Metodo di Duhamel
http://img685.imageshack.us/img685/1412/primipiani.jpg
Salve a tutti.
Siamo un gruppo di studenti e stiamo seguendo un corso su equazioni differenziali a derivate parziali. Il problema è che avendo pochi crediti, molti argomenti sono stati sorvolati o trattati con sufficienza. Il nostro libro di testo non è al 100% esplicativo sul metodo di Duhamel...
Abbiamo provato a scrivere questo foglio sul quale cerchiamo di capire i vari passaggi del metodo di Duhamel, probabilmente ci saranno cose sbagliate...
Vorremmo capire meglio le spiegazioni dei vari passaggi che conducono alla soluzione del problema.
Inoltre se qualcuno conoscesse un sito (preferibilmente) o un libro di testo sul quale questo metodo viene trattato bene, ce lo segnali!
Grazie a tutti quanti per l'aiuto!!!
Salve a tutti.
Siamo un gruppo di studenti e stiamo seguendo un corso su equazioni differenziali a derivate parziali. Il problema è che avendo pochi crediti, molti argomenti sono stati sorvolati o trattati con sufficienza. Il nostro libro di testo non è al 100% esplicativo sul metodo di Duhamel...
Abbiamo provato a scrivere questo foglio sul quale cerchiamo di capire i vari passaggi del metodo di Duhamel, probabilmente ci saranno cose sbagliate...
Vorremmo capire meglio le spiegazioni dei vari passaggi che conducono alla soluzione del problema.
Inoltre se qualcuno conoscesse un sito (preferibilmente) o un libro di testo sul quale questo metodo viene trattato bene, ce lo segnali!
Grazie a tutti quanti per l'aiuto!!!
Risposte
Una dimostrazione rigorosa si trova nel libro di Evans, Partial Differential Equations, p. 49.
"Rigel":
Una dimostrazione rigorosa si trova nel libro di Evans, Partial Differential Equations, p. 49.
Perfetto
Grazie mille per il consiglio! Stiamo vedendo la dimostrazione e ci stiamo chiedendo:Nel problema $\{(u_t-\Deltau=f),(u=0):}$
quando fissiamo il tempo $t=s$, abbiamo che $u=u(x,t;s)=\int_{RR}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)dy$
è soluzione del problema $\{(u_t-\Deltau=0),(u=f):}$
Per quale motivo la forzante $f$ è diventata una condizione iniziale?
E' come se fissato un istante $t=s$ il contributo di $f$ si riduca ad un contributo istantaneo, perché?
E' proprio lì l'idea di fondo dietro il principio di Duhamel: stai sfruttando quello che in fisica si chiama principio di sovrapposizione. A rifletterci bene è la stessa cosa che si fa quando si applica il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Provo a dare una spiegazione intuitiva. Poniamo
\[(Hu)(x, t)=\left( \frac{\partial}{\partial t}-\Delta\right)u(x, t).\]
Il nostro obiettivo è risolvere il problema lineare
\[\tag{HP} \begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, t) & t>0 \\ u(x, 0)=0& \end{cases}\]
Procediamo con qualche passaggio formale, senza preoccuparci troppo del preciso significato matematico. Scriviamo \(f\) nella forma seguente
\[f(x, t)=\int_{0}^\infty f(x,s)\delta(t-s)\,ds\]
dove \(\delta(t-s)\) rappresenta un impulso unitario. Fisicamente abbiamo scomposto il termine forzante \(f\) in un continuo di termini impulsivi \(f(x, s)\delta(t-s)\). Il principio di sovrapposizione, opportunamente stiracchiato, ci dice ora che, sommando (=integrando) tutte le soluzioni dei problemi
\[\tag{HP, s}\begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) \\ u(x, 0)=0\end{cases}\]
otterremo una soluzione di (HP). Riscrivendo (HP, s) come
\[\tag{HP, s} \begin{cases} (Hu)(x, t)=0 & t>s \\ u(x, s)=f(x, s)&\end{cases}\]
