Metodo delle variazione delle costanti
Ho una domanda riguardo questo metodo per risolvere equazione differenziali non omogenee di secondo grado.
Supponiamo di avere una equazione
$y''+2y'+y=f(t)$
per cui risolvendo l'equazione omogenea associata trovo che la soluzione del polinomio è
$\lambda=-1$
la soluzione dell'omogenea è quindi $u(t)=te^{-t}$. A questo punto, devo trovare una soluzione particolare della non omogenea. Se voglio usare il metodo delle variazioni delle costanti, per trovare l'unica $c_1$
$c_1= \int ((\phi_1),(\phi'_1))^{-1}((0),(f(t)))dt$
come posso però invertire una matrice non quadrata? Come si procede in questi casi? Chiedo scusa se la domanda è stupida ma non riesco a capire come funzioni questo metodo in questo caso!
Supponiamo di avere una equazione
$y''+2y'+y=f(t)$
per cui risolvendo l'equazione omogenea associata trovo che la soluzione del polinomio è
$\lambda=-1$
la soluzione dell'omogenea è quindi $u(t)=te^{-t}$. A questo punto, devo trovare una soluzione particolare della non omogenea. Se voglio usare il metodo delle variazioni delle costanti, per trovare l'unica $c_1$
$c_1= \int ((\phi_1),(\phi'_1))^{-1}((0),(f(t)))dt$
come posso però invertire una matrice non quadrata? Come si procede in questi casi? Chiedo scusa se la domanda è stupida ma non riesco a capire come funzioni questo metodo in questo caso!
Risposte
Devi trovare due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea associata, una sola non basta.
ma quindi in questo caso il metodo non è applicabile?
MA si, è sempre applicabile. Ma hai studiato un po' di teoria prima di metterti a fare esercizi? Non credo.
Il problema è che devi trovare un'altra soluzione dell'equazione omogenea associata. E come si fa? Tu ti sei bloccat* perché il polinomio caratteristico ha una sola radice con molteplicità due. Ma in questi casi c'è una procedura standard, vai a cercare anche questa sul tuo libro dove c'è di sicuro.
Il problema è che devi trovare un'altra soluzione dell'equazione omogenea associata. E come si fa? Tu ti sei bloccat* perché il polinomio caratteristico ha una sola radice con molteplicità due. Ma in questi casi c'è una procedura standard, vai a cercare anche questa sul tuo libro dove c'è di sicuro.
Ma poi siamo sicuri che il polinomio abbia una sola radice?
No, non siamo sicuri. Inoltre mi accorgo adesso che \(\lambda=-1\) non è una radice. E' tutto da rifare.
Ho sbagliato il segno sull'ultimo termine del membro a sinistra, adesso correggo. In ogni caso grazie per "l'aiuto". 
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