Media intagrale di sign(x)
La domanda è "Calcolare la media integrale di $sign(x)$ calcolata fra -1 e 1"
Dobbiamo quindi calcolare $(int_{-1}^{1}sign(x))/2$
Era una domanda dell'esame che ho fatto oggi ... non voglio dirvi la mia opinione per evitare di influenzarvi, vorrei sapere cosa ne pensate voi se possibile .... poi sicuramente dirò la mia.
Grazie
Dobbiamo quindi calcolare $(int_{-1}^{1}sign(x))/2$
Era una domanda dell'esame che ho fatto oggi ... non voglio dirvi la mia opinione per evitare di influenzarvi, vorrei sapere cosa ne pensate voi se possibile .... poi sicuramente dirò la mia.
Grazie
Risposte
Non sembra proibitiva come domanda.
$"sign"(x)$ è una funzione dispari, quindi quella media è nulla.
$"sign"(x)$ è una funzione dispari, quindi quella media è nulla.
Ma $sign(x)$ non è continua in quell'intervallo, il teorema della media integrale ha fra le ipotesi che la funzione che si sta integrando sia continua no?
EDIT: oltre al Pagani-Salsa sul quale ho studiato (pag. 265), anche su wikipedia ho trovato che la funzione che si sta integrando deve essere continua
EDIT: oltre al Pagani-Salsa sul quale ho studiato (pag. 265), anche su wikipedia ho trovato che la funzione che si sta integrando deve essere continua
Tu hai chiesto il calcolo di quella media integrale o no?
Quella media integrale fa indubbiamente $0$.
Quanto poi all'enunciato del teorema della media integrale, ne esistono (almeno) due forme: una generale per le funzioni integrabili, e una più specifica che riguarda le funzioni continue.
Quella media integrale fa indubbiamente $0$.
Quanto poi all'enunciato del teorema della media integrale, ne esistono (almeno) due forme: una generale per le funzioni integrabili, e una più specifica che riguarda le funzioni continue.
"Rigel":
Tu hai chiesto il calcolo di quella media integrale o no?
Quella media integrale fa indubbiamente $0$.
Scusa ma non capisco. Io di solito prima verifico se le ipotesi di un teorema sono soddisfatte, e se lo sono lo applico.
Quanto poi all'enunciato del teorema della media integrale, ne esistono (almeno) due forme: una generale per le funzioni integrabili, e una più specifica che riguarda le funzioni continue.
Uhm .... io sul mio testo ho la definizione di media integrale per le funzioni continue, la cui dimostrazione fa uso del teorema di Weierstrass (che vale per le funzioni continue). Per questo ero convinto che questo teorema potesse essere applicato solo in questo caso. Ho cercato su wikipedia, enunciato identico e dimostrazione molto simile. Non è che potresti/potreste darmi un riferimento su dove trovare una definizione (e magari pure la dimostrazione) per funzioni integrabili?
"raffamaiden":
Dobbiamo quindi calcolare $(int_{-1}^{1}sign(x))/2$
Non mi pare che calcolare quell'integrale sia impossibile... Dunque qual è il problema?
"raffamaiden":
"Calcolare la media integrale della funzione $"sign"(x)$ fra $-1$ e $1$."
"raffamaiden":
(megacut)
Scusa ma non capisco. Io di solito prima verifico se le ipotesi di un teorema sono soddisfatte, e se lo sono lo applico.
Fai bene a vedere se sono soddisfatte le ipotesi di un teorema prima di applicarlo, ma non vedo cosa questo c'entri con la domanda.
Per rispondere a quella domanda non c'è bisogno di alcun teorema (basta la definizione di integrale).
"gugo82":
[quote="raffamaiden"]Dobbiamo quindi calcolare $(int_{-1}^{1}sign(x))/2$
Non mi pare che calcolare quell'integrale sia impossibile... Dunque qual è il problema?[/quote]
Perdona l'ignoranza, ma le versioni dei teoremi della media integrale e del teorema fondamentale del calcolo integrale in mio possesso hanno fra le ipotesi che la funzione sia continua nell'intervallo chiuso sul quale si sta integrando. E c'è pure scritto che "si può mostrare che se una funzione presenta punti di discontinuità a salto in un intervallo $[a,b]$ allora non può avere primitiva". La primitiva di $sign(x)$ qual'è?
Innanzitutto, la media integrale della funzione [tex]$f(x)$[/tex] integrabile (non c'è bisogno sia continua) in [tex]$[a,b]$[/tex] è il rapporto:
[tex]$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\ \text{d} x$[/tex];
il teorema della media ti dice che è possibile, in alcuni casi, rappresentare tale media con uno dei valori presi da [tex]$f(x)$[/tex] (nel caso [tex]$f(x)$[/tex] sia continua) o, in generale, con un valore [tex]$\lambda \in [\inf f, \sup f]$[/tex] (facendo cadere l'ipotesi di continuità).