ritroviamo il principio di Duhamel. /////
Provo a dare una spiegazione intuitiva. Poniamo
\[(Hu)(x, t)=\left( \frac{\partial}{\partial t}-\Delta\right)u(x, t).\]
Il nostro obiettivo è risolvere il problema lineare
\[\tag{HP} \begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, t) & t>0 \\ u(x, 0)=0& \end{cases}\]
Procediamo con qualche passaggio formale, senza preoccuparci troppo del preciso significato matematico. Scriviamo \(f\) nella forma seguente
\[f(x, t)=\int_{0}^\infty f(x,s)\delta(t-s)\,ds\]
dove \(\delta(t-s)\) rappresenta un impulso unitario. Fisicamente abbiamo scomposto il termine forzante \(f\) in un continuo di termini impulsivi \(f(x, s)\delta(t-s)\). Il principio di sovrapposizione, opportunamente stiracchiato, ci dice ora che, sommando (=integrando) tutte le soluzioni dei problemi
\[\tag{HP, s}\begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) \\ u(x, 0)=0\end{cases}\]
otterremo una soluzione di (HP). Riscrivendo (HP, s) come
\[\tag{HP, s} \begin{cases} (Hu)(x, t)=0 & t>s \\ u(x, s)=f(x, s)&\end{cases}\]
ritroviamo il principio di Duhamel. /////
"dissonance":
E' proprio lì l'idea di fondo dietro il principio di Duhamel: stai sfruttando quello che in fisica si chiama principio di sovrapposizione. A rifletterci bene è la stessa cosa che si fa quando si applica il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Provo a dare una spiegazione intuitiva. Poniamo
\[(Hu)(x, t)=\left( \frac{\partial}{\partial t}-\Delta\right)u(x, t).\]
Il nostro obiettivo è risolvere il problema lineare
\[\tag{HP} \begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, t) & t>0 \\ u(x, 0)=0& \end{cases}\]
Procediamo con qualche passaggio formale, senza preoccuparci troppo del preciso significato matematico. Scriviamo \(f\) nella forma seguente
\[f(x, t)=\int_{0}^\infty f(x,s)\delta(t-s)\,ds\]
dove \(\delta(t-s)\) rappresenta un impulso unitario. Fisicamente abbiamo scomposto il termine forzante \(f\) in un continuo di termini impulsivi \(f(x, s)\delta(t-s)\). Il principio di sovrapposizione, opportunamente stiracchiato, ci dice ora che, sommando (=integrando) tutte le soluzioni dei problemi
\[\tag{HP, s}\begin{cases} (Hu)(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) \\ u(x, 0)=0\end{cases}\]
otterremo una soluzione di (HP). Riscrivendo (HP, s) come
\[\tag{HP, s} \begin{cases} (Hu)(x, t)=0 & t>s \\ u(x, s)=f(x, s)&\end{cases}\]
ritroviamo il principio di Duhamel. /////
La $\delta$ che intendi tu può essere vista come una delta di Dirac giusto?
Comunque molto chiaro, grazie mille per la spiegazione!
"Edo_Rm":
La $\delta$ che intendi tu può essere vista come una delta di Dirac giusto?
Si, certo. E' una delta di Dirac nel tempo. Credo che fisici e ingegneri adottino per essa il termine "impulso", anche se ha le dimensioni dell'inverso di un tempo... Non sono sicurissimo di questo. Comunque ci siamo capiti.
Stiamo cercando di fare alcuni esercizi su Duhamel ed abbiamo riscontrato una difficoltà nella risoluzione dell'equazione delle onde...
Il problema è il seguente $u=u(x,t)$
$(del^2u)/(delt^2)-4(del^2u)/(delx^2)=2x$
Con le condizioni iniziali
$u(x,0)=0$
$(delu(x,0))/(delt)=0$
Ora quando io applico il metodo di Duhamel, nella risoluzione si osserva che la forzante $2x$ diventa un "impulso" nella condizione di velocità, cioè ho
$(del^2u)/(delt^2)-4(del^2u)/(delx^2)=0$
$u(x,s;s)=0$
$(delu(x,s;s))/(delt)=2x$
Con quale criterio la forzante finisce in quella condizione e non va invece a comporre la condizione $u(x,s;s)=2x$ ?
Grazie ancora!
