Metodo di risoluzione equaz. diff. non omogenee II grado
Ho la seguente equazione differenziale: $y" + 4y' = 8t +10$. Ammetto che non sono riuscito a capire il metodo di risoluzione di questo tipo di equazioni differenziali, ma vi mostro dove sono arrivato. la soluzione dovrebbe essere della forma $w(t) = A(t)y_1(t) + B(t)y_2(t)$. A(t) mi risulta $4te^t + e^t$ mentre $B(t)$ risulta $(-4/3)e^3t - (11/9)e^3t$. $y_1(t)=e^-t$ e $y_2(t)=e^-3t$. Ora cosa devo fare? Dove sbaglio? Non so veramente come fare. Non sono neanche sicuro che la forma della soluzione sia corretta, dovrebbe essere $y=...$. Qualche anima pia può spiegarmi?
Risposte
Dunque, vediamo un po'. C'è un po' di confusione in testa, penso, già a giudicare dal titolo. Occhio, ricordati che per ODE si parla principalmente di ordine non di grado.
Adesso, la tua equazione è $y''+4y'=8t+10$, che come hai giustamente scritto tu è non-omogenea. Il trucco per risolvere questo tipo di ODE è quello di cercare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata e poi un integrale particolare.
L'omogenea associata in questo caso è $y''+4y'=0$, che si risolve facilmente passando all'equazione algebrica caratteristica $lambda^2+4lambda=0 =>lambda_(1,2)=-4;0$. Per cui, l'integrale generale dell'omogenea associata è $y=c_1e^-(4x)+c_2$, con $c_1, c_2$ opportune costanti reali.
A questo integrale generale dobbiamo aggiungere (e aggiungere vuol dire aggiungere, sommare) un integrale particolare dell'equazione non omogenea, cioè quella di partenza. Ci sei fin qui?
Come cerchiamo un integrale particolare? Semplice, in questo caso. Andiamo un po' a naso, ma andare a naso non significa sparare a caso. Ad esempio, proviamo con una funzione di secondo grado (che sembra proprio fare al caso nostro, se fai qualche considerazione elementare sul grado del secondo membro): proviamo con una generica $y(t)=at^2+bt$ (tralascio una costante $c$ perchè tanto è -appunto- una costante e può benissimo essere inclusa alla fine dei nostri ragionamenti in una generica $C in RR$). Qual è la derivata prima di $y(t)=at^2+bt$? Easy: $y'(t)=2at+b$. E la derivata seconda? $y''(t)=2a$. Adesso prendiamo questi dati e buttiamoli dentro l'equazione di partenza: $y''+4y'=8t+10$ diventa $2a+4(2at+b)=8t+10$. E adesso sono solo conti. Ricordi il principio di identità dei polinomi? Bene, parti da lì. Trovi i valori di $a$ e $b$ che soddisfano quell'equazione. E il gioco è fatto. Se non ho sbagliato i conti viene $a=1$ e $b=2$. Per cui il tuo integrale particolare è $y=t^2+2t$ (ti invito a verificare che questa funzione soddisfa l'ODE).
Sommando questo integrale particolare con quello generale prima trovato, risolvi completamente l'ODE.
Tutto chiaro? Non esitare a chiedere altro. Spero di non aver detto boiate.
P.S. Mi scuso con gli Analisti seri del forum. Non ho ancora dato Analisi I, per cui spero non me ne vogliate per il mio linguaggio (ti prego, Gugo, non mi uccidere: temo la tua ira come quella di FP, ormai...). Grazie e scusate se ci sono imprecisioni.
Adesso, la tua equazione è $y''+4y'=8t+10$, che come hai giustamente scritto tu è non-omogenea. Il trucco per risolvere questo tipo di ODE è quello di cercare l'integrale generale dell'equazione omogenea associata e poi un integrale particolare.
L'omogenea associata in questo caso è $y''+4y'=0$, che si risolve facilmente passando all'equazione algebrica caratteristica $lambda^2+4lambda=0 =>lambda_(1,2)=-4;0$. Per cui, l'integrale generale dell'omogenea associata è $y=c_1e^-(4x)+c_2$, con $c_1, c_2$ opportune costanti reali.
A questo integrale generale dobbiamo aggiungere (e aggiungere vuol dire aggiungere, sommare) un integrale particolare dell'equazione non omogenea, cioè quella di partenza. Ci sei fin qui?
Come cerchiamo un integrale particolare? Semplice, in questo caso. Andiamo un po' a naso, ma andare a naso non significa sparare a caso. Ad esempio, proviamo con una funzione di secondo grado (che sembra proprio fare al caso nostro, se fai qualche considerazione elementare sul grado del secondo membro): proviamo con una generica $y(t)=at^2+bt$ (tralascio una costante $c$ perchè tanto è -appunto- una costante e può benissimo essere inclusa alla fine dei nostri ragionamenti in una generica $C in RR$). Qual è la derivata prima di $y(t)=at^2+bt$? Easy: $y'(t)=2at+b$. E la derivata seconda? $y''(t)=2a$. Adesso prendiamo questi dati e buttiamoli dentro l'equazione di partenza: $y''+4y'=8t+10$ diventa $2a+4(2at+b)=8t+10$. E adesso sono solo conti. Ricordi il principio di identità dei polinomi? Bene, parti da lì. Trovi i valori di $a$ e $b$ che soddisfano quell'equazione. E il gioco è fatto. Se non ho sbagliato i conti viene $a=1$ e $b=2$. Per cui il tuo integrale particolare è $y=t^2+2t$ (ti invito a verificare che questa funzione soddisfa l'ODE).
Sommando questo integrale particolare con quello generale prima trovato, risolvi completamente l'ODE.
Tutto chiaro? Non esitare a chiedere altro. Spero di non aver detto boiate.
P.S. Mi scuso con gli Analisti seri del forum. Non ho ancora dato Analisi I, per cui spero non me ne vogliate per il mio linguaggio (ti prego, Gugo, non mi uccidere: temo la tua ira come quella di FP, ormai...). Grazie e scusate se ci sono imprecisioni.
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