Metodo di bisezione
Salve a tutti
Ho un problema con questo metodo..
L'esercizio è:
Dato a ∈ R consideriamo l’equazione
$(x − 3)^2 = ae^x $ (*)
e indichiamo con x(a) la pi`u piccola delle soluzioni di (*), se ne esistono.
a) Determinare il numero di soluzioni di (*) per ogni a ∈ R.
b) Usando l’algoritmo di bisezione, determinare il valore di x(1) con errore inferiore a 10^−1
Ora:
a)Dal disegno si vede che l’equazione (*), ha una soluzione
per a > a0, dove a0 := f(5) = 4e^−5
; due per a = a0; tre per 0 < a < a0; una per a = 0; nessuna
per a < 0.
b)So che l'intervallo da considerare è [0,3] ma come procedo poi?
Ho un problema con questo metodo..
L'esercizio è:
Dato a ∈ R consideriamo l’equazione
$(x − 3)^2 = ae^x $ (*)
e indichiamo con x(a) la pi`u piccola delle soluzioni di (*), se ne esistono.
a) Determinare il numero di soluzioni di (*) per ogni a ∈ R.
b) Usando l’algoritmo di bisezione, determinare il valore di x(1) con errore inferiore a 10^−1
Ora:
a)Dal disegno si vede che l’equazione (*), ha una soluzione
per a > a0, dove a0 := f(5) = 4e^−5
; due per a = a0; tre per 0 < a < a0; una per a = 0; nessuna
per a < 0.
b)So che l'intervallo da considerare è [0,3] ma come procedo poi?
Risposte
Per il primo punto forse non basta una motivazione basata solo sul grafico, ma la soluzione è corretta.
Per il secondo punto devi solo armarti di calcolatrice e procedere col metodo di bisezione.
Posto \(f(x) = (x-3)^2 - e^x\), hai che \(f(0) = 9 - e^2 > 0\), mentre \(f(3) = - e^3 < 0\).
Consideri il punto medio \(c = 3/2\) dell'intervallo \([0,3]\) e calcoli \(f(c) \simeq -2.23 < 0\); questo ti dice che lo zero sta nell'intervallo \([0, 3/2]\) dove \(f\) cambia segno.
Consideri il punto medio \(c = 3/4\) dell'intervallo \([0,3/2]\) e calcoli \(f(c) \simeq 2.95 > 0\); questo ti dice che lo zero sta nell'intervallo \([3/4, 3/2]\) dove \(f\) cambia segno.
Procedi in questo modo fino ad arrivare a un intervallo di ampiezza minore della precisione cercata.
(In realtà, una volta che sei arrivato a un intervallo \([a,b]\) con ampiezza minore di 2 volte la precisione cercata, ti basta prenderne il punto medio per avere una approssimazione con la precisione voluta.)
Per il secondo punto devi solo armarti di calcolatrice e procedere col metodo di bisezione.
Posto \(f(x) = (x-3)^2 - e^x\), hai che \(f(0) = 9 - e^2 > 0\), mentre \(f(3) = - e^3 < 0\).
Consideri il punto medio \(c = 3/2\) dell'intervallo \([0,3]\) e calcoli \(f(c) \simeq -2.23 < 0\); questo ti dice che lo zero sta nell'intervallo \([0, 3/2]\) dove \(f\) cambia segno.
Consideri il punto medio \(c = 3/4\) dell'intervallo \([0,3/2]\) e calcoli \(f(c) \simeq 2.95 > 0\); questo ti dice che lo zero sta nell'intervallo \([3/4, 3/2]\) dove \(f\) cambia segno.
Procedi in questo modo fino ad arrivare a un intervallo di ampiezza minore della precisione cercata.
(In realtà, una volta che sei arrivato a un intervallo \([a,b]\) con ampiezza minore di 2 volte la precisione cercata, ti basta prenderne il punto medio per avere una approssimazione con la precisione voluta.)
Grazie mille,chiarissimo.
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