Metodo alternativo per trovare max e min in 2 variabili

[ludwigZero]

Ho questa funzione:
$f(x,y)= ( xy/(1+x^2 +y^2))$

per lo studio di max e min, il libro usa un altro metodo, cioè non calcola l'hessiano come matrice, ma fa lo studio del segno della funzione per dire se il punto critico trovato $(0,0)$ è di sella.
Io sto facendo invece l'hessiano, ma il calcolo delle derivate seconde e miste, sono davvero insidiose (a volte mi dimentico un segno e mi sballa tutta la derivata).
Quindi a meno che non sia un caso semplice (vedasi polinomi o funzioni trigonometriche), le fratte come questa posso studiarle direttamente con lo studio del segno? In tal modo non devo più prendere di riferimento alcuna hessiana, e vedere 'dove' si trova il punto critico nel grafico?

lo studio che ha fatto lui credo sia:
$ xy/(1+x^2 +y^2) >0$
da cui:
$xy >0$ e $1+x^2 +y^2>0$
e
$xy <0$ e $1+x^2 +y^2<0$

vi trovate?

[walter891]

in questo caso si vede subito che il denominatore è sempre positivo quindi ti basta studiare il numeratore

[Raptorista1]

Fuori da questo caso, lo studio del segno funziona se il tuo punto critico ha quota zero, altrimenti non ti dà alcuna informazione.

Certo, la natura di un punto critico non cambia se tu trasli in verticale il grafico della funzione... Ma bisogna vedere di caso in caso se poi vale ancora la pena studiare il segno!

[ludwigZero]

in effetti formalmente avrei dovuto scrivere di studiare il segno di:
$delta f = f(x,y) - f(0,0)$
per essere punto di sella in un intorno di $(0,0)$ cambia il segno: da $+$ a $-$