Max/min di funzione con derivata non definita
Buonasera.
Ho da studiare questa funzione e ricercarne gli eventuali punti di massimo minimo.
$ f(x,y) = sqrt(2y+x^2+y^2) $
Inizio con lo studiarne il dominio che è : $ {(x,y) in R^2 : 2y+x^2+y^2 >=0} $
Procedo quindi con la ricerca delle derivate prime, da porre uguali a zero in un sistema, da cui non risultano punti critici non essendoci un valore che annulli entrambe le derivate.
Con le conoscenze che mi sono state fomite per risolvere questo genere di esercizi dovrei quindi concludere che non ci sono punti di massimo o minimo, non essendoci punti critici, ma osservando bene la funzione tuttavia, sembra di poter affermare che invece tutta l'"impronta" della funzione sul piano z=0 sia in effetti un luogo di punti tutti minimo della funzione.
Essi sono definiti ed hanno valore zero, che è valore minimo per la funzione.
Anche un veloce controllo di come la funzione viene rappresentata su GeoGebra sembra confermarlo.
Le derivate non avrebbero potuto dirmi nulla dato che lungo quel bordo (impronta) esse non sono definite, non esistono, ma esse sono l'unico strumento che mi è stato dato per la ricerca di punti critici.
Dunque, cosa dovrei concludere e/o dove sto sbagliando?
Il luogo di punti giacenti lungo $ {2y+x^2+y^2 =0} $ è minimo della funzione?
Qui come ho proceduto.
Grazie a tutti
Ho da studiare questa funzione e ricercarne gli eventuali punti di massimo minimo.
$ f(x,y) = sqrt(2y+x^2+y^2) $
Inizio con lo studiarne il dominio che è : $ {(x,y) in R^2 : 2y+x^2+y^2 >=0} $
Procedo quindi con la ricerca delle derivate prime, da porre uguali a zero in un sistema, da cui non risultano punti critici non essendoci un valore che annulli entrambe le derivate.
Con le conoscenze che mi sono state fomite per risolvere questo genere di esercizi dovrei quindi concludere che non ci sono punti di massimo o minimo, non essendoci punti critici, ma osservando bene la funzione tuttavia, sembra di poter affermare che invece tutta l'"impronta" della funzione sul piano z=0 sia in effetti un luogo di punti tutti minimo della funzione.
Essi sono definiti ed hanno valore zero, che è valore minimo per la funzione.
Anche un veloce controllo di come la funzione viene rappresentata su GeoGebra sembra confermarlo.
Le derivate non avrebbero potuto dirmi nulla dato che lungo quel bordo (impronta) esse non sono definite, non esistono, ma esse sono l'unico strumento che mi è stato dato per la ricerca di punti critici.
Dunque, cosa dovrei concludere e/o dove sto sbagliando?
Il luogo di punti giacenti lungo $ {2y+x^2+y^2 =0} $ è minimo della funzione?
Qui come ho proceduto.
Grazie a tutti
Risposte
"lackyluk":
$ 2y+x^2+y^2 >=0 $
Si completa il quadrato:
$ x^2+y^2+2y +1 >=1$
$ x^2+(y +1)^2 >=1$
E' un cerchio di raggio $1$ centrato in $(x, y) = (0,-1)$. Quello e' il minimo.
"lackyluk":
Il luogo di punti giacenti lungo $ {2y+x^2+y^2 =0} $ è minimo della funzione?
A parte che questa frase non ha senso, hai questo dubbio perché stai procedendo con un metodo di calcolo e non hai interiorizzato le definizioni. Che significa punto estremante? Di quale natura poi, locale/globale? Ragiona su questo.
"Quinzio":
[quote="lackyluk"]$ 2y+x^2+y^2 >=0 $
Si completa il quadrato:
$ x^2+y^2+2y +1 >=1$
$ x^2+(y +1)^2 >=1$
E' un cerchio di raggio $1$ centrato in $(x, y) = (0,-1)$. Quello e' il minimo.[/quote]
Quindi la mia osservazione è giusta. Il cerchio è tutto minimo della funzione, ottimo!
Il punto è, per rispondere anche a Mephlip, con cui mi scuso per aver usato termini senza senso, che la mia intenzione qui non è troppo di approfondire, non al momento.
