Max/min funzione composta in 2 variabili reali
dala la seguente funzione $f(x,y)=(xy+x+y+x^2+2y^2)*e^[-(xy+x+y+x^2+2y^2)^2]$ calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione.
chiaramente è una funzione composta. Infatti $f(x,y)=phi(g(x,y))$ Allora scriviamo la $phi(t)=t^2e^-(t^2)$ e la $g(x,y)=xy+x+y+x^2+2y^2$
adesso si studi la monotonia della $phi(t)$ e si vede che è monotona crescente per $t<-1$ e $0
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi[/quote]
scusa perché nel tuo caso non si puö applicare?
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi[/quote]
scusa perché nel tuo caso non si puö applicare?[/quote]
be si potrebbe applicare ma non è molto consigliato!le derivate parziali verrebbero mostruose!c'è la via proposta da me che è molto più diretta!
Esattamente Fioravante Patrone. Tu l'hai spiegato in maniera eccelsa. Calcolare l'Hessiano in questi casi non serve a nulla perché otteniamo la matrice Hessiana semi-definita.Tramite il metodo proposto da me si arriva più lontanto.però il mio dubbio rimane sempre: qualora la funzione presenti intervalli di crescenza seguiti da intervalli di decrescenza (come nel caso mio) come si giunge ad una conclusione?
Chiaro vediamo se capito veramente. Nel caso che ho portato in esame si ha che $t_0=-1$ e $t_1=1$ sono punti di massimo locali per $phi(t)$ mentre $t_3=0$ è un punto di min locale (sempre per $phi(t)$). sia il punto $(-3/7,-1/7)$ un punto critico per $g(x,y)$ allora si ha che $g(-3/7,-1/7)=t_3=0$. essendo $g$ continua allora c'è un intorno $V$ di $(-3/7,-1/7)$ t.c $g(x,y) in U$ per ogni $(x,y) in V$. Segue allora che il punto $(-3/7,-1/7)$ è un punto di minimo. Esatto?
Scusa, io "continuavo col mio discorso".
Il problema che tu ponevi invece nel post iniziale era un altro. Vediamo anche questo, così la facciamo finita
Se ho $f(x,y) = h(g(x,y))$, e se $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$, cosa posso dire su $f$?.
Supponi che $h$ sia debolmente crescente in un intorno $U$ di $t_0 = g(x_0,y_0)$. Sia g continua in $(x_0,y_0)$. Allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$. Se serve, $V$ lo prendiamo piccolo in modo da garantire che $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$ (lo possiamo fare, perché per hp. $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$).
Ma allora: $f(x,y) = h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0)) = f(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$, in quanto:
- $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ perché detto sopra...
- $h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$ perché $h$ è debolmente crescente in $U$, $g(x,y)$ e $g(x_0,y_0)$ appartengono ad $U$ e $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$
Ecco provato ciò che si voleva.
Se $h$ fosse debolmente descrescente, invece di avere:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$
avremmo:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \le h(g(x_0,y_0))$
e quindi ecco che $(x_0,y_0)$ è p.to di max locale per $f$
Sempre s.e.o.
Scusa, io "continuavo col mio discorso".
Il problema che tu ponevi invece nel post iniziale era un altro. Vediamo anche questo, così la facciamo finita
Se ho $f(x,y) = h(g(x,y))$, e se $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$, cosa posso dire su $f$?.
Supponi che $h$ sia debolmente crescente in un intorno $U$ di $t_0 = g(x_0,y_0)$. Sia g continua in $(x_0,y_0)$. Allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$. Se serve, $V$ lo prendiamo piccolo in modo da garantire che $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$ (lo possiamo fare, perché per hp. $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$).
Ma allora: $f(x,y) = h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0)) = f(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$, in quanto:
- $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ perché detto sopra...
- $h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$ perché $h$ è debolmente crescente in $U$, $g(x,y)$ e $g(x_0,y_0)$ appartengono ad $U$ e $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$
Ecco provato ciò che si voleva.
Se $h$ fosse debolmente descrescente, invece di avere:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$
avremmo:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \le h(g(x_0,y_0))$
e quindi ecco che $(x_0,y_0)$ è p.to di max locale per $f$
Sempre s.e.o.[/quote]
Un piccolo dubbio: ma se in questo caso ho più punti $t_0$ come la si mette?nel mio caso ho $0,-1,1$. in questo caso quale punti devo scegliere?
