[METODI] Proprietà della somma dei residui

[eskevile89]

MessaggioInviato: Lun 18 Mar, 2013 - 17:01 Oggetto: [ESERCIZI] Proprietà della somma dei residui! Rispondi citando
Salve ragazzi, facendo un paio di esercizi di esame sulla zeta trasformata è capitato che non mi trovassi con le condizioni iniziali e che, verificando il risultato su wolfram, comparisse magicamente un gradino nel risultato.
A questi link spiega perché:
http://www.hensemberger.it/~docenti/sha ... iluppo.pdf
http://www.noidelweb.it/universit%C3%A0 ... f_zeta.pdf <--(residuo B)

Praticamente:
1)se il grado del denominatore supera quello del numeratore solamente
di una unità, la somma dei residui è pari al rapporto tra i coefficienti di grado massimo.
2)
se il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore per
più di una unità, la somma dei residui è nulla.

Volevo sapere se qualcuno mi sa spiegare il perché, è una questione di convergenza dell'integrale?
Grazie.

[gugo82]

Porta un esempio, please.

[eskevile89]

Ti metto direttamente l'antitrasformata (esercizio vecchio):
$Z^-1[(8z^3-12z^2-6z-3)/(z^2*(z-2)*(z^2+4z+8))]$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Z% ... 8%29%29%5D
Praticamente:
-per n=0,1; x(n)=0
-per n=2; x(n)=8
-per n>2 x(n)=....

Come sempre grazie gugo

[gugo82]

Al momento non ho tempo per scrivere una risposta sensata, ma mi viene da pensare che tutto sia legato al comportamento della funzione antitrasformanda in \(\infty\) (ed al residuo all'infinito) via il terzo teorema dei residui... Prova un po' a vedere se c'è qualche legame.

[eskevile89]

L'unica cosa con cui è collegato quell'integrale, è il teorema dei residui e non ci sono particolari restrizioni sulla funzione f(z) a parte quella di ammettere solo singolarità isolate in una circonferenza compresa nella corona circolare in cui converge X(z).