Metodo di Duhamel per equazione delle onde
Ciao!
Per risolvere il problema delle onde con sorgente
$ (del^2u)/(delt^2)-Delta_xu=F $
$ u(x,0)=0 $
$ (delu)/(delt)(x,0)=0 $
uso il "Metodo di Duhamel". Si tratta di risolvere il problema
$ (del^2v)/(delt^2)-Delta_xv=0 $
$ u(x,0)=0 $
$ (delu)/(delt)(x,0)=F(x,s) $
per poi dire che la soluzione è
$u(x,t)=int_0^tv(x,t-s,s)ds.$
Non riesco a capire come funziona l'inserimento di questo nuovo parametro $s$.
Porto un esempio: devo risolvere il primo problema in $RRtimes(0,+infty)$ con sorgente F(x,t)=e^(-(x^2)/2).
La soluzione del problema senza sorgente è $v(x,t)=1/2int_(x-t)^(x+t)e^(-(y^2)/2)dy$.
A questo punto io voglio scrivere $v$ come funzione di $x,t-s,s$ per poi integrare come sopra: come coinvolgo $s$?
Grazie dell'aiuto!
Per risolvere il problema delle onde con sorgente
$ (del^2u)/(delt^2)-Delta_xu=F $
$ u(x,0)=0 $
$ (delu)/(delt)(x,0)=0 $
uso il "Metodo di Duhamel". Si tratta di risolvere il problema
$ (del^2v)/(delt^2)-Delta_xv=0 $
$ u(x,0)=0 $
$ (delu)/(delt)(x,0)=F(x,s) $
per poi dire che la soluzione è
$u(x,t)=int_0^tv(x,t-s,s)ds.$
Non riesco a capire come funziona l'inserimento di questo nuovo parametro $s$.
Porto un esempio: devo risolvere il primo problema in $RRtimes(0,+infty)$ con sorgente F(x,t)=e^(-(x^2)/2).
La soluzione del problema senza sorgente è $v(x,t)=1/2int_(x-t)^(x+t)e^(-(y^2)/2)dy$.
A questo punto io voglio scrivere $v$ come funzione di $x,t-s,s$ per poi integrare come sopra: come coinvolgo $s$?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
Duhamel ti sta dicendo che il termine noto [tex]$f(x,t)$[/tex] del problema originario lo devi usare come dato iniziale del problema ausiliario al tempo zero fissando [tex]$t=s$[/tex] (con [tex]$s$[/tex] parametro da saturare mediante una successiva integrazione).
Devi quindi risolvere il problema ausliario (scrivo il laplaciano come derivata seconda, visto che siamo in [tex]$\mathbb{R}\times [0,+\infty[$[/tex]):
[tex]\begin{cases} v_{tt}(x,t) =v_{xx}(x,t) &\text{, $(x,t)\in \mathbb{R}\times [0,+\infty[$} \\ v(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$} \\ v_t(x,0)=f(x,s) &\text{, $x\in \mathbb{R}$}\end{cases}[/tex];
la soluzione di un problema di questo tipo si ricava dalla formula di d'Alembert, ed è:
[tex]$v(x,t;s)=\frac{1}{2}\ \int_{x-t}^{x+t} f(\xi ,s)\ \text{d} \xi$[/tex].
Per ottenere la soluzione del problema originario, che è:
[tex]\begin{cases} u_{tt}(x,t) -u_{xx}(x,t)=f(x,t) &\text{, $(x,t)\in \mathbb{R}\times [0,+\infty[$} \\ u(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$} \\ u_t(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$}\end{cases}[/tex]
basta "eliminare il parametro [tex]$s$[/tex]" da [tex]$v(x,t;s)$[/tex]: ciò si fa integrando su [tex]$[0,t]$[/tex] l'applicazione [tex]$s\mapsto v(x,t-s;s)$[/tex]. In tal modo si ottiene una delle possibili formule di rappresentazione per la soluzione [tex]$u(x,t)$[/tex]:
[tex]$u(x,t)=\int_0^t v(x,t-s;s)\ \text{d} s$[/tex];
tenendo presente la forma di [tex]$v(x,t;s)$[/tex] (e che la dipendenza dalla variabile temporale sta tutta negli estremi d'integrazione), l'integrale che fornisce [tex]$u(x,t)$[/tex] si può esplicitare come:
(*) [tex]$u(x,t)=\frac{1}{2}\ \int_0^t \left\{ \int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)} f(\xi ,s)\ \text{d} \xi\right\} \text{d} s$[/tex].