Il problema è il seguente $u=u(x,t)$
$(del^2u)/(delt^2)-4(del^2u)/(delx^2)=2x$
Con le condizioni iniziali
$u(x,0)=0$
$(delu(x,0))/(delt)=0$
Ora quando io applico il metodo di Duhamel, nella risoluzione si osserva che la forzante $2x$ diventa un "impulso" nella condizione di velocità, cioè ho
$(del^2u)/(delt^2)-4(del^2u)/(delx^2)=0$
$u(x,s;s)=0$
$(delu(x,s;s))/(delt)=2x$
Con quale criterio la forzante finisce in quella condizione e non va invece a comporre la condizione $u(x,s;s)=2x$ ?
Grazie ancora!
In effetti questo mi manda un po' in crisi. L' "interpretazione intuitiva" che ho scritto nel mio post precedente contiene qualche falla perché qui affonda. In questo momento purtroppo non ti so rispondere; prova a dare un'occhiata a Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27 ... linear_PDE
dove viene data una spiegazione (che però non trovo troppo soddisfacente) in termini di trasformata di Fourier.
http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27 ... linear_PDE
dove viene data una spiegazione (che però non trovo troppo soddisfacente) in termini di trasformata di Fourier.
Ok. Capito. Su Folland, Introduction to partial differential equations, è spiegato un po' meglio rispetto a Wikipedia.
Dunque, il termine forzante deve finire nella condizione iniziale dedicata alla derivata temporale di ordine massimo per il motivo seguente. Consideriamo un problema di Cauchy non omogeneo di ordine \(k\):
\[\tag{CP}\begin{cases} \left( \partial^k_t+A\right) u(x, t)=f(x, t) & t>0 \\ u(x, 0)=\partial_t u(x, 0)=\ldots=\partial^{k-1}_t u(x, 0)=0 & \end{cases}\]
dove \(A\) è un operatore differenziale relativo alle sole coordinate spaziali (per esempio il Laplaciano). Come prima scomponiamo il termine forzante in una sovrapposizione di termini impulsivi:
\[f(x, t)=\int_0^\infty f(x, s)\delta(t-s)\, ds, \]
e consideriamo la famiglia di problemi indicizzata da \(s > 0\)
\[\tag{CP*,s}\begin{cases} \left( \partial^k_t+A\right) u(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) & t>0 \\ u(x, 0)=\partial_t u(x, 0)=\ldots=\partial^{k-1}_t u(x, 0)=0 & \end{cases}.\]
Riscriviamo l'equazione come
\[ \partial^k_t u(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) - A u(x, t).\]
Affinché nel membro sinistro possa comparire una delta di Dirac centrata in \(s\), dobbiamo richiedere che la derivata \(k-1\)-esima di \(u\) abbia un salto in \(s\) di ampiezza \(f(x, s)\). Quindi è soluzione di (CP*, s) la funzione \(u(x, t; s)\) identicamente nulla per \(0 \le t < s\) e soluzione del problema
\[\tag{CP, s} \begin{cases} \left( \partial^k_t +A \right) u(x, t)=0 & t > s \\ u(x, s)=\partial_t u(x,s)=\ldots=\partial^{k-2}_t u(x, s)=0,\ \partial^{k-1}_t u(x, s)=f(x, s) & \end{cases}\]
per \(t \ge s\).
Riassumendo, abbiamo definito una famiglia di funzioni \(u(x, t; s)\) mediante la formula
\[u(x, t; s)=\begin{cases} 0 & 0 \le t < s \\ \text{soluzione di (CP, s)} & s \le t \end{cases}.\]
Il principio di sovrapposizione prescrive che l'integrale di tutte queste funzioni sia soluzione di (CP):
\[u(x, t)=\int_0^\infty u(x, t; s)\, ds\]
e siccome la funzione integranda è nulla per \(t
\[u(x, t)=\int_0^t u(x, t; s)\, ds\]
del principio di Duhamel. //////
Spero stavolta di essere stato più chiaro.
