McLaurin di ordine 2 e continuità

[Quinzio]

Se $f(x)$ ammette polinomio di MacLaurin di ordine 2 allora essa è continua in un intorno dello $0$.
MI si chiede di dimostrare che è l'affermazione FALSA attraverso un controesempio.

Non capisco perchè è falsa... se esiste il polinomio di ordine 2 significa che è stata derivata almeno due volte.... come fa a non essere continua ?

[Seneca1]

In effetti...

[Giuly191]

A me pare che la derivabilità due volte nel punto implichi la continuità in un intorno (cosa non vera se fosse stato di ordine 1, la derivabilità una volta non basta). Però sarebbe da dimostrare anche questo, lo so solo per sentito dire.

[Seneca1]

"Giuly19":A me pare che la derivabilità due volte nel punto implichi la continuità in un intorno (cosa non vera se fosse stato di ordine 1, la derivabilità una volta non basta). Però sarebbe da dimostrare anche questo, lo so solo per sentito dire.

Ma allora la stranota dimostrazione del fatto che la derivabilità in un punto implica la continuità nello stesso...?

[Giuly191]

Certo la continuità, ma solo nel punto. Prendi una funzione definita su razionali e irrazionali, definiscila $0$ su uno dei due insiemi e $x^2$ sull'altro. E' continua e derivabile in $0$ ma non è continua in nessun suo intorno.

"Quinzio":Se $f(x)$ ammette polinomio di MacLaurin di ordine 2 allora essa è continua in un intorno dello $0$.

[Seneca1]

Ah, giusto. Avevo letto male.

[Giuly191]

Sarebbe un bell'esercizio dimostrare che se una funzione è derivabile due volte in punto allora è continua in un suo intorno. (Ammesso che sia vero). Fatto questo però ci sarebbe qualche problema con quello di Quinzio.

[Giuly191]

"Giuly19":..se una funzione è derivabile due volte in punto allora è continua in un suo intorno. (Ammesso che sia vero).

Giusto per la cronaca, oggi mi sono convinto che è vero. Non è nemmeno difficile da far vedere.
Il punto è che secondo me l'esercizio di Quinzio non si può fare.

[Paolo902]

"Giuly19":[quote="Giuly19"]..se una funzione è derivabile due volte in punto allora è continua in un suo intorno. (Ammesso che sia vero).

Giusto per la cronaca, oggi mi sono convinto che è vero. Non è nemmeno difficile da far vedere.[/quote]

Posso chiederti come l'hai dimostrato? Sono ancora un po' scettico a riguardo, non riesco a convincermene del tutto né a dimostrarlo in maniera pulita.

Grazie.

[Giuly191]

Alla fine c'è poco da dimostrare. Prendiamo una funzione $f:RR -> RR$, e consideriamo un punto $x_0 in RR$, tale per cui esista la derivata seconda di $f$ in quel punto.
Se è vero cioè vuol dire che ha senso scrivere:
$lim_(h->0) ((df)/dx(x_0+h)-(df)/dx(x_0))/h$ (e questo limite è pure finito, ma in realtà poco importa).
Nel momento in cui si va a considerare il rapporto incrementale della derivata di $f$, si rende necessario considerare la derivata calcolata in tutti i punti di almeno un intorno ($(df)/dx(x_0+h)$), ovvero $(df)/dx$ deve essere definita in almeno un intorno di $x_0$.
Il che implica ovviamente che $f$ deve essere continua in almeno un intorno di $x_0$.

[Paolo902]

Ah sì, era più facile di quanto pensassi, hai ragione. Alla fine basta ricordare la definizioni di limite; penso che lo stesso ragionamento, adattato al prim'ordine, dimostri che se una funzione è derivabile (una volta) in un punto allora è necessariamente definita in almeno un intorno del punto (nulla di nuovo, ok, è giusto per precisare).

Ti ringrazio molto