Metodo dei moltiplicatori di Lagrange: piccolo dubbio
Porto ad esempio un esercizio, giusto per essere chiari.
Trovare l'immagine della funzione $f:A \rightarrow RR, f(x,y,z)=x+y+8z$, dove $A={(x,y,z)\in RR^3: x^2 +y^2 +z^2 -66<=0}$
Il metodo di Lagrange in pratica va a trovare i punti stazionari di una funzione chiamata Lagrangiana costruita appositamente:
$\nabla L(x,y,z,\lambda)=\nabla f(x,y,z) - \lambda \nabla \phi(x,y,z)$
dove $\phi(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 - 66 <=0$
Nella pratica, devo risolvere il sistema
$\{({\partial f}/{\partial x} - \lambda {\partial \phi}/{\partial x}=0),({\partial f}/{\partial y} - \lambda {\partial \phi}/{\partial y}=0),({\partial f}/{\partial z} - \lambda {\partial \phi}/{\partial z}=0) :}$
e verificare che i punti ottenuti soddisfino il vincolo. A me risulta che $x=y=1/{2\lambda}$ e $z=4/{\lambda}$. Quindi, vado a sostituire nel vincolo. Dato che $\phi$ è una disequazione la risolvo come tale, giusto?
Il risultato è che $\lambda$ è negativo quando $\lambda <= -1/2$ e $\lambda >=1/2$. Quindi risostituisco i $\lambda$ nel sistema per ottenere i due punti.
$x=y=+- 1$
$z=+-8$
Ora sostituisco in $f$ per trovare l'immagine.
$f_max = 1+1+16=18$ e $f_min = 1-1-16 = -18$
e quindi
$f(A)=[-18,18]$
E' corretto? Grazie!
Trovare l'immagine della funzione $f:A \rightarrow RR, f(x,y,z)=x+y+8z$, dove $A={(x,y,z)\in RR^3: x^2 +y^2 +z^2 -66<=0}$
Il metodo di Lagrange in pratica va a trovare i punti stazionari di una funzione chiamata Lagrangiana costruita appositamente:
$\nabla L(x,y,z,\lambda)=\nabla f(x,y,z) - \lambda \nabla \phi(x,y,z)$
dove $\phi(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 - 66 <=0$
Nella pratica, devo risolvere il sistema
$\{({\partial f}/{\partial x} - \lambda {\partial \phi}/{\partial x}=0),({\partial f}/{\partial y} - \lambda {\partial \phi}/{\partial y}=0),({\partial f}/{\partial z} - \lambda {\partial \phi}/{\partial z}=0) :}$
e verificare che i punti ottenuti soddisfino il vincolo. A me risulta che $x=y=1/{2\lambda}$ e $z=4/{\lambda}$. Quindi, vado a sostituire nel vincolo. Dato che $\phi$ è una disequazione la risolvo come tale, giusto?
Il risultato è che $\lambda$ è negativo quando $\lambda <= -1/2$ e $\lambda >=1/2$. Quindi risostituisco i $\lambda$ nel sistema per ottenere i due punti.
$x=y=+- 1$
$z=+-8$
Ora sostituisco in $f$ per trovare l'immagine.
$f_max = 1+1+16=18$ e $f_min = 1-1-16 = -18$
e quindi
$f(A)=[-18,18]$
E' corretto? Grazie!
Risposte
Ma anche no...
Il metodo di Lagrange funziona con vicoli in forma di uguaglianza, i.e. quando i tuoi punti sono vincolati a stare in un insieme avente dimensione minore dello spazio ambiente (e.g., su una retta o una circonferenza nel piano, oppure su un piano o una retta o una sfera nello spazio, etc...).
Dato che l'insieme ammissibile \(A\) è un insieme "pieno" (dato che ha punti interni), esso ha la stessa dimensione dello spazio in cui è; pertanto il metodo di Lagrange non si può applicare così come fai.
Sarebbe meglio se ti rileggessi un po' la teoria.
Il metodo di Lagrange funziona con vicoli in forma di uguaglianza, i.e. quando i tuoi punti sono vincolati a stare in un insieme avente dimensione minore dello spazio ambiente (e.g., su una retta o una circonferenza nel piano, oppure su un piano o una retta o una sfera nello spazio, etc...).
Dato che l'insieme ammissibile \(A\) è un insieme "pieno" (dato che ha punti interni), esso ha la stessa dimensione dello spazio in cui è; pertanto il metodo di Lagrange non si può applicare così come fai.
Sarebbe meglio se ti rileggessi un po' la teoria.
Ah... bene. 
Allora mi rendo conto di non aver capito quasi niente. Tutti, e dico tutti[\i], i miei compagni di corso svolgono l'esercizio come me. Mi era in effetti venuto il dubbio dato che nella teoria è sempre presente un'uguaglianza e mai una disugualianza... forse devo cercare punti stazionari sulla frontiera di A? 
Ma non ne sono sicura...
Grazie mille per l'aiuto!
Allora mi rendo conto di non aver capito quasi niente. Tutti, e dico tutti[\i], i miei compagni di corso svolgono l'esercizio come me. Mi era in effetti venuto il dubbio dato che nella teoria è sempre presente un'uguaglianza e mai una disugualianza... forse devo cercare punti stazionari sulla frontiera di A? Ma non ne sono sicura...Grazie mille per l'aiuto!
[modificata]
Ci ho ragionato un po'... io farei così:
1) calcolo i punti stazionari di $f$
dato che $\nabla f$ non si annulla mai, $f$ non ha punti stazionari.