Dunque, il termine forzante deve finire nella condizione iniziale dedicata alla derivata temporale di ordine massimo per il motivo seguente. Consideriamo un problema di Cauchy non omogeneo di ordine \(k\):
\[\tag{CP}\begin{cases} \left( \partial^k_t+A\right) u(x, t)=f(x, t) & t>0 \\ u(x, 0)=\partial_t u(x, 0)=\ldots=\partial^{k-1}_t u(x, 0)=0 & \end{cases}\]
dove \(A\) è un operatore differenziale relativo alle sole coordinate spaziali (per esempio il Laplaciano). Come prima scomponiamo il termine forzante in una sovrapposizione di termini impulsivi:
\[f(x, t)=\int_0^\infty f(x, s)\delta(t-s)\, ds, \]
e consideriamo la famiglia di problemi indicizzata da \(s > 0\)
\[\tag{CP*,s}\begin{cases} \left( \partial^k_t+A\right) u(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) & t>0 \\ u(x, 0)=\partial_t u(x, 0)=\ldots=\partial^{k-1}_t u(x, 0)=0 & \end{cases}.\]
Riscriviamo l'equazione come
\[ \partial^k_t u(x, t)=f(x, s)\delta(t-s) - A u(x, t).\]
Affinché nel membro sinistro possa comparire una delta di Dirac centrata in \(s\), dobbiamo richiedere che la derivata \(k-1\)-esima di \(u\) abbia un salto in \(s\) di ampiezza \(f(x, s)\). Quindi è soluzione di (CP*, s) la funzione \(u(x, t; s)\) identicamente nulla per \(0 \le t < s\) e soluzione del problema
\[\tag{CP, s} \begin{cases} \left( \partial^k_t +A \right) u(x, t)=0 & t > s \\ u(x, s)=\partial_t u(x,s)=\ldots=\partial^{k-2}_t u(x, s)=0,\ \partial^{k-1}_t u(x, s)=f(x, s) & \end{cases}\]
per \(t \ge s\).
Riassumendo, abbiamo definito una famiglia di funzioni \(u(x, t; s)\) mediante la formula
\[u(x, t; s)=\begin{cases} 0 & 0 \le t < s \\ \text{soluzione di (CP, s)} & s \le t \end{cases}.\]
Il principio di sovrapposizione prescrive che l'integrale di tutte queste funzioni sia soluzione di (CP):
\[u(x, t)=\int_0^\infty u(x, t; s)\, ds\]
e siccome la funzione integranda è nulla per \(t
\[u(x, t)=\int_0^t u(x, t; s)\, ds\]
del principio di Duhamel. //////
Spero stavolta di essere stato più chiaro.
"dissonance":
Affinché nel membro sinistro possa comparire una delta di Dirac centrata in \(s\), dobbiamo richiedere che la derivata \(k-1\)-esima di \(u\) abbia un salto in \(s\) di ampiezza \(f(x, s)\). Quindi è soluzione di (CP*, s) la funzione \(u(x, t; s)\) identicamente nulla per \(0 \le t < s\) e soluzione del problema
Prima di tutto grazie mille per le tue risposte che ci stanno chiarendo i dubbi a riguardo.
Nella tua spiegazione non ci è molto chiara questa frase che scrivi, che purtroppo sembra essere il punto centrale del ragionamento...
Una osservazione generale. Come fare in modo che \(\frac{d v}{dt}(t)=\delta(t-s)\)? Deve succedere che \(v\) abbia in \(s\) un salto unitario. Allo stesso modo per fare sì che
\[\partial_t^ku(x, t)=f(x, s)\delta(t-s)+\text{altro}\]
deve succedere che \(\partial_t^{k-1} u(x, t; s)\) (vista come funzione di \(t\)) abbia in \(s\) un salto pari a \(f(x, s)\). Quindi noi forziamo \(u(x, t;s)\) ad essere identicamente nulla nel passato (\(t < s\)) e improvvisamente ad assumere il valore prescritto dal problema (CP, s) nel presente e nel futuro \(t\ge s\).
Fisicamente questa è la descrizione di un sistema in quiete (\(u=0\)) fino al tempo \(s\), quando improvvisamente è sottoposto ad un impulso di ampiezza \(f(x, s)\). Per il discorso matematico fatto sopra, questo impulso finisce nella condizione iniziale dedicata alla derivata di ordine massimo.
\[\partial_t^ku(x, t)=f(x, s)\delta(t-s)+\text{altro}\]
deve succedere che \(\partial_t^{k-1} u(x, t; s)\) (vista come funzione di \(t\)) abbia in \(s\) un salto pari a \(f(x, s)\). Quindi noi forziamo \(u(x, t;s)\) ad essere identicamente nulla nel passato (\(t < s\)) e improvvisamente ad assumere il valore prescritto dal problema (CP, s) nel presente e nel futuro \(t\ge s\).
