Media aritmetica, geometrica ed armonica

[topojo]

ciao a tutti! ho questo problema:

Considerate le funzioni $f(x,y)=(x+y)/2$, $g(x,y)=sqrt(xy)$, $h(x;y)=(2xy)/(x+y)$
Calcolate le derivate parziali delle tre funzioni e provate che se $x$ e $y$ sono due numeri positivi vale la $h(x,y) <= g(x,y) <= f(x,y)$.

ho provato a calcolare le derivate parziali ma poi non so più come procedere!help!

[gugo82]

Beh, la disuguaglianza \(g(x,y)\leq f(x,y)\) è proprio immediata (basta smanettare un po').
Una volta capito come si dimostra, cerca di fare lo stesso con l'altra, cioè \(h(x,y)\leq g(x,y)\).

[Zero87]

"gugo82":Beh, la disuguaglianza \(g(x,y)\leq f(x,y)\) è proprio immediata (basta smanettare un po').

Ti consiglio di elevarle entrambe al quadrato, fare qualche semplificazione e tirare le conclusioni.

Se non erro un ragionamento simile (forse un pizzico più difficile) si può applicare anche per dimostrare $f(x,y)\le h(x,y)$.

[gugo82]

"Zero87":Se non erro un ragionamento simile (forse un pizzico più difficile) si può applicare anche per dimostrare $f(x,y)\le h(x,y)$.

Occhio... La disuguaglianza è quella opposta.

Inoltre, segnalo questo thread in cui mi sono dilettato a dimostrare le disugualianze con le medie usando i moltiplicatori di Lagrange.

[Zero87]

"gugo82":[quote="Zero87"]Se non erro un ragionamento simile (forse un pizzico più difficile) si può applicare anche per dimostrare $f(x,y)\le h(x,y)$.

Occhio... La disuguaglianza è quella opposta.[/quote]

Grazie, non mi ero accorto della svista.