2) verifico che si trovino all'interno del vincolo
quindi questo passaggio posso saltarlo
3) quindi utilizzo il metodo di Lagrange ponendo il vincolo uguale a zero, trovando così i punti su $\partial A$
che in pratica è quello che ho fatto prima. Quindi, sulla frontiera di $A$, $f$ ha un massimo ed un minimo in $f(x,y,x)=18$ e $f(x,y,z))-18$.
Ha senso?
Ci ho ragionato un po'... io farei così:
1) calcolo i punti stazionari di $f$
dato che $\nabla f$ non si annulla mai, $f$ non ha punti stazionari.
2) verifico che si trovino all'interno del vincolo
quindi questo passaggio posso saltarlo
3) quindi utilizzo il metodo di Lagrange ponendo il vincolo uguale a zero, trovando così i punti su $\partial A$
che in pratica è quello che ho fatto prima. Quindi, sulla frontiera di $A$, $f$ ha un massimo ed un minimo in $f(x,y,x)=18$ e $f(x,y,z))-18$.
Ha senso?
Certo che ne ha!
Nel tuo caso, comincia a notare che \(A\), essendo una palla chiusa di centro \(o\) e raggio \(\sqrt{66}\), è compatto e perciò la funzione continua \(f\) ha estremi assoluti in \(A\) (per Weierstrass); inoltre, dato che \(A\) è connesso, la funzione continua \(f\) trasforma \(A\) in un connesso di \(\mathbb{R}\), cioé in un intervallo.
Pertanto \(f(A)\) è un intervallo chiuso e limitato dell'asse reale.
Per determinare l'intervallo \(f(A)\) basta perciò determinarne gli estremi: chiaramente, tali estremi sono i due numeri \(\min_A f\) e \(\max_A f\), ossia il minimo ed il massimo assoluti di \(f\) in \(A\).
Pertanto, per rispondere al quesito basta determinare gli estremi assoluti di \(f\).
Per fare ciò, prima guardi cosa succede all'interno di \(A\) con le usuali tecniche del Calcolo Differenziale (quindi, fai l'analisi dei punti critici con l'Hessiano o altra tecnica): come si dice in gergo, risolvi un problema di estremo libero.
Dopo però devi anche guardare cosa succede sul bordo di \(A\) (infatti \(A\) è una palla chiusa, dunque devi tener conto anche dei punti del bordo!); dato che i punti del bordo di \(A\) sono tutti e soli i punti che soddisfano il vincolo \(x^2+y^2+z^2-66=0\), hai naturalmente un problema di estremo vincolato. Questo problema lo puoi attaccare con Lagrange, ma puoi anche scegliere altre vie (ad esempio la via grafica, o la parametrizzazione del bordo -che ti consente di ricondurre il problema vincolato ad un problema libero in due variabili-).
Alla fine, metti insieme tutti i massimi e scegli il più grande, metti insieme tutti i minimi e scegli il più piccolo; in tal modo ottieni gli estremi assoluti di \(f\) in \(A\).
Nel tuo caso, comincia a notare che \(A\), essendo una palla chiusa di centro \(o\) e raggio \(\sqrt{66}\), è compatto e perciò la funzione continua \(f\) ha estremi assoluti in \(A\) (per Weierstrass); inoltre, dato che \(A\) è connesso, la funzione continua \(f\) trasforma \(A\) in un connesso di \(\mathbb{R}\), cioé in un intervallo.
Pertanto \(f(A)\) è un intervallo chiuso e limitato dell'asse reale.
Per determinare l'intervallo \(f(A)\) basta perciò determinarne gli estremi: chiaramente, tali estremi sono i due numeri \(\min_A f\) e \(\max_A f\), ossia il minimo ed il massimo assoluti di \(f\) in \(A\).
Pertanto, per rispondere al quesito basta determinare gli estremi assoluti di \(f\).
Per fare ciò, prima guardi cosa succede all'interno di \(A\) con le usuali tecniche del Calcolo Differenziale (quindi, fai l'analisi dei punti critici con l'Hessiano o altra tecnica): come si dice in gergo, risolvi un problema di estremo libero.
Dopo però devi anche guardare cosa succede sul bordo di \(A\) (infatti \(A\) è una palla chiusa, dunque devi tener conto anche dei punti del bordo!); dato che i punti del bordo di \(A\) sono tutti e soli i punti che soddisfano il vincolo \(x^2+y^2+z^2-66=0\), hai naturalmente un problema di estremo vincolato. Questo problema lo puoi attaccare con Lagrange, ma puoi anche scegliere altre vie (ad esempio la via grafica, o la parametrizzazione del bordo -che ti consente di ricondurre il problema vincolato ad un problema libero in due variabili-).
Alla fine, metti insieme tutti i massimi e scegli il più grande, metti insieme tutti i minimi e scegli il più piccolo; in tal modo ottieni gli estremi assoluti di \(f\) in \(A\).
"gugo82":
inoltre, dato che \(A\) è connesso, la funzione continua \(f\) trasforma \(A\) in un connesso di \(\mathbb{R}\), cioé in un intervallo.
Dovrò andarmi a vedere cosa sono i connessi allora, dato che non li abbiamo fatti. Dal libro testo, capisco che significa qualcosa del tipo "senza buchi"?
"gugo82":
ad esempio la via grafica, o la parametrizzazione del bordo -che ti consente di ricondurre il problema vincolato ad un problema libero in due variabili-
Non conosco gli altri due metodi e non mi sembra di averli visti sui libri di testo che ho (Giusti Analisi II e Bramanti-Salsa?). Quello grafico non capisco come sia possibile utilizzarlo... immagino si debba disegnare la funzione ma come si fa a disegnarne una in tre variabili?
Grazie mille dell'aiuto!
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