Fisicamente questa è la descrizione di un sistema in quiete (\(u=0\)) fino al tempo \(s\), quando improvvisamente è sottoposto ad un impulso di ampiezza \(f(x, s)\). Per il discorso matematico fatto sopra, questo impulso finisce nella condizione iniziale dedicata alla derivata di ordine massimo.
*** Topic richiamato il 02/04/12 ***
Ho riflettuto sull'argomento e vi propongo una piccola trattazione della cosa. Vediamo come usare la teoria delle distribuzioni (in modo informale ma formalizzabile) per ricavare le formule previste dal principio di Duhamel. Nel seguito \(x \in \mathbb{R}^n\) e \(t \in \mathbb{R}\), ma sarà sempre \(t \ge 0\).
Sia \(A_x\) un operatore differenziale lineare dipendente dalle sole variabili spaziali \(x_1 \ldots x_n\) (esempio tipico: \(A_x=-\Delta\) ) e sia \(k\ge 1\) un intero. Al momento non sarebbe necessario ma richiediamo comunque che \(A_x\) abbia i coefficienti costanti. Ci proponiamo di trovare una soluzione dell'equazione
\[(\partial_t^k + A_x) u(x, t)=\delta(x, t), \]
ovvero una soluzione elementare dell'operatore \((\partial_t^k + A_x)\), supponendo di sapere come risolvere i problemi di Cauchy omogenei (ai valori iniziali) all'istante \(t=0\):
\[\tag{CP} \begin{cases} (\partial_t^k + A_x)v(x, t)=0 \\ v(x, 0)=v_0(x) \\ \vdots \\ \partial_t^{k-1}v(x, 0)=v_{k-1}(x)\end{cases}.\]
Scegliamo una soluzione \(v\) di (CP), con condizioni iniziali da determinarsi, e definiamo \(E(x, t)=H(t)v(x, t)\) (dove \(H(t)=\{1, t\ge 0\mid\, 0, t<0\}\) è il gradino unitario. Calcoliamo \(\partial^k_t [H(t)v(x, t)]\)
\[\begin{align*}\partial_t[H(t)v(x, t)]&=\delta(t)v(x, 0)+H(t)\partial_t v(x, t)\\
\partial_t^2[H(t)v(x, t)]&=\delta'(t)v(x, 0)+\delta(t)\partial_t v(x, 0)+ H(t)\partial_t^2v(x, t)\\
&\vdots \\
\partial_t^k[H(t)v(x, t)]&=\delta^{(k-1)}(t)v(x, 0)+\ldots +\delta(t)\partial^{k-1}_t v(x, 0)+ H(t)\partial^k_tv(x, t)\end{align*}\]
e quindi
\[\begin{align*}(\partial_t^k+A_x)E(x, t)&=\delta^{(k-1)}(t)v(x, 0)+\ldots +\delta(t)\partial^{k-1}_t v(x, 0) + H(t)[\partial^k_tv(x, t)+A_xv(x, t)] \\
&=\delta^{(k-1)}(t)v_0(x)+\ldots +\delta(t) v_{k-1}(x),\end{align*} \]
in cui abbiamo usato le relazioni \(A_x[H(t)v(x,t)]=H(t)A_x[v(x, t)]\) e \((\partial_t^k+A_x)v(x, t)=0\).
In conclusione \(E(x, t)\) è una soluzione elementare a patto che \(v_0(x)=\ldots=v_{k-2}(x)=0\) e \(v_{k-1}(x)=\delta(x)\).
(continua...)
Ho riflettuto sull'argomento e vi propongo una piccola trattazione della cosa. Vediamo come usare la teoria delle distribuzioni (in modo informale ma formalizzabile) per ricavare le formule previste dal principio di Duhamel. Nel seguito \(x \in \mathbb{R}^n\) e \(t \in \mathbb{R}\), ma sarà sempre \(t \ge 0\).
