Max-Min-Sup-Inf di una successione
Prima di tutto un saluto a tutti e auguri di buon anno 
Sto studiando le successioni e mi sono trovato in difficoltà con questa in particolare.
$log(1+(-1)^n+n/(n+1))$ n = 1, 2, 3, ...
Il quesito chiede, se esiste, il estremo superiore, inferiore , massimo e minimo.
Osservando l'andamento della successione i miei risultati sono $Sup=log3$ e $min=Inf=log(1/2)$
Il tutto ovviamente sbagliato nelle soluzioni, che dà come $Sup=log2$ e Inf, min, Max non esistenti.
Dove sbaglio? Esiste un procedimento particolare per trovare tali numeri?
Grazie mille per le risposte.
LeXuS4oK
Sto studiando le successioni e mi sono trovato in difficoltà con questa in particolare.
$log(1+(-1)^n+n/(n+1))$ n = 1, 2, 3, ...
Il quesito chiede, se esiste, il estremo superiore, inferiore , massimo e minimo.
Osservando l'andamento della successione i miei risultati sono $Sup=log3$ e $min=Inf=log(1/2)$
Il tutto ovviamente sbagliato nelle soluzioni, che dà come $Sup=log2$ e Inf, min, Max non esistenti.
Dove sbaglio? Esiste un procedimento particolare per trovare tali numeri?
Grazie mille per le risposte.
LeXuS4oK
Risposte
Il termine generale della successione si può scrivere così
$a_n = \{(\log(3 - \frac{1}{n+1}), "se " n " è pari"),(\log(1 - \frac{1}{n+1}), "se " n " è dispari"):}$
Si nota che $3 - \frac{1}{n+1} > 1 - \frac{1}{n+1}$, dunque $\log(3 - \frac{1}{n+1}) > \log(1 - \frac{1}{n+1})$, visto che il logaritmo naturale è funzione monotòna crescente.
Di conseguenza il sup va cercato considerando la sottosuccessione degli indici pari, l'inf considerando la sottosuccessione degli indici dispari. La successione $\{\log(3 - \frac{1}{n+1})\}_{n " pari"}$ è monotòna crescente, pertanto il sup vale $\lim_{n \to +\infty} \log(3 - \frac{1}{n+1}) = \log(3)$. Da questo si nota anche che il max non esiste, da che l'equazione $\log(3 - \frac{1}{n+1}) = \log(3)$ non ha soluzione.
L'inf invece va cercato considerando la successione $\{\log(1 - \frac{1}{n+1})\}_{n " dispari"}$. Per le stesse ragioni di prima anche questa è monotòna crescente, pertanto l'inf si raggiunge al primo passo, cioè per $n=1$, e vale $\log(1 - \frac{1}{2}) = \log(\frac{1}{2})$, ed è anche il minimo.
$a_n = \{(\log(3 - \frac{1}{n+1}), "se " n " è pari"),(\log(1 - \frac{1}{n+1}), "se " n " è dispari"):}$
Si nota che $3 - \frac{1}{n+1} > 1 - \frac{1}{n+1}$, dunque $\log(3 - \frac{1}{n+1}) > \log(1 - \frac{1}{n+1})$, visto che il logaritmo naturale è funzione monotòna crescente.
Di conseguenza il sup va cercato considerando la sottosuccessione degli indici pari, l'inf considerando la sottosuccessione degli indici dispari. La successione $\{\log(3 - \frac{1}{n+1})\}_{n " pari"}$ è monotòna crescente, pertanto il sup vale $\lim_{n \to +\infty} \log(3 - \frac{1}{n+1}) = \log(3)$. Da questo si nota anche che il max non esiste, da che l'equazione $\log(3 - \frac{1}{n+1}) = \log(3)$ non ha soluzione.
L'inf invece va cercato considerando la successione $\{\log(1 - \frac{1}{n+1})\}_{n " dispari"}$. Per le stesse ragioni di prima anche questa è monotòna crescente, pertanto l'inf si raggiunge al primo passo, cioè per $n=1$, e vale $\log(1 - \frac{1}{2}) = \log(\frac{1}{2})$, ed è anche il minimo.
Prima di tutto ti ringrazio per avermi risposto Tipper.
Noto con piacere che i miei risultati coincidono con i tuoi, anche se purtroppo i miei sono nati da ragionamenti meno analitici
Osservando la successione, il mio ragionamento è stato:
L'argomento del logaritmo $(1+(-1)^n+n/(n+1))$ è una successione composta da tre sottosuccessioni:
$1$ : una successione costante che quindi ha max = min = 1
$(-1)^n$ : una successione limtata non monotòna con max = 1 e min =-1
$n/(n+1)$ : una successione monotòna crescente con min = $1/2$ e max inesistente con limite superiore = 1
Quindi cercando il min dell'argomento ho $1$ della prima successione, che si annulla con $-1$ della seconda, resta quindi $1/2$.
Analogo il ragionamento che ho fatto per il max, inesistente per il fatto che la terza successione tenda a $1$ senza mai toccarlo. Quindi cercando il limite superiore ho:
$1$ per la prima successione, $1$ per la seconda, e infine ancora $1$ per la terza.
E' un ragionamento troppo alla buona il mio?
Come ultima cosa, la tua divisione della successione:
$a_n = \{(\log(3 - \frac{1}{n+1}), se n è pari),(\log(1 - \frac{1}{n+1}), se n è dispari):}$
Come l'hai ottenuta? se n è pari non dovrebbe essere $log(2+n/(n+1))$ e se n è dispari $log(n/(n+1))$ ?
Ultima cosina
: cosa significano i quattro punti interrogativi nelle quadre?
Sperando nella tua pazienza ti ringrazio ancora.
