MAx Minimi Assoluti funzione a 2 variabili
Salve a tutti... non so più dove sbattere la testa per riuscire a capire come trovare sti benedetti massimi e minimi assoluti... solitamente mi viene richiesto di studiarli quando devo studiare la funzione in un semicerchio, in un quadrato, in un triangolo etc.... Metto qui di seguito quel poco che riesco a fare:
La funzione che devo studiare (ad esempio) è f(x,y) = 5y(x^2-1) + 2y^2 - 1 nel quadrato di vertici A=(0,1) , B=(1,1) , C=(1,0) e O=(0,0)
Allora al solito la prima cosa che è trovare le derivate prime:
f'_x(x,y) = 10yx
f'_y(x,y) = 5x^2 - 5 + 4y
Vedo dove si annullano le due derivate (penso che devo fare il sistema... devo trovare i punti in cui si annullano le 2 derivate INSIEME.. no?) :
Allora.. i punti in cui le due derivate si annullano sono:
a= (0,5/4) , b= (-1,0) , c= (1,0)
Ecco qui cominciano le perplessità ... un punto è a= (0, 5/4) ... 5/4}> 1 quindi fuori dal riquadro.. di conseguenza non lo devo considerare (giusto?).. lo stesso vale per b= (-1,0)
Ecco quindi considero l'unico punto che mi è rimasto che è c= (1,0)
Ma che devo fare con questo punto?
Da quanto ho capito io dalle spiegazione non è questo il punto di massimo o minimo... quindi???
Vi ringrazio in anticipo
La funzione che devo studiare (ad esempio) è f(x,y) = 5y(x^2-1) + 2y^2 - 1 nel quadrato di vertici A=(0,1) , B=(1,1) , C=(1,0) e O=(0,0)
Allora al solito la prima cosa che è trovare le derivate prime:
f'_x(x,y) = 10yx
f'_y(x,y) = 5x^2 - 5 + 4y
Vedo dove si annullano le due derivate (penso che devo fare il sistema... devo trovare i punti in cui si annullano le 2 derivate INSIEME.. no?) :
Allora.. i punti in cui le due derivate si annullano sono:
a= (0,5/4) , b= (-1,0) , c= (1,0)
Ecco qui cominciano le perplessità ... un punto è a= (0, 5/4) ... 5/4}> 1 quindi fuori dal riquadro.. di conseguenza non lo devo considerare (giusto?).. lo stesso vale per b= (-1,0)
Ecco quindi considero l'unico punto che mi è rimasto che è c= (1,0)
Ma che devo fare con questo punto?
Da quanto ho capito io dalle spiegazione non è questo il punto di massimo o minimo... quindi???
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Quindi adesso non ti rimane che studiare la funzione sul bordo del dominio...
E come si fa?
Ad esempio in questo caso... considero la frontiera OC dove y=0 e 0
z=f(x,y) = 5y (x^2 -1 ) + 2y^2 - 1 che diventa
z=f(x,0) = -1
La sua derivata è 0
Ripeto questo con le altre tre frontiere (AB, BC, OA)
Esatto??? se si come continuo?
Ad esempio in questo caso... considero la frontiera OC dove y=0 e 0
z=f(x,y) = 5y (x^2 -1 ) + 2y^2 - 1 che diventa
z=f(x,0) = -1
La sua derivata è 0
Ripeto questo con le altre tre frontiere (AB, BC, OA)
Esatto??? se si come continuo?
Su OC non hai bisogno di fare derivate perche' la funzione e'
ivi costante ed uguale a -1:f(x,0)=-1.
Su CB hai $x=1, 0<=y<=1$ e dunque:
$f(1,y)=2y^2-1$
Derivando ed eguagliando a zero hai y=0 e pertanto:
$f(1,0)=-1,f(1,1)=1$
Ripeti il procedimento per BA e AO (ricordando di calcolare la funzione
anche agli estremi del dominio corrispondente ) e poi confrontando
tutti i valori che ottieni ricavi il minimo ed i massimo assoluti.
karl
ivi costante ed uguale a -1:f(x,0)=-1.
Su CB hai $x=1, 0<=y<=1$ e dunque:
$f(1,y)=2y^2-1$
Derivando ed eguagliando a zero hai y=0 e pertanto:
$f(1,0)=-1,f(1,1)=1$
Ripeti il procedimento per BA e AO (ricordando di calcolare la funzione
anche agli estremi del dominio corrispondente ) e poi confrontando
tutti i valori che ottieni ricavi il minimo ed i massimo assoluti.
karl
"karl":
S
Derivando ed eguagliando a zero hai y=0 e pertanto:
$f(1,0)=-1,f(1,1)=1$
Se y fosse stato diverso da 0 ???
Ad esempio... nella frontiera OA -> x=0 0
f(0,y)=-5y + 2y^2 - 1
f'(0,y)=4y-5
Qui come mi devo comportare.. cosa cambia rispetto a prima?
é come se tu fissassi una variabile e studiassi una funzione che ha adesso 1 sola variabile...
Si ma in questo caso ad esempio eguaglio a 0.. la derivata prima è uguale a 0 quando y= 5 ... con questo 5 che ci devo fare?
Beh quello $(y_0)$ sarà il valore di y per il quale si ha un punto stazionario per la funzione, quindi per trovare quanto effetivamente vale questo punto, basta che fai $f(x_0)$ poi confronti tutti i risultati ottenuti e prendi il massimo dei massimi ed il minimo dei minimi. Però ricorda di studiare anche quanto vale tale funzione agli estremi dell'intervallo, infatti potresti avere un massimo assoluto proprio in quel punto, anche se non necessariamente dovesse essere un punto stazionario...
Vuoi dire che devo studiare la funzione oltre che agli estremi (cioè $f(0,0) $ e $f(0,1)$ )anche nel punto $ f(0,5) $ ???
Beh chiaramente devi considerare solo quei punti appartenenti all'intervallo da te scelto... Sicuramente quindi $y=5$ no, perchè addirittura al di fuori del quadrato...
Ah si si giusto.. e se fosse stato interno al riquadro (neanche sul bordo) la dovevo considerare f(0,5)?
Se ho capito bene quel 5 che trovo servirebbe a questo
Se ho capito bene quel 5 che trovo servirebbe a questo
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