Sia \(A_x\) un operatore differenziale lineare dipendente dalle sole variabili spaziali \(x_1 \ldots x_n\) (esempio tipico: \(A_x=-\Delta\) ) e sia \(k\ge 1\) un intero. Al momento non sarebbe necessario ma richiediamo comunque che \(A_x\) abbia i coefficienti costanti. Ci proponiamo di trovare una soluzione dell'equazione
\[(\partial_t^k + A_x) u(x, t)=\delta(x, t), \]
ovvero una soluzione elementare dell'operatore \((\partial_t^k + A_x)\), supponendo di sapere come risolvere i problemi di Cauchy omogenei (ai valori iniziali) all'istante \(t=0\):
\[\tag{CP} \begin{cases} (\partial_t^k + A_x)v(x, t)=0 \\ v(x, 0)=v_0(x) \\ \vdots \\ \partial_t^{k-1}v(x, 0)=v_{k-1}(x)\end{cases}.\]
Scegliamo una soluzione \(v\) di (CP), con condizioni iniziali da determinarsi, e definiamo \(E(x, t)=H(t)v(x, t)\) (dove \(H(t)=\{1, t\ge 0\mid\, 0, t<0\}\) è il gradino unitario. Calcoliamo \(\partial^k_t [H(t)v(x, t)]\)
\[\begin{align*}\partial_t[H(t)v(x, t)]&=\delta(t)v(x, 0)+H(t)\partial_t v(x, t)\\
\partial_t^2[H(t)v(x, t)]&=\delta'(t)v(x, 0)+\delta(t)\partial_t v(x, 0)+ H(t)\partial_t^2v(x, t)\\
&\vdots \\
\partial_t^k[H(t)v(x, t)]&=\delta^{(k-1)}(t)v(x, 0)+\ldots +\delta(t)\partial^{k-1}_t v(x, 0)+ H(t)\partial^k_tv(x, t)\end{align*}\]
e quindi
\[\begin{align*}(\partial_t^k+A_x)E(x, t)&=\delta^{(k-1)}(t)v(x, 0)+\ldots +\delta(t)\partial^{k-1}_t v(x, 0) + H(t)[\partial^k_tv(x, t)+A_xv(x, t)] \\
&=\delta^{(k-1)}(t)v_0(x)+\ldots +\delta(t) v_{k-1}(x),\end{align*} \]
in cui abbiamo usato le relazioni \(A_x[H(t)v(x,t)]=H(t)A_x[v(x, t)]\) e \((\partial_t^k+A_x)v(x, t)=0\).
In conclusione \(E(x, t)\) è una soluzione elementare a patto che \(v_0(x)=\ldots=v_{k-2}(x)=0\) e \(v_{k-1}(x)=\delta(x)\).
(continua...)
Usando la soluzione elementare così trovata e sfruttando la proprietà di \(A_x\) di avere coefficienti costanti possiamo trovare una soluzione dell'equazione \((\partial_t^k+A_x)u(x, t)=f(x, t)\). Osserviamo infatti che grazie a tale proprietà la funzione \(E(x-\xi, t-\tau)\) è soluzione dell'equazione \((\partial_t^k+A_x)u(x, t)=\delta(x-\xi, t-\tau)\). Procedendo informalmente possiamo scomporre il termine noto (che supponiamo nullo per \(t \le 0\))
\[f(x, t)=\int_{-\infty}^\infty d\tau \int_{\mathbb{R}^n}d\xi\, f(\xi, \tau)\delta(x-\xi, t-\tau),\]
e poi usare il principio di sovrapposizione per ottenere la soluzione
\[\tag{S1}u(x, t)=\int_{-\infty}^\infty d\tau\int_{\mathbb{R}^n}d\xi\, E(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau).\]
(Per una trattazione rigorosa occorre introdurre il prodotto di convoluzione \(\star\). In questi termini si ottiene il risultato \(u(x, t)=(E\star f)(x, t)\), valido per \(f\) in qualche opportuna sottoclasse di distribuzioni.)