Questa è la risoluzione dell'esercizio fatta dal mio Professore. Volevo capire dopo aver trovato il punto della g, come faccio a dire che è di minimo? Come continua dopo?!?
chiaramente è una funzione composta. Infatti $f(x,y)=phi(g(x,y))$ Allora scriviamo la $phi(t)=t^2e^-(t^2)$ e la $g(x,y)=xy+x+y+x^2+2y^2$
adesso si studi la monotonia della $phi(t)$ e si vede che è monotona crescente per $t<-1$ e $0
Risposte
io per calcolare i massimi e minimi sviluppo la matrice Hessiana e poi sostituisco i punti stazionari( o critici) nella matrice, e facendo la determinata di essa riesco a stabilire se é massimo , minimo o punto di sella.
La matrice Hessiana penso che lo sai , non é altro che la derivata seconda della funzione f .
La matrice Hessiana penso che lo sai , non é altro che la derivata seconda della funzione f .
"DarioBaldini":
io per calcolare i massimi e minimi sviluppo la matrice Hessiana e poi sostituisco i punti stazionari( o critici) nella matrice, e facendo la determinata di essa riesco a stabilire se é massimo , minimo o punto di sella.
La matrice Hessiana penso che lo sai , non é altro che la derivata seconda della funzione f .
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi
"mazzy89":
[quote="DarioBaldini"]io per calcolare i massimi e minimi sviluppo la matrice Hessiana e poi sostituisco i punti stazionari( o critici) nella matrice, e facendo la determinata di essa riesco a stabilire se é massimo , minimo o punto di sella.
La matrice Hessiana penso che lo sai , non é altro che la derivata seconda della funzione f .
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi[/quote]
scusa perché nel tuo caso non si puö applicare?
"DarioBaldini":
[quote="mazzy89"][quote="DarioBaldini"]io per calcolare i massimi e minimi sviluppo la matrice Hessiana e poi sostituisco i punti stazionari( o critici) nella matrice, e facendo la determinata di essa riesco a stabilire se é massimo , minimo o punto di sella.
La matrice Hessiana penso che lo sai , non é altro che la derivata seconda della funzione f .
Be si questo è il metodo "classico". Ma tante volte quello che dici tu non si può fare.si ricorre ad altri metodi[/quote]
scusa perché nel tuo caso non si puö applicare?[/quote]
be si potrebbe applicare ma non è molto consigliato!le derivate parziali verrebbero mostruose!c'è la via proposta da me che è molto più diretta!
Ottima idea, il metodo di mazzy89.
Non solo, il metodo standard (con hessiana) normalmente non permette di arrivare alle CS.
Esempio: $f(x,y) = h(x^2+y^2)$. Supponiamo che $t \mapsto h(t)$ abbia max nel punto $t_0$. Se $t_0 > 0$, è ovvio che i punti della circonferenza $x^2 + y^2 = t_0$ sono p.ti di max per $f$.
Se calcolo l'hessiano, tenendo conto che il gradiente si annulla, viene: $h''(x,y) ( 16 x^2 y^2 - 16 x^2 y^2)$. Che quindi vale zero. Abbiamo quindio che la forma quadratica è semidefinita. Salvo errori di calcolo...
NB: l'esempio non è "scelto apposta per far venire quello che voglio dire". E' quello che capita di solito in questi casi.
Lascio a chi ne abbia voglia di mettere i puntini sulel "i". E anche generalizzare (usando $g(x,y)$ al posto di $x^2 + y^2$).
Fixed misprints
Non solo, il metodo standard (con hessiana) normalmente non permette di arrivare alle CS.
Esempio: $f(x,y) = h(x^2+y^2)$. Supponiamo che $t \mapsto h(t)$ abbia max nel punto $t_0$. Se $t_0 > 0$, è ovvio che i punti della circonferenza $x^2 + y^2 = t_0$ sono p.ti di max per $f$.
Se calcolo l'hessiano, tenendo conto che il gradiente si annulla, viene: $h''(x,y) ( 16 x^2 y^2 - 16 x^2 y^2)$. Che quindi vale zero. Abbiamo quindio che la forma quadratica è semidefinita. Salvo errori di calcolo...
NB: l'esempio non è "scelto apposta per far venire quello che voglio dire". E' quello che capita di solito in questi casi.
Lascio a chi ne abbia voglia di mettere i puntini sulel "i". E anche generalizzare (usando $g(x,y)$ al posto di $x^2 + y^2$).
Fixed misprints
Ho scritto queste cose in un caso più generale qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/max_ ... iabili.pdf
Non escludo di dare una risistemata a questi appunti, in seguito. Ma volevo almeno "fissare" le cose essenziali.
http://www.diptem.unige.it/patrone/max_ ... iabili.pdf
Non escludo di dare una risistemata a questi appunti, in seguito. Ma volevo almeno "fissare" le cose essenziali.
"Fioravante Patrone":
Ho scritto queste cose in un caso più generale qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/max_ ... iabili.pdf
Non escludo di dare una risistemata a questi appunti, in seguito. Ma volevo almeno "fissare" le cose essenziali.
