[Meccanica razionale] Integrali primi
A seguito del non superamento del primo esonero meccanica razionale mi è cominciata a stare sui ******, quindi mi affido a chi del forum è pratico con questa materia dato che il mio cervello si rifiuta di apprenderla.
Esercizio 1. Un punto materiale pesante P di massa $m$ `e vincolato senza attrito alla superficie di rotazione d’asse verticale $x_3$ ascendente, descritta in coordinate cartesiane dall’equazione $$x_3 = -\frac{1}{\sqrt{x^2_1 + x^2_2}}$$
Si richiede:
1) Scrivere la lagrangiana del sistema adottando le coordinate polari $(r, \phiϕ)$ nel piano $(x_1,x_2)$ definite da $x_1 = r\cos(\phi)$ϕ, $x_2 =r\sin(\phi)$ϕ.
2) Scrivere il corrispondente sistema di Eulero-Lagrange. 3) Determinare due integrali primi del sistema.
Svolgimento:
1) $\mathcal(L)(r,\phi,\dot(r),\dot(\phi))=\frac{1}{2}m(\dot(r)^2+r^2\dot(\phi^2)+\frac{\dot(r^2)}{r^4})+\frac{mg}{r}$
2) ${(\frac{d}{dt}(m(\dot(r)+\frac{\dot(r)}{r^4}))=m(r\dot(\phi^2)-\frac{2\dot(r^2)}{r^5})-\frac{mg}{r^2}),(\frac{d}{dt}(mr\dot(\phi^2))=0):}$
3) Non riesco a capire cosa siano gli integrali primi, sono funzioni abbastanza liscie tali che bla bla ma in pratica cosa sono? Come li trovo?
Esercizio 1. Un punto materiale pesante P di massa $m$ `e vincolato senza attrito alla superficie di rotazione d’asse verticale $x_3$ ascendente, descritta in coordinate cartesiane dall’equazione $$x_3 = -\frac{1}{\sqrt{x^2_1 + x^2_2}}$$
Si richiede:
1) Scrivere la lagrangiana del sistema adottando le coordinate polari $(r, \phiϕ)$ nel piano $(x_1,x_2)$ definite da $x_1 = r\cos(\phi)$ϕ, $x_2 =r\sin(\phi)$ϕ.
2) Scrivere il corrispondente sistema di Eulero-Lagrange. 3) Determinare due integrali primi del sistema.
Svolgimento:
1) $\mathcal(L)(r,\phi,\dot(r),\dot(\phi))=\frac{1}{2}m(\dot(r)^2+r^2\dot(\phi^2)+\frac{\dot(r^2)}{r^4})+\frac{mg}{r}$
2) ${(\frac{d}{dt}(m(\dot(r)+\frac{\dot(r)}{r^4}))=m(r\dot(\phi^2)-\frac{2\dot(r^2)}{r^5})-\frac{mg}{r^2}),(\frac{d}{dt}(mr\dot(\phi^2))=0):}$
3) Non riesco a capire cosa siano gli integrali primi, sono funzioni abbastanza liscie tali che bla bla ma in pratica cosa sono? Come li trovo?
Risposte
Per gli integrali primi, vedi un po' se questi appunti ti possono servire a qualcosa:
http://www.fioravante.patrone.name/.%5C ... 999_00.pdf
si comincia a parlare di integrali primi a pag 99, ma magari serve dare un'occhiata dall'inizio del cap. 16
Nessuna garanzia "soddisfatti o rimborsati"!
PS: condivido il tuo disamore per MR, anche se nel caso mio mi sa che è dovuto essenzialmente a mia ignoranza (oltre che a come mi venne spiegata mooolto tempo fa)
http://www.fioravante.patrone.name/.%5C ... 999_00.pdf
si comincia a parlare di integrali primi a pag 99, ma magari serve dare un'occhiata dall'inizio del cap. 16
Nessuna garanzia "soddisfatti o rimborsati"!
PS: condivido il tuo disamore per MR, anche se nel caso mio mi sa che è dovuto essenzialmente a mia ignoranza (oltre che a come mi venne spiegata mooolto tempo fa)
Ok gli darò un'occhiata. Grazie mille!
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