Ora ricordando la definizione esplicita di \(E(x,t)\) come \(H(t)v(x, t)\) e sfruttando il fatto che \(f(x, t)\) è nullo per tempi negativi riscriviamo (S1) come
\[\tag{S1'} \int_0^t d\tau \left( \int_{\mathbb{R}^n} v(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau)\, d\xi\right).\]
*** Questo è esattamente lo stesso risultato che avremmo ottenuto mediante il principio di Duhamel. ***
Per rendercene conto troviamo una soluzione di \((\partial_t^k+A_x)u(x, t)=f(x, t)\) mediante tale principio. Allo scopo dobbiamo considerare istanti \(\tau >0\) e risolvere il problema di Cauchy ausiliario
\[\begin{cases}
(\partial_t^k+A_x)u(x, t; \tau)=0 & t >\tau \\
u(x, \tau; \tau)=0 \\
\vdots \\
\partial_t^{k-2}u(x, \tau; \tau)=0 \\
\partial_t^{k-1}u(x, \tau; \tau)=f(x, \tau) \end{cases}\]
Possiamo però ripetere la procedura informale dell'inizio di questo post decomponendo \(f(x, \tau)\) (notiamo che adesso il tempo è fissato e la variabile di integrazione è solo spaziale):
\[f(x, \tau)=\int_{\mathbb{R}^n} f(\xi, \tau)\delta(x-\xi)\, d\xi, \]
poi osservando che, sempre grazie alla costanza dei coefficienti, è soluzione del problema ausiliario con dato \(f(\xi, \tau)\delta(x-\xi)\) la funzione \(v(x, t-\tau)\) trovata nel post precedente, e concludendo
\[u(x, t; \tau)=\int_{\mathbb{R}^n} v(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau)\, d\xi.\]
Il principio di Duhamel asserisce che una soluzione dell'equazione data è
\[\int_0^t u(x, t;\tau)\, d\tau.\]
Questa è esattamente la formula (S1').
\[f(x, t)=\int_{-\infty}^\infty d\tau \int_{\mathbb{R}^n}d\xi\, f(\xi, \tau)\delta(x-\xi, t-\tau),\]
e poi usare il principio di sovrapposizione per ottenere la soluzione
\[\tag{S1}u(x, t)=\int_{-\infty}^\infty d\tau\int_{\mathbb{R}^n}d\xi\, E(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau).\]
(Per una trattazione rigorosa occorre introdurre il prodotto di convoluzione \(\star\). In questi termini si ottiene il risultato \(u(x, t)=(E\star f)(x, t)\), valido per \(f\) in qualche opportuna sottoclasse di distribuzioni.)
Ora ricordando la definizione esplicita di \(E(x,t)\) come \(H(t)v(x, t)\) e sfruttando il fatto che \(f(x, t)\) è nullo per tempi negativi riscriviamo (S1) come
\[\tag{S1'} \int_0^t d\tau \left( \int_{\mathbb{R}^n} v(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau)\, d\xi\right).\]
*** Questo è esattamente lo stesso risultato che avremmo ottenuto mediante il principio di Duhamel. ***
Per rendercene conto troviamo una soluzione di \((\partial_t^k+A_x)u(x, t)=f(x, t)\) mediante tale principio. Allo scopo dobbiamo considerare istanti \(\tau >0\) e risolvere il problema di Cauchy ausiliario
\[\begin{cases}
(\partial_t^k+A_x)u(x, t; \tau)=0 & t >\tau \\
u(x, \tau; \tau)=0 \\
\vdots \\
\partial_t^{k-2}u(x, \tau; \tau)=0 \\
\partial_t^{k-1}u(x, \tau; \tau)=f(x, \tau) \end{cases}\]
Possiamo però ripetere la procedura informale dell'inizio di questo post decomponendo \(f(x, \tau)\) (notiamo che adesso il tempo è fissato e la variabile di integrazione è solo spaziale):
\[f(x, \tau)=\int_{\mathbb{R}^n} f(\xi, \tau)\delta(x-\xi)\, d\xi, \]
poi osservando che, sempre grazie alla costanza dei coefficienti, è soluzione del problema ausiliario con dato \(f(\xi, \tau)\delta(x-\xi)\) la funzione \(v(x, t-\tau)\) trovata nel post precedente, e concludendo
\[u(x, t; \tau)=\int_{\mathbb{R}^n} v(x-\xi, t-\tau)f(\xi, \tau)\, d\xi.\]
Il principio di Duhamel asserisce che una soluzione dell'equazione data è
\[\int_0^t u(x, t;\tau)\, d\tau.\]
Questa è esattamente la formula (S1').
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