Esattamente Fioravante Patrone. Tu l'hai spiegato in maniera eccelsa. Calcolare l'Hessiano in questi casi non serve a nulla perché otteniamo la matrice Hessiana semi-definita.Tramite il metodo proposto da me si arriva più lontanto.però il mio dubbio rimane sempre: qualora la funzione presenti intervalli di crescenza seguiti da intervalli di decrescenza (come nel caso mio) come si giunge ad una conclusione?
Per la cosa che tu chiedi mi pare non abbia importanza crescenza/descrescenza.
Il punto cruciale è: ho $f(x,y) = h(g(x,y))$.
Ho che $t_0$ è p.to di min locale per $h$.
Allora $h(t) \ge h(t_0)$ in un opportuno intorno $U$ di $t_0$
Sia $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x_0,y_0) = t_0$. (Magari ce ne sono tanti, non importa! Può anche capitare che non ne siano...)
Se $g$ è continua, allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$.
Ergo, $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $f$
s.e.o.
Il punto cruciale è: ho $f(x,y) = h(g(x,y))$.
Ho che $t_0$ è p.to di min locale per $h$.
Allora $h(t) \ge h(t_0)$ in un opportuno intorno $U$ di $t_0$
Sia $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x_0,y_0) = t_0$. (Magari ce ne sono tanti, non importa! Può anche capitare che non ne siano...)
Se $g$ è continua, allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$.
Ergo, $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $f$
s.e.o.
"Fioravante Patrone":
Per la cosa che tu chiedi mi pare non abbia importanza crescenza/descrescenza.
Il punto cruciale è: ho $f(x,y) = h(g(x,y))$.
Ho che $t_0$ è p.to di min locale per $h$.
Allora $h(t) \ge h(t_0)$ in un opportuno intorno $U$ di $t_0$
Sia $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x_0,y_0) = t_0$. (Magari ce ne sono tanti, non importa! Può anche capitare che non ne siano...)
Se $g$ è continua, allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$.
Ergo, $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $f$
s.e.o.
Chiaro vediamo se capito veramente. Nel caso che ho portato in esame si ha che $t_0=-1$ e $t_1=1$ sono punti di massimo locali per $phi(t)$ mentre $t_3=0$ è un punto di min locale (sempre per $phi(t)$). sia il punto $(-3/7,-1/7)$ un punto critico per $g(x,y)$ allora si ha che $g(-3/7,-1/7)=t_3=0$. essendo $g$ continua allora c'è un intorno $V$ di $(-3/7,-1/7)$ t.c $g(x,y) in U$ per ogni $(x,y) in V$. Segue allora che il punto $(-3/7,-1/7)$ è un punto di minimo. Esatto?
"mazzy89":
Chiaro vediamo se capito veramente. Nel caso che ho portato in esame si ha che $t_0=-1$ e $t_1=1$ sono punti di massimo locali per $phi(t)$ mentre $t_3=0$ è un punto di min locale (sempre per $phi(t)$). sia il punto $(-3/7,-1/7)$ un punto critico per $g(x,y)$ allora si ha che $g(-3/7,-1/7)=t_3=0$. essendo $g$ continua allora c'è un intorno $V$ di $(-3/7,-1/7)$ t.c $g(x,y) in U$ per ogni $(x,y) in V$. Segue allora che il punto $(-3/7,-1/7)$ è un punto di minimo. Esatto?
Scusa, io "continuavo col mio discorso".
Il problema che tu ponevi invece nel post iniziale era un altro. Vediamo anche questo, così la facciamo finita
Se ho $f(x,y) = h(g(x,y))$, e se $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$, cosa posso dire su $f$?.
Supponi che $h$ sia debolmente crescente in un intorno $U$ di $t_0 = g(x_0,y_0)$. Sia g continua in $(x_0,y_0)$. Allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$. Se serve, $V$ lo prendiamo piccolo in modo da garantire che $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$ (lo possiamo fare, perché per hp. $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$).
Ma allora: $f(x,y) = h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0)) = f(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$, in quanto:
- $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ perché detto sopra...
- $h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$ perché $h$ è debolmente crescente in $U$, $g(x,y)$ e $g(x_0,y_0)$ appartengono ad $U$ e $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$
Ecco provato ciò che si voleva.
Se $h$ fosse debolmente descrescente, invece di avere:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$
avremmo:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \le h(g(x_0,y_0))$
e quindi ecco che $(x_0,y_0)$ è p.to di max locale per $f$
Sempre s.e.o.
