Metodo dei residui

[giannirecanati]

Data la funzione \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}(x^2+1)} \) calcolare la norma in \(\displaystyle L^{1}(R^{+}) \) con il metodo dei residui.

Sto procedendo così:
1) Ho esteso la funzione al piano complesso: \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^{\frac{1}{4}}(z+2i)(z-2i)} \)
2) Sto analizzando i poli: due semplici (z = 2i), (z = -2i);
Tuttavia, non riesco a studiare la singolarità nell'origine. Non so come trattare poli di ordine razionale per il calcolo del residuo. Potete aiutarmi?

[gugo82]

Infatti i poli di ordine razionale non esistono... Come puoi ben vedere dalla definizione di polo.

Il problema è che \(z^{1/4}\) è una funzione polidroma analitica avente quattro determinazioni e un punto di diramazione in \(0\).
Per calcolare l'integrale reale:
\[
\int_0^\infty f(x)\ \text{d}x
\]
mi sembra che si usino percorsi tipo "settori di anello", cioè le frontiere degli insiemi:
\[
\Omega_{r,R} := \left\{z\in \mathbb{C}:\ r<|z| \]
(con \(0

Cita

Segnala

[giannirecanati]

Grazie mille, gugo!