MAX/min e punti stazionari di funzione a più variabili(AM2 PIsa)
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
Io ho inizialmente dimostrato che il limite per $x^2+y^2->+infty$ tende a $+infty$, infatti vale che(a meno di miei errori):
$x^2y^6+arctan(x^2y)>=x^2y^6-pi/2$ e passando in polari ottengo che $p^8cos^2\thetasin^6\theta-pi/2>=p^8m-pi/2$ dove
$m=min{cos^2\thetasin^6\theta : \theta \in [0,2pi]}$ che è $>0$ perchè il seno e il coseno non si annullano mai contemporaneamente. Dall'ultima disuguaglianza ottengo per $lim_(p->+infty)$ $f(p,\theta)=+infty$. Ora per Weierstrass esiste il minimo. Il problema nasce quando calcolo i punti stazionari risolvendo $\gradf(x,y)=0$ poichè, risparmiandovi i conti, ottengo che la coppia $(0,t), t \in RR$ risolve sempre il sistema, ma questo implica che la funzione è costante sulla restrizione all'asse $y$ (e in particolare vale $0$) in contraddizione col fatto che il limite della funzione tenda a $+infty$. Avete qualche idea o vedete un possibile errore?
PS: L'esercizio è il primo punto di un vecchio compito del corso di analisi 2 tenuto a Pisa dal professor Gobbino, avendo visto che diverse persone sul forum stanno studiando dalle dispense del professore, e forse hanno già affrontato l'esercizio in questione, ho aggiunto nel titolo un "simbolo di riconoscimento", fermo restando che il post è rivolto a chiunque abbia voglia di confrontarsi con la risoluzione di questo esercizio o semplicemente abbia voglia di condividere dubbi e idee a riguardo.
Sia $f(x,y)=x^2y^6+arctan(x^2y)$. Determinare i punti stazionari di $f(x,y)$ specificando se si tratta di massimo/minimo locale/globale e determinare l'estremo inferiore della funzione in $RR^2$.
Io ho inizialmente dimostrato che il limite per $x^2+y^2->+infty$ tende a $+infty$, infatti vale che(a meno di miei errori):
$x^2y^6+arctan(x^2y)>=x^2y^6-pi/2$ e passando in polari ottengo che $p^8cos^2\thetasin^6\theta-pi/2>=p^8m-pi/2$ dove
$m=min{cos^2\thetasin^6\theta : \theta \in [0,2pi]}$ che è $>0$ perchè il seno e il coseno non si annullano mai contemporaneamente. Dall'ultima disuguaglianza ottengo per $lim_(p->+infty)$ $f(p,\theta)=+infty$. Ora per Weierstrass esiste il minimo. Il problema nasce quando calcolo i punti stazionari risolvendo $\gradf(x,y)=0$ poichè, risparmiandovi i conti, ottengo che la coppia $(0,t), t \in RR$ risolve sempre il sistema, ma questo implica che la funzione è costante sulla restrizione all'asse $y$ (e in particolare vale $0$) in contraddizione col fatto che il limite della funzione tenda a $+infty$. Avete qualche idea o vedete un possibile errore?
PS: L'esercizio è il primo punto di un vecchio compito del corso di analisi 2 tenuto a Pisa dal professor Gobbino, avendo visto che diverse persone sul forum stanno studiando dalle dispense del professore, e forse hanno già affrontato l'esercizio in questione, ho aggiunto nel titolo un "simbolo di riconoscimento", fermo restando che il post è rivolto a chiunque abbia voglia di confrontarsi con la risoluzione di questo esercizio o semplicemente abbia voglia di condividere dubbi e idee a riguardo.
Risposte
Sul fatto che $m>0$ ho i miei più che sensati dubbi. 
Inoltre osserva che $f$ si annulla su entrambi gli assi, dunque il limite all'infinito non può esistere.
Inoltre osserva che $f$ si annulla su entrambi gli assi, dunque il limite all'infinito non può esistere.
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