Devo risolvere degli esercizi e mi vengono dati degli strumenti, non altri, non troppo più ampi.
Per la ricerca di punti critici devo verificare se e dove le derivate prime si annullino, per poi usare tale dato in una matrice, come immaginerete.
Il perchè di questo mi è anche tutto sommato chiaro.
Partendo da ciò, l'esercizio in questione sembrava doversi concludere con nessun punto critico quindi nessun massimo/minino da analizzare.
Prima di chiedere chiarimenti a chi ha proposto l'esercizio volevo accertarmi di non aver visto del tutto male.
Chi ha proposto l'esercizio dovrà quindi indirizzarmi verso i dovuti approfondimenti necessari a risolvere casi per i quali gli strumenti che mi ha messo a disposizione per risolvere gli esercizi che mi propone non sembrano sufficienti.
Grazie a tutti.
Non c'è bisogno di scusarsi, è semplicemente per farti migliorare l'esposizione: ti invito a rileggere quella frase e a cercare di dare un ruolo agli oggetti citati. Parli di minimo riferendoti ad un insieme, quando il minimo è un numero reale; al più, volevi dire che gli elementi di quell'insieme sono punti di minimo per $f$. Poi, le locuzioni "luogo di punti" e "giacenti lungo" hanno le loro interpretazioni separatamente, ma insieme non vanno bene; un luogo di punti è già un modo informale per dire insieme, non c'è bisogno di scrivere "giacenti lungo" e di citare nuovamente l'insieme appena dopo. Infine, i punti per i quali si ottiene il massimo/minimo sono punti; quindi, bastava dire "Glli elementi dell'insieme $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2y+x^2+y^2=0\}$ sono punti di minimo globale per $f$ nel suo dominio naturale."
Approfondimenti?
Ho parlato di definizione di punti estremanti, neanche volendo si può trovare un concetto più elementare di una definizione; si parte da quelle in qualsiasi argomento! È impossibile parlare (sensatamente) di punti estremanti senza definirli, quindi gli strumenti ce li hai e sono anche meno "ampi" del calcolo differenziale. Hai che $f(x,y) \ge 0$ per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f)$ e se $(x_0,y_0) \in \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2y+x^2+y^2=0\}$, hai che $f(x_0,y_0)=0$; questo significa che $(x_0,y_0)$ è punto di minimo per $f$. Ciò dimostra che i punti di ${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2y+x^2+y^2=0\}$ sono punti di minimo globale per $f$, senza calcolo differenziale. Questa non è una particolarità delle funzioni di più variabili, vale pure per quelle in una: minimo di $f$ significa, informalmente, "$f$ sta sopra oppure è uguale una certa quantità per ogni elemento nel suo dominio e che esista almeno un punto nel dominio di $f$ per il quale valga l'uguaglianza". Così puoi mostrare che $0$ è punto di minimo globale di $|x|$ in $\mathbb{R}$: infatti, $|x| \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ed esiste $0 \in \mathbb{R}$ tale che $|0|=0$.
Approfondimenti?
Ho parlato di definizione di punti estremanti, neanche volendo si può trovare un concetto più elementare di una definizione; si parte da quelle in qualsiasi argomento! È impossibile parlare (sensatamente) di punti estremanti senza definirli, quindi gli strumenti ce li hai e sono anche meno "ampi" del calcolo differenziale. Hai che $f(x,y) \ge 0$ per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f)$ e se $(x_0,y_0) \in \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2y+x^2+y^2=0\}$, hai che $f(x_0,y_0)=0$; questo significa che $(x_0,y_0)$ è punto di minimo per $f$. Ciò dimostra che i punti di ${(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2y+x^2+y^2=0\}$ sono punti di minimo globale per $f$, senza calcolo differenziale. Questa non è una particolarità delle funzioni di più variabili, vale pure per quelle in una: minimo di $f$ significa, informalmente, "$f$ sta sopra oppure è uguale una certa quantità per ogni elemento nel suo dominio e che esista almeno un punto nel dominio di $f$ per il quale valga l'uguaglianza". Così puoi mostrare che $0$ è punto di minimo globale di $|x|$ in $\mathbb{R}$: infatti, $|x| \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ed esiste $0 \in \mathbb{R}$ tale che $|0|=0$.