"Fioravante Patrone":
[quote="mazzy89"]
Chiaro vediamo se capito veramente. Nel caso che ho portato in esame si ha che $t_0=-1$ e $t_1=1$ sono punti di massimo locali per $phi(t)$ mentre $t_3=0$ è un punto di min locale (sempre per $phi(t)$). sia il punto $(-3/7,-1/7)$ un punto critico per $g(x,y)$ allora si ha che $g(-3/7,-1/7)=t_3=0$. essendo $g$ continua allora c'è un intorno $V$ di $(-3/7,-1/7)$ t.c $g(x,y) in U$ per ogni $(x,y) in V$. Segue allora che il punto $(-3/7,-1/7)$ è un punto di minimo. Esatto?
Scusa, io "continuavo col mio discorso".
Il problema che tu ponevi invece nel post iniziale era un altro. Vediamo anche questo, così la facciamo finita
Se ho $f(x,y) = h(g(x,y))$, e se $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$, cosa posso dire su $f$?.
Supponi che $h$ sia debolmente crescente in un intorno $U$ di $t_0 = g(x_0,y_0)$. Sia g continua in $(x_0,y_0)$. Allora c'è intorno $V$ di $(x_0,y_0)$ t.c. $g(x,y) \in U$ per ogni $(x,y) \in V$. Se serve, $V$ lo prendiamo piccolo in modo da garantire che $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$ (lo possiamo fare, perché per hp. $(x_0,y_0)$ è p.to di min locale per $g$).
Ma allora: $f(x,y) = h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0)) = f(x_0,y_0)$ per $(x,y) \in V$, in quanto:
- $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$ perché detto sopra...
- $h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$ perché $h$ è debolmente crescente in $U$, $g(x,y)$ e $g(x_0,y_0)$ appartengono ad $U$ e $g(x,y) \ge g(x_0,y_0)$
Ecco provato ciò che si voleva.
Se $h$ fosse debolmente descrescente, invece di avere:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \ge h(g(x_0,y_0))$
avremmo:
$g(x,y) \ge g(x_0,y_0) => h(g(x,y)) \le h(g(x_0,y_0))$
e quindi ecco che $(x_0,y_0)$ è p.to di max locale per $f$
Sempre s.e.o.[/quote]
Un piccolo dubbio: ma se in questo caso ho più punti $t_0$ come la si mette?nel mio caso ho $0,-1,1$. in questo caso quale punti devo scegliere?
Allora, i tre punti che menzioni:
- $-1$ e $1$ sono punti di max locale per la $\phi$ (quella che io chiamo $h$)
- $0$ è punto di max locale per la $\phi$
Per questi vale quanto detto qui:
https://www.matematicamente.it/forum/max ... tml#407245
Poi c'è il p.to:
- $(-3/7,-1/7)$
Per questo, $g(-3/7,-1/7) = 2/49$, e la $\phi$ è strettamente crescente in un intorno di $2/49$.
Ti basta quindi stabilire se $(-3/7,-1/7)$ è p.to di max o di min locale per $g$. Se è di min per $g$ lo è anche per la funzione composta; analogamente, se è di max, sarà di max per la composta.
Ovvero, quello che dicevo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/max ... tml#407255
- $-1$ e $1$ sono punti di max locale per la $\phi$ (quella che io chiamo $h$)
- $0$ è punto di max locale per la $\phi$
Per questi vale quanto detto qui:
https://www.matematicamente.it/forum/max ... tml#407245
Poi c'è il p.to:
- $(-3/7,-1/7)$
Per questo, $g(-3/7,-1/7) = 2/49$, e la $\phi$ è strettamente crescente in un intorno di $2/49$.
Ti basta quindi stabilire se $(-3/7,-1/7)$ è p.to di max o di min locale per $g$. Se è di min per $g$ lo è anche per la funzione composta; analogamente, se è di max, sarà di max per la composta.
Ovvero, quello che dicevo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/max ... tml#407255
Questa è la risoluzione dell'esercizio fatta dal mio Professore. Volevo capire dopo aver trovato il punto della g, come faccio a dire che è di minimo? Come continua dopo?!?
[mod="Fioravante Patrone"]@Brunosso
Come cortesia iniziale dovresti evitare a chi ti voglia rispondere (non sono certo io) un lavoro non dovuto di "decifrazione".[/mod]
Come cortesia iniziale dovresti evitare a chi ti voglia rispondere (non sono certo io) un lavoro non dovuto di "decifrazione".[/mod]
[quote=Fioravante Patrone][/quote]
non ho chiesto di decifrare niente a nessuno, ho solo aggiunto dati! tutto qui....volevo solo capire come era stato risolto l'esercizio tutto qui....
non ho chiesto di decifrare niente a nessuno, ho solo aggiunto dati! tutto qui....volevo solo capire come era stato risolto l'esercizio tutto qui....
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