Inoltre, sai che l'integrale [tex]\int_a^b f(x)\ \text{d} x[/tex] rappresenta l'area "con segno" della regione di piano compresa tra il grafico della [tex]$f(x)$[/tex] e l'asse delle ascisse.
Quindi, anche non conoscendo esplicitamente una primitiva di [tex]$f(x)$[/tex], in alcuni casi semplici il valore dell'integrale si può riuscire a trovare.
D'altra parte, il calcolo esplicito di una primitiva di [tex]$f(x)=\text{sign} x$[/tex] non è nemmeno troppo proibitivo: infatti basta considerare la funzione [tex]F(x):=\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t[/tex] (che è definita ovunque in [tex]$[-1,1]$[/tex], pur non essendo derivabile in [tex]$0$[/tex]) e facendo un po' di conti si scopre che questa è una funzione notissima.
[tex]$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\ \text{d} x$[/tex];
il teorema della media ti dice che è possibile, in alcuni casi, rappresentare tale media con uno dei valori presi da [tex]$f(x)$[/tex] (nel caso [tex]$f(x)$[/tex] sia continua) o, in generale, con un valore [tex]$\lambda \in [\inf f, \sup f]$[/tex] (facendo cadere l'ipotesi di continuità).
Inoltre, sai che l'integrale [tex]\int_a^b f(x)\ \text{d} x[/tex] rappresenta l'area "con segno" della regione di piano compresa tra il grafico della [tex]$f(x)$[/tex] e l'asse delle ascisse.
Quindi, anche non conoscendo esplicitamente una primitiva di [tex]$f(x)$[/tex], in alcuni casi semplici il valore dell'integrale si può riuscire a trovare.
D'altra parte, il calcolo esplicito di una primitiva di [tex]$f(x)=\text{sign} x$[/tex] non è nemmeno troppo proibitivo: infatti basta considerare la funzione [tex]F(x):=\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t[/tex] (che è definita ovunque in [tex]$[-1,1]$[/tex], pur non essendo derivabile in [tex]$0$[/tex]) e facendo un po' di conti si scopre che questa è una funzione notissima.
"gugo82":
Innanzitutto, la media integrale della funzione [tex]$f(x)$[/tex] integrabile (non c'è bisogno sia continua) in [tex]$[a,b]$[/tex] è il rapporto:
il teorema della media ti dice che è possibile, in alcuni casi, rappresentare tale media con uno dei valori presi da [tex]$f(x)$[/tex] (nel caso [tex]$f(x)$[/tex] sia continua) o, in generale, con un valore [tex]$\lambda \in [\inf f, \sup f]$[/tex] (facendo cadere l'ipotesi di continuità).
Quindi la media integrale è il numero dato da [tex]$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\ \text{d} x$[/tex], mentre il teorema della media mi dice che se la funzione è continua quel numero appartiene all'imagine della funzione, cioè esiste un $c$ tale che $f(c) = "media integrale"$, mentre se la funzione non è continua allora il teorema della media mi dice che quel numero (ovviamente) è compreso tra [tex]\inf f[/tex] e [tex]\sup f[/tex], ma anche in questo caso il numero potrebbe appartenere all'immagine della funzione (come nel caso in esame, dove $sign(0) = 0$), ma non è detto che lo sia.
D'altra parte, il calcolo esplicito di una primitiva di [tex]$f(x)=\text{sign} x$[/tex] non è nemmeno troppo proibitivo: infatti basta considerare la funzione [tex]F(x):=\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t[/tex] (che è definita ovunque in [tex]$[-1,1]$[/tex], pur non essendo derivabile in [tex]$0$[/tex]) e facendo un po' di conti si scopre che questa è una funzione notissima.
Scusa ma ancora non riesco a capire qual'è la primitiva di $sign(x)$. $x$ non è di certo, perchè la sua derivata è $1$ ma $sign(x)$ per $x<0$ equivale a $-1$, stesso discorso per $-x$ e $0$. Non capisco, a partire dalla funzione che hai scritto, quali calcoli debba fare per arrivare alla primitiva. Io quando integro o leggo la tabella delle derivate "al contrario" o applico uno dei metodi che conosco. Per quella funzione non so proprio come fare ...
Non andare troppo nel pallone! Calcola $int_{-1}^1 "sign"(x)dx$ dividendolo in due addendi:
$(int_{-1}^0+int_0^1)"sign"(x)dx$.
La stessa tecnica puoi usare per calcolare una "primitiva" di $"sign"(x)$ come ti consiglia Gugo.
Infine, un'osservazione. Supponiamo di cambiare la definizione di $"sign"$, imponendo che non sia più $"sign"(0)=0$ ma $"sign"(0)="cento miliardi"$. Cosa cambia a livello di media integrale? Proprio nulla: $1/2int_{-1}^1"sign"(x)dx$ continua a fare $0$. Ma attenzione: adesso $0$ non appartiene più all'immagine della funzione! Questo patatrac è successo perché manca la continuità della funzione integranda.