"lackyluk":
[quote="Quinzio"][quote="lackyluk"]$ 2y+x^2+y^2 >=0 $
Si completa il quadrato:
$ x^2+y^2+2y +1 >=1$
$ x^2+(y +1)^2 >=1$
E' un cerchio di raggio $1$ centrato in $(x, y) = (0,-1)$. Quello e' il minimo.[/quote]
Quindi la mia osservazione è giusta. Il cerchio è tutto minimo della funzione, ottimo!
Il punto è, per rispondere anche a Mephlip, con cui mi scuso per aver usato termini senza senso, che la mia intenzione qui non è troppo di approfondire, non al momento.
Devo risolvere degli esercizi e mi vengono dati degli strumenti, non altri, non troppo più ampi.
Per la ricerca di punti critici devo verificare se e dove le derivate prime si annullino, per poi usare tale dato in una matrice, come immaginerete.
Il perchè di questo mi è anche tutto sommato chiaro.
Partendo da ciò, l'esercizio in questione sembrava doversi concludere con nessun punto critico quindi nessun massimo/minino da analizzare.
Prima di chiedere chiarimenti a chi ha proposto l'esercizio volevo accertarmi di non aver visto del tutto male.
Chi ha proposto l'esercizio dovrà quindi indirizzarmi verso i dovuti approfondimenti necessari a risolvere casi per i quali gli strumenti che mi ha messo a disposizione per risolvere gli esercizi che mi propone non sembrano sufficienti.
Grazie a tutti.[/quote]
Si, anche se bisogna essere piu' precisi.
Il minimo della funzione in questo caso e' il valore zero. Il minimo e' un valore.
Quella circonferenza e' il luogo dei punti (un insieme di punti) dove la funzione ha il minimo. Il luogo dei punti non e' il minimo. Il minimo e' il valore che la funzione assume nei punti dove ha il minimo.
Detto questo, se hai una funzione definita su un sottoinsieme di $RR^n$, prima devi cercare se il gradiente si annulla all'interno del sottoinsieme. Se questo non accade, devi cercare il minimo sulla frontiera del sottoinsieme, (che sara' una funzione di $RR^{n-1}$). Se neanche questo accade, il minimo/massimo va cercato nella frontiera della frontiera, e cosi' via, fino ad arrivare a un singolo punto ($RR^0$).
Se poi gli insiemi sono degli aperti, e' un altro discorso.
Questo concetto e' espresso anche qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... bili_reali
In caso di funzioni di due o più variabili, la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso, nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.
Innanzi tutto grazie ad entrambi per gli approfodimenti.
Che è circa quello che ho "osservato" intuitivamente nella comodità di casa con il PC acceso davanti con la possibilità di chiedere conferma su un Forum di esperti e con l'aiuto di GeoGebra.
Il punto, lo ribadisco, è che mi è stato dato il solo strumento delle derivate prime per indagare e risolvere questo genere di esercizi.
Se questo fosse esercizio d'esame ed io concludessi che non ci sono punti critici non essendoci punti dove le due derivate si annullano avrei sbagliato?
La risposta è certo.
Ma tu non mi hai fornito nessun altro strumento per verificarlo ed il fatto che io sia riuscito ad osservare qualcosa in autonomia non ha nessun rilievo. Che facciamo?
L'unico caso in cui sarei tenuto a fare ulteriori indagini è il caso in cui un punto stazionario mi desse un determinante nullo nella matrice Hessiana.
Qui però proprio non vengono fuori punti stazionari con il metodo di indagine che tu mi hai detto di usare.
Capite qual è il punto?
Grazie ancora.
"Mephlip":
Hai che f(x,y)≥0 per ogni (x,y)∈dom(f) e se (x0,y0)∈{(x,y)∈R2 ∣ 2y+x2+y2=0}, hai che f(x0,y0)=0; questo significa che (x0,y0) è punto di minimo per f. Ciò dimostra che i punti di {(x,y)∈R2 ∣ 2y+x2+y2=0} sono punti di minimo globale per f, senza calcolo differenziale.
Che è circa quello che ho "osservato" intuitivamente nella comodità di casa con il PC acceso davanti con la possibilità di chiedere conferma su un Forum di esperti e con l'aiuto di GeoGebra.
