora l'integrale diverge a $+infty$. Se la funzione ammette limite 0 o non ammette limite per $x\toinfty$, può succedere tutto.
dove naturalmente le ipotesi
Sottolineo che con questo post non intendo polemizzare con maurer: nella pratica infatti non succede quasi mai di avere a che fare con funzioni come quella "a triangoli" di sopra. E la maniera di procedere che indica lui è assolutamente corretta.
Beh, non è che si tratta di un risultato immediato: lo dimostri appunto usando l'Hopital (oppure passando attraverso le successioni, a patto di fare un bel po' di fatica in più...). Semplicemente, si tratta di un risultato solitamente noto, ma non importa. Riguardo all'ordine di infinitesimo, io ti consiglierei di studiare la teoria e di fare un bel po' di pratica sugli o-piccoli, se non li hai mai usati; subito potranno anche sembrarti delle "strane cose", ma ti assicuro che pensare in termini di o-piccoli è estremamente vantaggioso e ti permette in molti casi di farti un'idea a occhio dell'ordine di infinetisimo di una funzione, che poi potrai verificare in modo rigoroso.
Ti elenco io in ordine crescente di ordine di infinitesimo le principali funzioni: $ln^\alpha(x)$, $x^\beta$, $a^x$ ($a>0, a\ne1$), $n!$ e $x^x$ ($x>0$); ovviamente $n!$ è definito per le successioni.
Altre equivalenze notevoli si ricavano da tutti i limiti notevoli (ad esempio, dal limite $\lim_{x\to 0}sin(x)/x=1$ si deduce che l'ordine di infinitesimo di $sin(x)$ è uno, eccetera)...
Ti elenco io in ordine crescente di ordine di infinitesimo le principali funzioni: $ln^\alpha(x)$, $x^\beta$, $a^x$ ($a>0, a\ne1$), $n!$ e $x^x$ ($x>0$); ovviamente $n!$ è definito per le successioni.
Altre equivalenze notevoli si ricavano da tutti i limiti notevoli (ad esempio, dal limite $\lim_{x\to 0}sin(x)/x=1$ si deduce che l'ordine di infinitesimo di $sin(x)$ è uno, eccetera)...
Sì, ecco, io non avevo mai incontrato un esempio di funzione come quella postata da dissonance, anche se a lezione avevano parlato della loro esistenza...
Ti ringrazio dissonance della correzione... Solo una cosa che non mi torna: per quanto ne so io, le ipotesi che ho postato, bastano a garantire la regolarità della funzione integrale a patto che il limite esista; in altre parole, se il limite è zero, l'integrale può convergere ad un valore finito, oppure può divergere a più infinito, ma, ripeto, per quanto ne so io, non può essere indeterminato. Dico bene? O mi sfugge qualcosa?
Ti ringrazio dissonance della correzione... Solo una cosa che non mi torna: per quanto ne so io, le ipotesi che ho postato, bastano a garantire la regolarità della funzione integrale a patto che il limite esista; in altre parole, se il limite è zero, l'integrale può convergere ad un valore finito, oppure può divergere a più infinito, ma, ripeto, per quanto ne so io, non può essere indeterminato. Dico bene? O mi sfugge qualcosa?
No è corretto. E' la stessa cosa delle serie a termini positivi. Quando sommi una successione positiva, le somme parziali formano una successione crescente e quindi regolare. Analogamente quando integri una funzione positiva, la funzione integrale sarà monotona crescente e quindi ammetterà limite a $+infty$. E non serve che il limite della funzione integranda sia 0.
Ok, grazie...
La precisazione è corretta ma non dovrebbe essere ancora più precisa dicendo che la funzione integranda deve essere crescente?!
Intendo dire che se per esempio il limite dell'integranda fa $-oo$, l'integrale dovrebbe divergere a $-oo$ e non $+oo$ come è stato detto... Mi sbaglio?!
Un altro esempio è $\int_{0}^{x} (sqrt(t^2-t)-t) dt$ con limite numero negativo, altro caso particolare non infinitesimo quindi dovrebbe divergere...
Intendo dire che se per esempio il limite dell'integranda fa $-oo$, l'integrale dovrebbe divergere a $-oo$ e non $+oo$ come è stato detto... Mi sbaglio?!
Un altro esempio è $\int_{0}^{x} (sqrt(t^2-t)-t) dt$ con limite numero negativo, altro caso particolare non infinitesimo quindi dovrebbe divergere...
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