Metodi Matematici Esercizio Esame

[marcoM1]

Salve ragazzi, l'altro giorno sono andato a fare l'esame di Metodi Matematici, e il prof ha dato come primo un integrale andandolo risolverlo facendo uso del teorema dei residui.

$ int_(partialD)(jz^2+pi)/((e^(2z^(2))+ 2e^(z^(2))+1)(z^2+1)) dz $

dove D è il rettangolo di vertici (-3/2,0),(-3/2,3/2),(3/2,0),(3/2,3/2)

Sono andato a studiare gli zeri del denominatore
$(e^(2z^(2))+ 2e^(z^(2))+1)=0 rArr $ Vado a Sostituire $ [e^(z^(2))=t] rArr t^2+2t+1=0 rArr(t+1)^2=0 rArr t=-1$
Perciò
$t=-1 rArr [e^(z^(2))=-1] rArr $ Passo al log, ma il log (-1) è Impossibile

$(z^2+1)=0 rArr z=+-j $ Poli Semplici

Poi sono andato a studiare residui nei punti $+-j$
Voi come avreste risolto l'esercizio? Grazie in anticipo

[Pierlu11]

Per risolvere $e^(z^2)=-1$ nel campo complesso devi usare il logaritmo complesso quindi non è vero che non ha soluzioni.

[marcoM1]

Leggendo su wikipedia, posso applicare l'identità di Eulero, $ e^(jpi)=-1 $

perciò andando a sostituire $-1= e^(jpi)=$ avrei $ e^(z^(2)) =e^(jpi) $ applicando il log mi troverei $ z^2=jpi $ ovvero $ z=+-sqrt(jpi) $

giusto?

[pasquyx]

Possiamo riscrivere l'integrale nel seguente modo

$\int_{+\partial D } f(z)dz=\int_{+\partial D } \frac{jz^2 + \pi}{(e^{z^2}+1)^2 (z^2+1)} dz$

Affinchè la singolarità risulti all'interno del rettangolo deve succedere che:

$-\frac{3}{2}<= Re(z) <=\frac{3}{2} $ e $0<=Im(z)<= \frac{3}{2}$

Studio gli zeri del Denominatore

$z^2+1=0 \Rightarrow z_0 = j \in D ; z_1=-j \notin D \Rightarrow $ [$z_0$ zero di ordine 1]

$(e^{2z^2}+2e^{z^2}+1)=0 \Rightarrow (e^{z^2}+1)^2 =0$

$e^{z^2}+1=0 \Rightarrow e^{z^2}=-1 \Rightarrow e^{z^2}=e^{j(\pi + 2 n \pi)} $ con $n \in \mathbb{Z}$



$z^2= j(\pi + 2 n \pi) \Rightarrow z=\sqrt{j\pi + 2 n \pi j}$

Adesso dobbiamo studiare al variare di $n$ tutte le possibili radici

$n=-2 \Rightarrow z=\sqrt{-3\pi j} \Rightarrow |-3\pi j| = 3 \pi \Rightarrow \sqrt{3\pi} \Rightarrow z=\sqrt{-3\pi j} \notin D$
il modulo $\sqrt{3\pi}$ è tale che da inscrivere l'intero rettangolo quindi non le considero.

$n=-1 \Rightarrow z=\sqrt{-\pi j} \Rightarrow z_{k+2}=\sqrt{\pi} e^{j(\frac{-\pi/2 + 2k \pi}{2})} \quad k=0,1$

$z_2 = \sqrt{\pi} e^{j -\frac{\pi}{4}} \notin D$

$z_3 = \sqrt{\pi} e^{j 3 \frac{\pi}{4}}=\sqrt{\pi}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}j) \in D $

$\Rightarrow $ [$z_3$ zero di ordine 2]

$n=0 \Rightarrow z=\sqrt{j \pi} \Rightarrow z_{k+4}=\sqrt{\pi} e^{j(\frac{\pi/2 + 2k \pi}{2})} \quad k=0,1 $

$z_4 = \sqrt{\pi} e^{j \frac{\pi}{4}}=\sqrt{\pi}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}j)\in D$

$z_5 = \sqrt{\pi} e^{j(5 \frac{\pi}{4})} \notin D$

$n=1 \Rightarrow z=\sqrt{3 \pi j} \Rightarrow |3 \pi j| = 3 \pi \Rightarrow z=\sqrt{3 \pi j} \notin D$
$\Rightarrow $ [ $z_4$ zero di ordine 2]

Studio gli zeri del Numeratore

$j z^2 + \pi = 0 \Rightarrow jz^2 - jj\pi=0 \Rightarrow j(z^2 - j \pi)=0$



$z^2 - j \pi =0 \Rightarrow z=\sqrt{j \pi} \Rightarrow z_6=z_4 \in D ; z_7=z_5 \notin D$

$\Rightarrow $ [$z_6$ zero di ordine 1]

In definitiva



$z_0$ polo semplice per $f(z)$
$z_3$ polo di ordine 2 per $f(z)$
$z_4=z_6$ polo di ordine $(2-1)=1 \Rightarrow$ polo semplice per $f(z)$

Dunque

$\int_{+\partial D } f(z)dz = 2\pi j ( Res(f(z),z_0)+Res(f(z),z_3)+Res(f(z),z_4))$

$\int_{+\partial D } f(z)dz= 2 \pi j (-\frac{i e^2 (\pi -j)}{2 (1+e)^2}-\frac{(1-j) \sqrt{\frac{\pi }{2}} (\pi +2 j)}{(\pi +j)^2}-\frac{(-1)^{3/4}}{2 \sqrt{\pi } (\pi -j)})$

Nel caso riuscissi a risolvere il $Res(f(z),z_3)$ mi faresti un grande favore .

[Pierlu11]

E' vero che $e^(ipi)=-1$ ma non è solo quella la soluzione... un metodo per risolverlo che non toglie soluzioni è il seguente.
$ e^(z^2)=-1 $ ;
$ z^2=log^CC(-1)=log|-1|+iarg(-1)=i(pi+2pik)=ipi(2k+1) $ con $ kinZZ $
Allora $ z_(1,2) $ sono le radici quadrate di $ ipi(2k+1) $ $ AAkinZZ $ fissato.

Le radici vanno estratte con la formula appropriata perché scrivere $ +-sqrt(ipi) $ non vuol dire nulla...