Il punto, lo ribadisco, è che mi è stato dato il solo strumento delle derivate prime per indagare e risolvere questo genere di esercizi.
Se questo fosse esercizio d'esame ed io concludessi che non ci sono punti critici non essendoci punti dove le due derivate si annullano avrei sbagliato?
La risposta è certo.
Ma tu non mi hai fornito nessun altro strumento per verificarlo ed il fatto che io sia riuscito ad osservare qualcosa in autonomia non ha nessun rilievo. Che facciamo?
L'unico caso in cui sarei tenuto a fare ulteriori indagini è il caso in cui un punto stazionario mi desse un determinante nullo nella matrice Hessiana.
Qui però proprio non vengono fuori punti stazionari con il metodo di indagine che tu mi hai detto di usare.
Capite qual è il punto?
Grazie ancora.
Prego!
Secondo me non è così. La situazione in cui ti hanno dato direttamente il metodo con l'hessiana e non ti hanno definito il punto estremante ha probabilità bassissima di verificarsi. Per parlare di punti estremanti ti devono dare necessariamente la definizione, altrimenti si sta parlando del nulla; la definizione è anch'essa uno strumento, anzi, fino a che non si introduce altro essa è l'unico strumento per stabilire se un certo punto è estremante o meno. Ed è uno dei più elementari che conosci, perché è una disuguaglianza: se $(r,s)$ è tale che $f(x,y) \ge f(r,s)$ per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f)$, allora $(r,s)$ è un punto di minimo globale per $f$, se ciò avviene solo in un intorno di $(r,s)$ allora $(r,s)$ è punto di minimo locale per $f$.
Poi, possiamo cercare di motivare meglio i motivi per cui è andata così: il tuo professore ha deciso di sorvolare la questione (plausibile, la definizione di punti di massimo/minimo si vede ben prima del calcolo differenziale in più variabili), tu puoi non averci pensato (ci sta, stai appunto imparando), eccetera.
Secondo me non è così. La situazione in cui ti hanno dato direttamente il metodo con l'hessiana e non ti hanno definito il punto estremante ha probabilità bassissima di verificarsi. Per parlare di punti estremanti ti devono dare necessariamente la definizione, altrimenti si sta parlando del nulla; la definizione è anch'essa uno strumento, anzi, fino a che non si introduce altro essa è l'unico strumento per stabilire se un certo punto è estremante o meno. Ed è uno dei più elementari che conosci, perché è una disuguaglianza: se $(r,s)$ è tale che $f(x,y) \ge f(r,s)$ per ogni $(x,y) \in \text{dom}(f)$, allora $(r,s)$ è un punto di minimo globale per $f$, se ciò avviene solo in un intorno di $(r,s)$ allora $(r,s)$ è punto di minimo locale per $f$.
Poi, possiamo cercare di motivare meglio i motivi per cui è andata così: il tuo professore ha deciso di sorvolare la questione (plausibile, la definizione di punti di massimo/minimo si vede ben prima del calcolo differenziale in più variabili), tu puoi non averci pensato (ci sta, stai appunto imparando), eccetera.
Ebbene no, non mi è stata data la definizione di punto estremante, per quanto il ragionamento che ho fatto per individuare intuitivamente l'incongruenza di cui stiamo discutendo derivi circa da questo.
Mi sono detto, i punti lungo quella circonferenza, (-1,-1) ad esempio, sono definiti?
Si. f(-1,-1) = 0.
Ora però, l'osservazione che 0 (il valore di f lungo tutta la circonferenza) è il minimo di tutta la funzione è derivata dal fatto che "me la sono immaginata" nella mente (e poi verificata su GeoGebra).
Non è stato il risultato del metodo di indagine che mi hanno fornito.
Per essere più concerti e capirci, non è detto che nella concitazione e nei tempi stretti di un esame mi sarebbe venuto il dubbio che qualcosa non tornasse.
No derivate parziali entrambe uguali a zero => no punti di massmo/minimo!
Quindi più direttamente ti chiedo Mephlip, stante il fatto che mi hanno dato solo derivate parziali ed Hessiana come metodo di risoluzione, se la mia conclusione fosse che non ci sono punti di massimo o minimo in questa funzione, tu consideresti l'esercizio corretto o meno?
Mi sono detto, i punti lungo quella circonferenza, (-1,-1) ad esempio, sono definiti?
Si. f(-1,-1) = 0.
Ora però, l'osservazione che 0 (il valore di f lungo tutta la circonferenza) è il minimo di tutta la funzione è derivata dal fatto che "me la sono immaginata" nella mente (e poi verificata su GeoGebra).
Non è stato il risultato del metodo di indagine che mi hanno fornito.
Per essere più concerti e capirci, non è detto che nella concitazione e nei tempi stretti di un esame mi sarebbe venuto il dubbio che qualcosa non tornasse.
No derivate parziali entrambe uguali a zero => no punti di massmo/minimo!
Quindi più direttamente ti chiedo Mephlip, stante il fatto che mi hanno dato solo derivate parziali ed Hessiana come metodo di risoluzione, se la mia conclusione fosse che non ci sono punti di massimo o minimo in questa funzione, tu consideresti l'esercizio corretto o meno?
Pps. Giusto per essere chiari, ho una idea di cosa sia il punto estremante e di tutta la teoria in generale.
Cioè, rileggendomi sembra che io dal nulla venga chiamato a risolvere esercizi con derivate parziali e matrici Hessiane.
Il fatto è che per questo genere di esercizi si sottintende una certa conoscenza pregressa ma il metodo di risoluzione non prevede l'utilizzazione di nessun concetto che non sia la derivata parziale e la matrice Hessiana nell'ambito di esercizi di ''livello'' Analisi II, ovvero su funzioni a più variabili.
Cioè, rileggendomi sembra che io dal nulla venga chiamato a risolvere esercizi con derivate parziali e matrici Hessiane.
Il fatto è che per questo genere di esercizi si sottintende una certa conoscenza pregressa ma il metodo di risoluzione non prevede l'utilizzazione di nessun concetto che non sia la derivata parziale e la matrice Hessiana nell'ambito di esercizi di ''livello'' Analisi II, ovvero su funzioni a più variabili.
La situazione è abbastanza particolare, non so dirti. Io non ti avrei mai dato un problema su qualcosa di mai spiegato, e in tutti i corsi che ho seguito si fa sempre il ricapitolo delle nozioni fondamentali (a volte anche lezione per lezione per richiamare quanto visto in quella precedente). Inoltre, il mio parere su una domanda del genere è del tutto irrilevante: è solo quello del tuo professore a contare, perché sarà lui a giudicare la tua preparazione e non io. Dovresti confrontarti con lui e chiedergli che risoluzione si aspettava in un esercizio del genere.
Piuttosto, qui:
e qui:
Che intendi dire? Vuoi dire che se una funzione derivabile ha derivata mai nulla allora quella funzione non ha massimo e non ha minimo?
Piuttosto, qui:
"lackyluk":
Il perchè di questo mi è anche tutto sommato chiaro.
Partendo da ciò, l'esercizio in questione sembrava doversi concludere con nessun punto critico quindi nessun massimo/minino da analizzare
e qui:
"lackyluk":
No derivate parziali entrambe uguali a zero => no punti di massmo/minimo!
Che intendi dire? Vuoi dire che se una funzione derivabile ha derivata mai nulla allora quella funzione non ha massimo e non ha minimo?
No ovviamente.
Tutto questo mio post gira intorno al fatto che io ho un solo strumento per risolvere un certo tipo di esercizio ed in questo caso lo strumento fallisce ed io, teoricamente, non sarei tenuto a sapere pressoché nient'altro (rispetto a questo specifico tipo di esercizio).
Comunque si, sarà anche questo materia di confronto con chi ha proposto l'esercizio.
Grazie dell'aiuto e del confronto Mephlip.
Un saluto.
Tutto questo mio post gira intorno al fatto che io ho un solo strumento per risolvere un certo tipo di esercizio ed in questo caso lo strumento fallisce ed io, teoricamente, non sarei tenuto a sapere pressoché nient'altro (rispetto a questo specifico tipo di esercizio).
Comunque si, sarà anche questo materia di confronto con chi ha proposto l'esercizio.
Grazie dell'aiuto e del confronto Mephlip.
Un saluto.
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