[METODI MATEMATICI] Integrali, residui e funzioni ausiliarie...

[eskevile89]

Salve ragazzi, sono un nuovo iscritto, perdonatemi se ho sbagliato sezione, ho alcuni dubbi su questo argomento che vorrei chiarire con voi, sperando che mi possiate dare una mano.
Io ho questo integrale:

$int_(-oo)^(+oo) cosx/(x*(x^2+jx+2))dx$

a quanto ho capito, in questo caso non potrei utilizzare la funzione ausiliaria (o forse la potrei utilizzare ma non sarebbe così diretto trovarla):
$Re{int_(-oo)^(+oo)e^(jz)/(z*(z^2 + jz + 2)) dz}$

perché ho un polinomio a coefficienti complessi al denominatore, infatti ho verificato e mi trovo.

In realtà per questo tipo di integrali, non ho mai usato questa tecnica di Re{} o Imm{} ma ho sempre tranquillamente scomposto il seno o il coseno di turno, nell'integrale, tramite eulero, per poi applicare i lemmi di jordan. Il problema è che non so se questa cosa è formalmente corretta, cioè ho letto in giro che comunque dovrei usare una funzione ausiliaria con in pratica x al posto di z, qualcuno ne sa di più?

Ad esempio in questo esercizio ho fatto:

$int_(-oo)^(+oo) cosx/(x*(x^2+jx+2))dx = 1/2*int_(-oo)^(+oo) e^(jx)/(x*(x^2+jx+2))dx + 1/2*int_(-oo)^(+oo) e^(-jx)/(x*(x^2+jx+2))dx$
E' formalmente corretto? Cioè dovrei dire che considero una funzione ausiliaria?
Grazie.

[gugo82]

Ok per la scomposizione con Eulero.

Essa ti suggerisce che devi calcolare i due integrali che figurano a secondo membro separatamente; inoltre, ti dà anche le due funzioni ausiliarie, i.e.:
\[
f(z) := \frac{e^{\jmath\ z}}{z\ (z^2+\jmath\ z+2)} \qquad \text{e} \qquad g(z):= \frac{e^{-\jmath\ z}}{z\ (z^2+\jmath\ z+2)}\; .
\]
L'unica cosa da fare è scegliere i cammini d'integrazione in maniera adeguata, il che si può fare come suggerito qui.


[size=55]Però, mi domando e dico... Non si scoccia di proporre sempre gli stessi esercizi?[/size]

[eskevile89]

Grazie mille per la disponibilità gugo, eh sì sono sempre gli stessi esercizi più o meno, queste sono prove vecchie. L'integrale del link lo avrei svolto anche io così.
Ti volevo fare alcune domande per chiarire definitivamente:
1) Ti trovi che quando ci sono polinomi a coefficienti complessi al denominatore è sconsigliabile applicare la tecnica di Re{} o Imm{}, in quanto non immediata?
2) Quello che non riesco a capire, che è anche lo scopo diretto del mio topic, è perché bisogna utilizzare le funzioni ausiliarie, non posso svolgerlo direttamente? L'utilizzo della funzione ausiliaria l'ho capito quando ci serviamo della tecnica Re{} o Imm{} oppure quando abbiamo un integrale in R e quindi andiamo a considerare l'estensione in C della funzione integranda, ma qui non dovremmo essere già in C, che senso ha fare praticamente questo cambio di variabile? Spero di non aver detto cavolate.
3) Puoi vedere se ti trovi:
Sia $f1= e^(jx)/(x*(x^2+jx+2)) $ e $f2=e^(-jx)/(x*(x^2+jx+2))$
$int_(-oo)^(+oo) cosx/(x*(x^2+jx+2))dx = 1/2*int_(-oo)^(+oo) e^(jx)/(x*(x^2+jx+2))dx + 1/2*int_(-oo)^(+oo) e^(-jx)/(x*(x^2+jx+2))dx= $
$= 1/2 *2pij[Res_f1(j)+1/2*Res_f1(0)] -1/2* 2pij[Res_f2(-2j)+1/2*Res_f2(0)]=$
$=pij(-1/(3e)+1/4) -pij(-1/(6e)^2+1/4)$

Grazie.

[eskevile89]

Nessuno sa dirmi se sbaglio?

[gugo82]

Osserva preliminarmente che l'integrale è da intendersi nel senso del valore principale, poiché il tuo integrando non è sommabile in \(0\) (mentre lo è in \(\pm \infty\)).
Poi, hai stabilito che:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x\ (x^2+\jmath\ x+2)}\ \text{d} x = \frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{\jmath\ x}}{x\ (x^2+\jmath\ x+2)}\ \text{d} x + \frac{1}{2}\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\jmath\ x}}{x\ (x^2+\jmath\ x+2)}\ \text{d} x
\]
sicché ti basta calcolare i due integrali a destra.

Faccio il secondo, perché il primo si fa in maniera analoga.

Dato che:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\jmath\ x}}{x\ (x^2+\jmath\ x+2)}\ \text{d} x = \lim_{r\to 0^+, R\to \infty} \left( \int_{-R}^{-r} +\int_r^R\right) \frac{e^{-\jmath\ x}}{x\ (x^2+\jmath\ x+2)}\ \text{d} x
\]
è chiaro che bisogna scegliere come funzione complessa ausiliaria la:
\[
g(z) := \frac{e^{-\jmath\ z}}{z\ (z^2+\jmath\ z+2)}
\]
e come percorso di integrazione un circuito che comprenda i segmenti \([-R,-r]\) e \([r,R]\) dell'asse reale e che delimiti una regione in cadano alcune singolarità isolate di \(g\).
Dato che le uniche singolarità isolate di \(g\) sono \(0\), \(\jmath\) e \(-2\jmath\) (tutti poli del primo ordine), una scelta naturale per il circuito \(\partial \Omega (r;R)\) sembra essere un semianello delimitato dai suddetti segmenti e due semicirconferenze \(\gamma(r)\) e \(\Gamma (R)\) di centro \(0\) e raggi \(0 Dato che l'idea è quella di applicare i lemmi di Jordan sugli archi \(\Gamma (R)\) e \(\gamma (r)\), il semipiano in cui prendere tali semicirconferenze va scelto in modo da soddisfare le ipotesi dei lemmi.
Dato che:
\[
\begin{split}
|z\ g(z)| &= \left| z\ \frac{e^{-\jmath\ z}}{z\ (z^2+\jmath\ z+2)}\right|
&= \left| \frac{z}{z\ (z^2+\jmath\ z+2)}\right|\ e^{\operatorname{Im} (z)}
\end{split}
\]
è chiaro che per soddisfare il lemma dell'arco grande bisogna scegliere di far variare \(z\) nel semipiano \(\operatorname{Im} (z)<0\); pertanto \(\Gamma (R)\) è la semicirconferenza nel semipiano delle parti immaginarie negative.
D'altra parte, la precedente implica che si può prendere come \(\gamma (r)\) la semicirconferenza nello stesso semipiano di \(\Gamma (R)\).
Ne consegue che la regione d'integrazione delimitata dal cammino è quella in figura.
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([-0.25,0],[0.25,0],0.25); line([0.25,0],[4,0]); arc([-4,0],[4,0],4); line([-4,0],[-0.25,0]);[/asvg]
Usando il Teorema dei Residui si trova:
\[
\int_{+\partial \Omega(r;R)} g(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \jmath\ \operatorname{Res} (g;-2\jmath)
\]
ossia:
\[
\begin{split}
\int_{+\partial \Omega(r;R)} g(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \jmath\ \lim_{z\to -2\jmath} (z+2\jmath)\ g(z)\\
&= 2\pi\ \jmath\ \lim_{z\to -2\jmath} \cancel{(z+2\jmath)}\ \frac{e^{-\jmath\ z}}{z\ (z-\jmath)\ \cancel{(z+2\jmath)}}\\
&= 2\pi\ \jmath\ \lim_{z\to -2\jmath} \frac{e^{-\jmath\ z}}{z\ (z-\jmath)}\\
&= 2\pi\ \jmath\ \frac{e^{-2}}{(-2\jmath)\ (-3\jmath)}\\
&= -\pi\ \frac{e^{-2}}{3}\ \jmath\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\lim_{r\to 0^+,R\to \infty} \int_{+\partial \Omega(r;R)} g(z)\ \text{d} z = -\pi\ \frac{e^{-2}}{3}\ \jmath\; .
\]
Però, per i lemmi di Jordan, è:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+,R\to \infty} \int_{+\partial \Omega(r;R)} g(z)\ \text{d} z &= \lim_{r\to 0^+,R\to \infty} \left( \int_{-R}^{-r} + \int_{+\gamma(r)} + \int_r^R - \int_{+\Gamma (R)}\right) g(z)\ \text{d} z\\
&= \int_{-\infty}^\infty g(x)\ \text{d} x + \pi\ \jmath\ \lim_{z\to 0} z\ g(z) \\
&= \int_{-\infty}^\infty g(x)\ \text{d} x + \pi\ \jmath\ \lim_{z\to 0} \frac{e^{-\jmath\ z}}{z^2+\jmath\ z +2} \\
&= \int_{-\infty}^\infty g(x)\ \text{d} x + \frac{\pi}{2}\ \jmath \\
\end{split}
\]
quindi:
\[
\int_{-\infty}^\infty g(x)\ \text{d} x = -\left( \frac{\pi}{2} +\pi\ \frac{1}{3e^2}\right)\ \jmath\; ,
\]
a meno di errori di conto.