Nel caso in esame [tex]$f(x,t)=f(x)$[/tex] (non c'è dipendenza dalla variabile temporale), quindi la (*) si riscrive in maniera più semplice:
[tex]$u(x,t)=\frac{1}{2}\ \int_0^t \left\{ \int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)} f(\xi)\ \text{d} \xi\right\} \text{d} s$[/tex]
Tuttavia se il termine noto del problema originario è proprio [tex]$f(x)=\exp (-\tfrac{1}{2} x^2)$[/tex], è difficile che tu riesca a scrivere la soluzione [tex]$u(x,t)$[/tex] in maniera esplicita usando solo funzioni elementari... Probabilmente ci sarà bisogno di tenere in gioco alcuni integrali esponenziali non elementari, che sono esprimibili in maniera compatta usando la funzione [tex]\text{erf} (y):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^y e^{-\eta^2} \text{d} \eta[/tex].
Devi quindi risolvere il problema ausliario (scrivo il laplaciano come derivata seconda, visto che siamo in [tex]$\mathbb{R}\times [0,+\infty[$[/tex]):
[tex]\begin{cases} v_{tt}(x,t) =v_{xx}(x,t) &\text{, $(x,t)\in \mathbb{R}\times [0,+\infty[$} \\ v(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$} \\ v_t(x,0)=f(x,s) &\text{, $x\in \mathbb{R}$}\end{cases}[/tex];
la soluzione di un problema di questo tipo si ricava dalla formula di d'Alembert, ed è:
[tex]$v(x,t;s)=\frac{1}{2}\ \int_{x-t}^{x+t} f(\xi ,s)\ \text{d} \xi$[/tex].
Per ottenere la soluzione del problema originario, che è:
[tex]\begin{cases} u_{tt}(x,t) -u_{xx}(x,t)=f(x,t) &\text{, $(x,t)\in \mathbb{R}\times [0,+\infty[$} \\ u(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$} \\ u_t(x,0)=0 &\text{, $x\in \mathbb{R}$}\end{cases}[/tex]
basta "eliminare il parametro [tex]$s$[/tex]" da [tex]$v(x,t;s)$[/tex]: ciò si fa integrando su [tex]$[0,t]$[/tex] l'applicazione [tex]$s\mapsto v(x,t-s;s)$[/tex]. In tal modo si ottiene una delle possibili formule di rappresentazione per la soluzione [tex]$u(x,t)$[/tex]:
[tex]$u(x,t)=\int_0^t v(x,t-s;s)\ \text{d} s$[/tex];
tenendo presente la forma di [tex]$v(x,t;s)$[/tex] (e che la dipendenza dalla variabile temporale sta tutta negli estremi d'integrazione), l'integrale che fornisce [tex]$u(x,t)$[/tex] si può esplicitare come:
(*) [tex]$u(x,t)=\frac{1}{2}\ \int_0^t \left\{ \int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)} f(\xi ,s)\ \text{d} \xi\right\} \text{d} s$[/tex].
Nel caso in esame [tex]$f(x,t)=f(x)$[/tex] (non c'è dipendenza dalla variabile temporale), quindi la (*) si riscrive in maniera più semplice:
[tex]$u(x,t)=\frac{1}{2}\ \int_0^t \left\{ \int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)} f(\xi)\ \text{d} \xi\right\} \text{d} s$[/tex]
Tuttavia se il termine noto del problema originario è proprio [tex]$f(x)=\exp (-\tfrac{1}{2} x^2)$[/tex], è difficile che tu riesca a scrivere la soluzione [tex]$u(x,t)$[/tex] in maniera esplicita usando solo funzioni elementari... Probabilmente ci sarà bisogno di tenere in gioco alcuni integrali esponenziali non elementari, che sono esprimibili in maniera compatta usando la funzione [tex]\text{erf} (y):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^y e^{-\eta^2} \text{d} \eta[/tex].
grazie gugo!
(non e' bello resuscitare post ma qui ci sta perche' hai spiegato davero bene
)
(non e' bello resuscitare post ma qui ci sta perche' hai spiegato davero bene
)
Grazie davvero!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo