Mc laurin è un incubo...
Ciao, volevo chiedervi se qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo limite da calcolare utilizzando gli sviluppi in serie di mc laurin:
$ lim_(x->0) (senx^3 - x senx^2) / (x^4 senx^3) $
risultato 1/6
$ lim_(x->0) (senx^3 - x senx^2) / (x^4 senx^3) $
risultato 1/6
Risposte
"daniel46":
Ciao, volevo chiedervi se qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo limite da calcolare utilizzando gli sviluppi in serie di mc laurin:
$ lim_(x->0) (senx^3 - x senx^2) / (x^4 senx^3) $
risultato 1/6
Comincia con l'esporre i tuoi dubbi e mostrare i conti che hai fatto fino ad ora...
$sin(x^3)=x^3$
$sin(x^2)=x^2-x^6/6$
sostituisci e trovi il risultato
$sin(x^2)=x^2-x^6/6$
sostituisci e trovi il risultato
"baldo89":
$sin(x^3)=x^3$
$sin(x^2)=x^2-x^6/6$
sostituisci e trovi il risultato
Ti faccio notare che le due uguaglianze che hai scritto sono sbagliate.
Ho provato a risolverla dapprima sostituendo così:
$ [(x^3) - x (x^2)] / [(x^4) (x^3)] $
ma evidentemente a numeratore viene 0 e a denominatore x^7...
allora ho provato a sostituire prendendo nella formula di Mclaurin di senx anche il secondo termine:
$ x - x^3 / 3! $
e arrivo a questo passaggio che mi sembra improbabile:
$ [(-x^9) + (x^7) / (6)] / [(-6x^7 - x^13) / (6)] $
a questo punto mi chiedo se sbaglio a sostituire..sostituisco tutti allo stesso grado oppure c'è una regola precisa..
ho fatto altri tre esercizi risolvandoli tranquillamente fermandomi nel senx alla x, nel ln(1+x) alla x, mentre nell' $e^x$ alla 1+x,
mentre per cosx (1-x^2/2!)
$ [(x^3) - x (x^2)] / [(x^4) (x^3)] $
ma evidentemente a numeratore viene 0 e a denominatore x^7...
allora ho provato a sostituire prendendo nella formula di Mclaurin di senx anche il secondo termine:
$ x - x^3 / 3! $
e arrivo a questo passaggio che mi sembra improbabile:
$ [(-x^9) + (x^7) / (6)] / [(-6x^7 - x^13) / (6)] $
a questo punto mi chiedo se sbaglio a sostituire..sostituisco tutti allo stesso grado oppure c'è una regola precisa..
ho fatto altri tre esercizi risolvandoli tranquillamente fermandomi nel senx alla x, nel ln(1+x) alla x, mentre nell' $e^x$ alla 1+x,
mentre per cosx (1-x^2/2!)
"daniel46":
ma evidentemente a numeratore viene 0 e a denominatore x^7...
Miseriaccia, dovete metterci il resto nella forma di Peano.
Cioè?Puoi spiegarti meglio per favore?per tutta la regola cosa intendi?Ho chiesto anche al ragazo che mi fa ripetizioni ma ho ancora più confusione...
a questo punto mi chiedo se sbaglio a sostituire..sostituisco tutti allo stesso grado oppure c'è una regola precisa..
ho fatto altri tre esercizi risolvandoli tranquillamente fermandomi nel senx alla x, nel ln(1+x) alla x, mentre nell' $e^x$ alla 1+x,
mentre per cosx (1-x^2/2!)
a questo punto mi chiedo se sbaglio a sostituire..sostituisco tutti allo stesso grado oppure c'è una regola precisa..
ho fatto altri tre esercizi risolvandoli tranquillamente fermandomi nel senx alla x, nel ln(1+x) alla x, mentre nell' $e^x$ alla 1+x,
mentre per cosx (1-x^2/2!)
Il numeratore è "abbastanza" giusto. Nel senso che:
$sin(x^3) - x sin( x^2 ) = x^7/6 - x^9/6 + o(x^9)$
Lo sviluppo del denominatore è proprio sbagliato. Infatti non può essere un infinitesimo dell'ordine di $x^3$, ma dev'essere dell'ordine di $x^7$. Infatti, in un prodotto di infinitesimi, gli ordini si sommano; ed essendo $sin(x^3)$ di ordine $3$ e $x^4$ di ordine $4$, $"ord"_0( x^4 * sin(x^3) ) = 3 + 4$
$sin(x^3) - x sin( x^2 ) = x^7/6 - x^9/6 + o(x^9)$
Lo sviluppo del denominatore è proprio sbagliato. Infatti non può essere un infinitesimo dell'ordine di $x^3$, ma dev'essere dell'ordine di $x^7$. Infatti, in un prodotto di infinitesimi, gli ordini si sommano; ed essendo $sin(x^3)$ di ordine $3$ e $x^4$ di ordine $4$, $"ord"_0( x^4 * sin(x^3) ) = 3 + 4$
Scusa se ti spazientisco ma ho bisogno di conferme in questa landa desolata:
L'appendice che ho con le formule è la seguente:
senx = $ x - x^3 /3! + x^5 /5! - ....+ o x^6 $
cosx = $ 1 - x^2 /2 + x^4 /4! - ....+ o x ^5 $
ln (1+x) = $ x - (x^2 / 2!) + .... + o (x^n) $
e^x = $ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + o (x^n) $
Non riesco a capire a che grado devo fermarmi, quando sostituisco..tra l'altro i limiti che ho risolto con questo ragazzo nn abbiamo mai utilizzato la o piccolo ed è per questo che mi trovo in difficoltà...
Sto provando a capire dalle indicazioni che mi hai dato..grazie per la pazienza tra poco ti faccio sapere....
L'appendice che ho con le formule è la seguente:
senx = $ x - x^3 /3! + x^5 /5! - ....+ o x^6 $
cosx = $ 1 - x^2 /2 + x^4 /4! - ....+ o x ^5 $
ln (1+x) = $ x - (x^2 / 2!) + .... + o (x^n) $
e^x = $ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + o (x^n) $
Non riesco a capire a che grado devo fermarmi, quando sostituisco..tra l'altro i limiti che ho risolto con questo ragazzo nn abbiamo mai utilizzato la o piccolo ed è per questo che mi trovo in difficoltà...
Sto provando a capire dalle indicazioni che mi hai dato..grazie per la pazienza tra poco ti faccio sapere....
Io non conosco una regola che suggerisca, a priori, a che ordine arrestare lo sviluppo.
L'$o$-piccolo serve, tra le altre cose, per formalizzare i calcoli quando lavori con gli sviluppi. Secondo me è utile conoscerne le proprietà, e quindi ti rimando qui:
http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html
L'$o$-piccolo serve, tra le altre cose, per formalizzare i calcoli quando lavori con gli sviluppi. Secondo me è utile conoscerne le proprietà, e quindi ti rimando qui:
http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html
"daniel46":
e arrivo a questo passaggio che mi sembra improbabile:
$ [-x^9 + (x^7) / (6)] / [(-6x^7 - x^13) / (6)] $
perché scusa? A me sembra che vada bene... metti in evidenza $x^7$
$lim_(x->0) [-x^9 + (x^7) / (6)] / [x^7 - 1/6*x^13]=lim_(x->0) [1/6-x^2]/[1-1/6*x^6]$
e da qui si vede bene che i termini in più assolutamente non ti danno noia, vanno a zero più velocemente, quindi al massimo ti porti dietro roba in più... il problema è quando prendi troppo pochi termini allora la tua approssimazione può risultare troppo grossolana per darti il risultato corretto. Quanti termini prendere è una cosa che devi intuire dal contesto, dipende sempre con quali funzioni hai a che fare... ci vuole un pò di pratica
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