McLaurin quando usarlo?
Ciao a tutti, volevo sapere quando posso usare gli sviluppi asintotici di taylor centrati in 0 che praticamente sono di sviluppi di McLaurin.
Cioè, posso adoperarli solo in un limite che tende a 0? o anche in un limite che tende a un $x_0$ o a infinito? posso usarli sempre? o quando non posso usarli?
Cioè, posso adoperarli solo in un limite che tende a 0? o anche in un limite che tende a un $x_0$ o a infinito? posso usarli sempre? o quando non posso usarli?
Risposte
gli sviluppi asintotici sono un altra cosa... questi sono sviluppi in serie di Taylor
Nel calcolo dei limiti devi usare lo sviluppo nello 0 solo se la $xto0$
Nel calcolo dei limiti devi usare lo sviluppo nello 0 solo se la $xto0$
infatti, pensavo anche io. Mi potresti spiegare questo allora?
Nel mio libro c'è un es risolto:
Calcolare al variare di $alpha$ il seguente limite:
$lim_{n->oo) n^(alpha) * (e^(2/n) - 1 - 2/n - 2/(n^2))$
Risoluzione:
da $e^t = 1 + t + t^2/2 + t^3/(3!) + o(t^3)$ si ottiene
$e^(2/n) = 1 + 2/n + 2/(n^2) + 4/(3n^3) + o(1/n^3)$
quindi:
$n^(alpha) * (e^(2/n) - 1 - 2/n - 2/(n^2)) = n^(alpha) * (4/(3n^3) + o(1/n^3))$
$n^(alpha) 4/(3n^3) (1 + 3/4 (o(1/n^3))/(1/(n^3)))$
$ => +oo$ se $alpha>3$
$ => 4/3 $se $alpha=3$
$ => 0$ se $alpha<3$
Nel mio libro c'è un es risolto:
Calcolare al variare di $alpha$ il seguente limite:
$lim_{n->oo) n^(alpha) * (e^(2/n) - 1 - 2/n - 2/(n^2))$
Risoluzione:
da $e^t = 1 + t + t^2/2 + t^3/(3!) + o(t^3)$ si ottiene
$e^(2/n) = 1 + 2/n + 2/(n^2) + 4/(3n^3) + o(1/n^3)$
quindi:
$n^(alpha) * (e^(2/n) - 1 - 2/n - 2/(n^2)) = n^(alpha) * (4/(3n^3) + o(1/n^3))$
$n^(alpha) 4/(3n^3) (1 + 3/4 (o(1/n^3))/(1/(n^3)))$
$ => +oo$ se $alpha>3$
$ => 4/3 $se $alpha=3$
$ => 0$ se $alpha<3$
in questo caso il libro ha fatto uno sviluppo in serie asintotiche...(ovvero hai sviluppato in serie di potenze negative...mentre taylor sviluppa in potenze positive)
questo lo può fare perchè il limite è per $ntoinfty$ e se fai il cambio di variabile ti accorgi che è come lo sviluppo di $e^t$ in 0
(ovviamente non avrebbe potuto farlo se $nto0$ anche perchè la funzione $e^(2/n)$ non è definita in 0)
in generale il trucco nell'utilizzare lo sviluppo in serie è quello di dare una forma approssimata della funzione in un intorno del punto a cui tende la n...
nel nostro caso in un "intorno dell' infinito " la funzione $e^(2/n)$ è approssimata da $1+O(2/n)$
questo lo può fare perchè il limite è per $ntoinfty$ e se fai il cambio di variabile ti accorgi che è come lo sviluppo di $e^t$ in 0
(ovviamente non avrebbe potuto farlo se $nto0$ anche perchè la funzione $e^(2/n)$ non è definita in 0)
in generale il trucco nell'utilizzare lo sviluppo in serie è quello di dare una forma approssimata della funzione in un intorno del punto a cui tende la n...
nel nostro caso in un "intorno dell' infinito " la funzione $e^(2/n)$ è approssimata da $1+O(2/n)$
"Cantaro86":non ho capito nulla.
in questo caso il libro ha fatto uno sviluppo in serie asintotiche...(ovvero hai sviluppato in serie di potenze negative...mentre taylor sviluppa in potenze positive)
questo lo può fare perchè il limite è per $ntoinfty$ e se fai il cambio di variabile ti accorgi che è come lo sviluppo di $e^t$ in 0
(ovviamente non avrebbe potuto farlo se $nto0$ anche perchè la funzione $e^(2/n)$ non è definita in 0)
in generale il trucco nell'utilizzare lo sviluppo in serie è quello di dare una forma approssimata della funzione in un intorno del punto a cui tende la n...
nel nostro caso in un "intorno dell' infinito " la funzione $e^(2/n)$ è approssimata da $1+O(2/n)$
1 - che cambia dagli sviluppi asintotici alla serie di taylor?
2 - quando posso usare uno, quando l'altro?
è un po lungo da spiegare tutto in modo formale... mi sa che è meglio che vai a rivederti queste cose su un libro...
io ti posso dare una risposta breve ed intuitiva...
lo sviluppo in serie di Taylor approssima la funzione in un intorno di un punto, mentre lo sviluppo asintotico ti dice come si comporta la funzione per $xtoinfty$
in altre parole nell'esercizio facendo il cambio di variabile hai potuto fare lo sviluppo di taylor nello 0...(che poi ricambiando le variabili ha preso la forma di uno sviluppo asintotico)
io ti posso dare una risposta breve ed intuitiva...
lo sviluppo in serie di Taylor approssima la funzione in un intorno di un punto, mentre lo sviluppo asintotico ti dice come si comporta la funzione per $xtoinfty$
in altre parole nell'esercizio facendo il cambio di variabile hai potuto fare lo sviluppo di taylor nello 0...(che poi ricambiando le variabili ha preso la forma di uno sviluppo asintotico)
il problema è appunto che nel libro che ho (scritto a mano dal prof) è spiegato come trovare la serie di tayloer di una funzione, c'è la formula e subito dopo c'è un titolo: SVILUPPI ASINTOTICI IMPORTANTI e c'è una lista. nulla di più. per questo chiedevo qui quando e come adoperare ste cose
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