McLaurin 8°ordine.. fareste così?

[Jengis11]

Ciao ragazzi, dovrei sviluppare questa funzione fino all'8° ordine, ho buttato giù un'idea ma mi sembra impossibile che sia così, troppo lungo..
$f(x) = (xsinx)/(1- log(x+1))$
$T_8(f(0))=x(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!))1/(1+(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6))$ = $(x^2-x^4/(3!)+x^6/(5!)-x^8/(7!))[1-(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)$+$(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)^2-(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)^3$+$(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)^4-(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)^5$+$(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)]$

poi naturalmente tengo solo i termini fino all'ottava potenza.. che dite? è mostruoso

edit:
non so perchè non mi formatta tutto lo sviluppo, cmq le parentesi tonde dopo la quadra si ripetono con esponente fino al 6, alternando il segno fuori parentesi

[giuscri]

"Jengis1":$(x^2-x^4/(3!)+x^6/(5!)-x^8/(7!))[1-(-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4-x^5/5+x^6/6)+(..)]$

Io direi che è giusto. Ma è chiaro che non devi fare tutti i conti: tantissima roba, AD OCCHIO, 'va a finire' in $o(x^8)$, no?

EDIT: comunque non sono sicuro, e interessa molto anche a me a questo punto! Possibile che bisogna fare così tanti calcoli?

[giuscri]

Up!

[Jengis11]

bo

[Palliit]

Ciao. Un'alternativa ci sarebbe, ma non so quanto risulti più economica in termini di calcolo.

Stabilito che la funzione può essere sviluppata come: $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$, si trova subito che è $a_0=f(0)=0$; a questo punto è:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=a_1[/tex];

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-a_1x}{x^2}=a_2[/tex];

...

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-a_1x-a_2x^2-...-a_{n-1}x^{n-1}}{x^n}=a_n[/tex].

Temo tuttavia che da $a_3$ in poi il calcolo dei limiti di cui sopra diventi decisamente pesante, per cui non so quanto sia vantaggioso.

[Raptorista1]

Penso che sbagli, anche perché non capisco dove va a finire il denominatore nel tuo procedimento [forse è spiegato nel pezzo di formula che non si vede?] ed il polinomio di Taylor deve essere un polinomio, senza potenze al denominatore.

Secondo me devi fare così: scrivi la funzione come
\[
\frac{x \sin x}{1 - \ln (1 + x)} = x \sin x \frac{1}{1 - \ln(1 + x)}.
\]
A questo punto ti prepari da parte:
1) Lo sviluppo di \(\sin x\)
2) Lo sviluppo di \(\ln(1 + x)\)
3) Lo sviluppo di \(\frac{1}{1 - x}\)
e poi fai il "magico magheggio" di combinare il 2 ed il 3 ponendo \(\ln (1 + x) = z\) e scrivendo lo sviluppo di \(\frac{1}{1 - z}\), così ottieni un polinomio.
Infine fai tutti i prodotti mettendo solo i termini che dopo i prodotti non sforeranno il grado 8 ed hai finito.

[Jengis11]

@ palliit

oddio sei andato nel complicato cmq mi pare di capire che viene lungo lo stesso..

@ raptorista

secondo il mio ragionamento il denominatore se ne va, e (lololol) anche secondo il tuo, visto che se guardi bene ho fatto proprio quel che dici tu

[Raptorista1]

Ah, adesso ho capito cosa hai fatto.
In questo caso, puoi tagliare corto in questo modo: nello sviluppo con la somma delle 6 potenze, nella prima parentesi tieni tutto fino al grado 6, così moltiplicando per \(x^2\) arrivi ad 8; la seconda parentesi è al quadrato, quindi in realtà non ti servono tutti i termini, perché se svolgi i prodotti vedi che ciascun termine ha almeno grado 2, che sommato al 2 dell'\(x^2\) che ti aspetta fuori dalla parentesi fa 4, e quindi i termini di grado 5 e 6 li puoi racchiudere in un \(o(x^4)\).
Alla terza parentesi, ogni elemento del cubo ha almeno grado 3, che poi diventa 5, e quindi i termini di grado maggiore di 4 non ti servono più, e così via...

[Jengis11]

sisi volevo fare pure io così, avevo scritto tutto per far capire il ragionamento.. Cmq se anche secondo voi è corretto far così apposto..ciao e grz