Metodo ad hoc e problema di Cauchy
Facendo un pò di esercizi mi sono accorto di non avere ben capito il metodo " ad hoc" per trovare una soluzione particolare di una equazione differenziale completa.
Per esempio: se voglio risolvere l'equazione $ (y)^(1) = -1/sqrt(x) y +1 $ con il metodo ad hoc ( con la formula risolutiva è facile) procedo così:
la soluzione dell'equazione omogenea associata si trova facilmente ed è $ Ce^{-2sqrt(x) } $. A questo puno resta da determinare una soluzione particolare $ k $ perchè poi l'integrale generale dell'equazione sarà $ y(x)= Ce^{-2sqrt(x) } + k $
ora la soluzione particolare che mi aspetto è di tipo costante $ y=c $, perchè il termine noto è 1=costante, perciò derivando e imponendola soluzione ottengo : $ (c)^1=0=-1/sqrt(x) c +1 $ da cui $ c=sqrt(x) $ . L'integrale particolare che ottengo è $ y(x)=Ce^{-2sqrt(x) } +sqrt(x) $ ; che è sbagliato perchè con la formula risolutiva ( e dai risultati sul libro) l'integrale generale è $ y(x)=Ce^{-2sqrt(x) } +sqrt(x) -1/2 $ .
Probabilmente quello che sbaglio è a considerare la soluzione particolare uguale a una costante...
Ho un problema simile con questo problema di Cauchy, in cui non riesco a trovare una soluzione particolare :
$ { ( y^1=2y+x-1+xsinx ),( y(1)=0 ):} $
allora, prima di affrontare il problema di cauchy devo determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione $ y^1=2y+x-1+xsinx $ , cioè devo trovare una soluzione dell'equazione omogenea associata e una soluzione particolare $ k $ per poi poter scrivere $ y(x)= Ce^{2x} +k $ . Ora la parte complessa è trovare $ k $ . Procedo sfruttando la linearità dell'equazione, cioè $ k=t+v $ , dove t è soluzione particolare di $ y^1=2y +x-1 $ e v è soluzione particolare di $ y^1=2y+xsin x $ ....
ora t si trova facilmente, invece per v non riesco a scrivere una forma ad hoc . Ho provato con $ v=axsin x+bsin x+cxcos x $ ma al momento di determinare a b e c imponendo v come soluzione di $ y^1=2y+xsin x $ ottengo un sistema impossibile.
Qualcuno sa suggerirmi un procedimento più semplice e soprattutto mi può spiegare bene come sceglire la soluzione particolare del metodo ad hoc ?
Per esempio: se voglio risolvere l'equazione $ (y)^(1) = -1/sqrt(x) y +1 $ con il metodo ad hoc ( con la formula risolutiva è facile) procedo così:
la soluzione dell'equazione omogenea associata si trova facilmente ed è $ Ce^{-2sqrt(x) } $. A questo puno resta da determinare una soluzione particolare $ k $ perchè poi l'integrale generale dell'equazione sarà $ y(x)= Ce^{-2sqrt(x) } + k $
ora la soluzione particolare che mi aspetto è di tipo costante $ y=c $, perchè il termine noto è 1=costante, perciò derivando e imponendola soluzione ottengo : $ (c)^1=0=-1/sqrt(x) c +1 $ da cui $ c=sqrt(x) $ . L'integrale particolare che ottengo è $ y(x)=Ce^{-2sqrt(x) } +sqrt(x) $ ; che è sbagliato perchè con la formula risolutiva ( e dai risultati sul libro) l'integrale generale è $ y(x)=Ce^{-2sqrt(x) } +sqrt(x) -1/2 $ .
Probabilmente quello che sbaglio è a considerare la soluzione particolare uguale a una costante...
Ho un problema simile con questo problema di Cauchy, in cui non riesco a trovare una soluzione particolare :
$ { ( y^1=2y+x-1+xsinx ),( y(1)=0 ):} $
allora, prima di affrontare il problema di cauchy devo determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione $ y^1=2y+x-1+xsinx $ , cioè devo trovare una soluzione dell'equazione omogenea associata e una soluzione particolare $ k $ per poi poter scrivere $ y(x)= Ce^{2x} +k $ . Ora la parte complessa è trovare $ k $ . Procedo sfruttando la linearità dell'equazione, cioè $ k=t+v $ , dove t è soluzione particolare di $ y^1=2y +x-1 $ e v è soluzione particolare di $ y^1=2y+xsin x $ ....
ora t si trova facilmente, invece per v non riesco a scrivere una forma ad hoc . Ho provato con $ v=axsin x+bsin x+cxcos x $ ma al momento di determinare a b e c imponendo v come soluzione di $ y^1=2y+xsin x $ ottengo un sistema impossibile.
Qualcuno sa suggerirmi un procedimento più semplice e soprattutto mi può spiegare bene come sceglire la soluzione particolare del metodo ad hoc ?
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