$(int_{-1}^0+int_0^1)"sign"(x)dx$.
La stessa tecnica puoi usare per calcolare una "primitiva" di $"sign"(x)$ come ti consiglia Gugo.
Infine, un'osservazione. Supponiamo di cambiare la definizione di $"sign"$, imponendo che non sia più $"sign"(0)=0$ ma $"sign"(0)="cento miliardi"$. Cosa cambia a livello di media integrale? Proprio nulla: $1/2int_{-1}^1"sign"(x)dx$ continua a fare $0$. Ma attenzione: adesso $0$ non appartiene più all'immagine della funzione! Questo patatrac è successo perché manca la continuità della funzione integranda.
Infatti la funzione $sing(x)$ molti non la ritengono nemmeno definita in $0$.
Ti perdi in un bicchiere d'acqua...
Calcoliamo [tex]\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t[/tex]: distinguendo un po' di casi troviamo:
- se [tex]$-1\leq x<0$[/tex] si ha:
[tex]$\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t =- \int_{-1}^x \text{d} t = -(x+1)=-x-1$[/tex];
- se [tex]$x=0$[/tex] è:
[tex]$\int_{-1}^0 \text{sign} (t)\ \text{d} t =- \int_{-1}^0 \text{d} t = -1$[/tex];
- se [tex]$0
[tex]$\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t = -\int_{-1}^0 \text{d} t +\int_0^x \text{d} t =x-1$[/tex].
Conseguentemente risulta:
[tex]$F(x):=\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t =|x|-1$[/tex].
Comunque, non è possibile che si sappiano svolgere gli esercizi solo se i testi proposti rientrano nei casi "della tabella"... Per risolvere un problema serve capire come si usano i concetti di base, non basta ricordare a memoria qualche nozione elementare.
Calcoliamo [tex]\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t[/tex]: distinguendo un po' di casi troviamo:
- se [tex]$-1\leq x<0$[/tex] si ha:
[tex]$\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t =- \int_{-1}^x \text{d} t = -(x+1)=-x-1$[/tex];
- se [tex]$x=0$[/tex] è:
[tex]$\int_{-1}^0 \text{sign} (t)\ \text{d} t =- \int_{-1}^0 \text{d} t = -1$[/tex];
- se [tex]$0
[tex]$\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t = -\int_{-1}^0 \text{d} t +\int_0^x \text{d} t =x-1$[/tex].
Conseguentemente risulta:
[tex]$F(x):=\int_{-1}^x \text{sign} (t)\ \text{d} t =|x|-1$[/tex].
Comunque, non è possibile che si sappiano svolgere gli esercizi solo se i testi proposti rientrano nei casi "della tabella"... Per risolvere un problema serve capire come si usano i concetti di base, non basta ricordare a memoria qualche nozione elementare.
Ho capito, grazie per la spiegazione, ora ho le idee molto più chiare.
Quindi il mio testo sbaglia quando dice che "se una funzione presenta punti di discontinuità a salto in un intervallo [a,b] allora non può avere primitiva", infatti abbiamo trovato un controesempio, giusto?
Quindi il mio testo sbaglia quando dice che "se una funzione presenta punti di discontinuità a salto in un intervallo [a,b] allora non può avere primitiva", infatti abbiamo trovato un controesempio, giusto?
No, nessun controesempio.
Quella che ho calcolato non è una primitiva, in quanto non è derivabile in [tex]$0$[/tex].
Al massimo può essere interpretata come "primitiva generalizzata", in un certo senso... Ma è difficile da spiegare.
Se il mio post precedente ha generato ambiguità me ne scuso. Non volevo usare primitiva, ma purtroppo mi è uscito così: ogni tanto capita.
Ad ogni modo, non serve calcolare la primitiva per conoscere il valore dell'integrale [tex]\int_a^b f(t)\ \text{d} t[/tex], ma basta esplicitare la funzione integrale [tex]\int_a^x f(t)\ \text{d} t[/tex] (come ho fatto) e calcolarla in [tex]$x=b$[/tex].
Quella che ho calcolato non è una primitiva, in quanto non è derivabile in [tex]$0$[/tex].
Al massimo può essere interpretata come "primitiva generalizzata", in un certo senso... Ma è difficile da spiegare.
Se il mio post precedente ha generato ambiguità me ne scuso. Non volevo usare primitiva, ma purtroppo mi è uscito così: ogni tanto capita.
Ad ogni modo, non serve calcolare la primitiva per conoscere il valore dell'integrale [tex]\int_a^b f(t)\ \text{d} t[/tex], ma basta esplicitare la funzione integrale [tex]\int_a^x f(t)\ \text{d} t[/tex] (come ho fatto) e calcolarla in [tex]$x=b$[/tex].
No, nessun controesempio.
Quella che ho calcolato non è una primitiva, in quanto non è derivabile in .
Ah ecco, mi ero perso questo particolare
Credo di aver capito tutto, ti ringrazio per le spiegazioni
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