LeXuS4oK
Noto con piacere che i miei risultati coincidono con i tuoi, anche se purtroppo i miei sono nati da ragionamenti meno analitici
Osservando la successione, il mio ragionamento è stato:
L'argomento del logaritmo $(1+(-1)^n+n/(n+1))$ è una successione composta da tre sottosuccessioni:
$1$ : una successione costante che quindi ha max = min = 1
$(-1)^n$ : una successione limtata non monotòna con max = 1 e min =-1
$n/(n+1)$ : una successione monotòna crescente con min = $1/2$ e max inesistente con limite superiore = 1
Quindi cercando il min dell'argomento ho $1$ della prima successione, che si annulla con $-1$ della seconda, resta quindi $1/2$.
Analogo il ragionamento che ho fatto per il max, inesistente per il fatto che la terza successione tenda a $1$ senza mai toccarlo. Quindi cercando il limite superiore ho:
$1$ per la prima successione, $1$ per la seconda, e infine ancora $1$ per la terza.
E' un ragionamento troppo alla buona il mio?
Come ultima cosa, la tua divisione della successione:
$a_n = \{(\log(3 - \frac{1}{n+1}), se n è pari),(\log(1 - \frac{1}{n+1}), se n è dispari):}$
Come l'hai ottenuta? se n è pari non dovrebbe essere $log(2+n/(n+1))$ e se n è dispari $log(n/(n+1))$ ?
Ultima cosina
: cosa significano i quattro punti interrogativi nelle quadre?Sperando nella tua pazienza ti ringrazio ancora.
LeXuS4oK
"LeXuS4oK":
Come ultima cosa, la tua divisione della successione:
$a_n = \{(\log(3 - \frac{1}{n+1}), se n è pari),(\log(1 - \frac{1}{n+1}), se n è dispari):}$
Come l'hai ottenuta? se n è pari non dovrebbe essere $log(2+n/(n+1))$ e se n è dispari $log(n/(n+1))$ ?
Li ha ottenuti a partire dai tuoi aggiungendo e sottrarendo al numeratore $1$: ossia:
$log(2+n/(n+1))=log(2+((n+1)-1)/(n+1))=log(2+1-1/(n+1))=log(3-1/(n+1))$
$log(n/(n+1))=log(((n+1)-1)/(n+1))=log(1-1/(n+1))$.
Grazie gugo, un pò per l'ora un pò perchè devo avere qualche deficit non ci ero arrivato
Il motivo di tale passaggio è rendere più visibile la "differenza" tra i due argomenti immagino...
Grazie a entrambi per le risposte
Ci si legge in giro per le sezioni prossimamente
Un saluto, LeXuS4oK
Il motivo di tale passaggio è rendere più visibile la "differenza" tra i due argomenti immagino...
Grazie a entrambi per le risposte
Ci si legge in giro per le sezioni prossimamente
Un saluto, LeXuS4oK
Quindi deve valere $a_n = a_m$. Grazie per la definizione Sergio.
L'utilizzo di funzioni che regolano gli indici con uscite rispettavamente pari e dispari è un applicazine al caso specifico?
LeXuS4oK
L'utilizzo di funzioni che regolano gli indici con uscite rispettavamente pari e dispari è un applicazine al caso specifico?
LeXuS4oK
"Sergio":
[quote="LeXuS4oK"]Quindi deve valere $a_n = a_m$. Grazie per la definizione Sergio.
Prego
Ma.... non direi $a_n=a_m$. Forse volevi dire che i termini di una sottosuccessione devono essere presenti nella successione originale, e questo è vero. Non a caso, le sottosuccessioni si chiamano anche "successioni estratte", cioè composte da temini "estratti" da quella data."LeXuS4oK":
L'utilizzo di funzioni che regolano gli indici con uscite rispettavamente pari e dispari è un applicazine al caso specifico?
Sì. Le funzioni $g(n)=2n$ e $h(n)=2n-1$ consentono di estrarre, rispettivamente, i termini pari e quelli dispari della successione data e di ottenere da $a_n=a_1,a_2,a_3,a_4,...$ le due sottosuccessioni:
a) $a_(g(n))=a_2,a_4,...$
b) $a_(h(n))=a_1,a_3,...$[/quote]
Mi sono espresso male, nelle successioni estratte $a_g(n)$ e $a_h(n)$ ci saranno solo indici pari nell'una e solo indici dispari nell'altra, quindi preso un qualsiasi indice dall'una o l'altra successione estratta (cioè $g(n)$ e $h(n) = n$ *) ho $"a_g(n) = a_n"$ o $"a_h(n) = a_n"$.
*Nasce l'equivoco perchè nello stesso momento n non è lo stesso nella successione di partenza e in una delle successioni estratte, più corretto sarebbe chiamare n l'ingresso della successione di partenza e m quello della successione estratta sebbe siano entrambi numeri naturali positivi.
Ovviamente se ho capito bene, correggimi se sbaglio
Ok stamattina un pò meno assonnato , ho avuto l'idea di buttare giù una piccola rappresentazione grafica di quello che volevo dire.
L'idea è che nelle ultime due successioni gli indici, o sono pari o sono dispari (poichè l'indice è dettato rispettivamente dalla funzione $g(n)$ e $h(n)$), come hai fatto vedere tu sopra. Quindi utilizzando lo stesso n sia per l'entrata in una sottosuccessione che come entrata nella successione completa non si ottengono gli stessi risultati. Si ottengono invece gli stessi risultati utilizzando lo stesso indice di una successione estratta (cioè l'uscita di $g$ o $h$) e nella successione completa, poichè lo scopo delle due funzioni è appunto regolare l'entrata, rispettivamente, di numeri pari in una e dispari nell'altra (che è appunto il motivo per il quale la successione e stata divisa in due sottosuccessioni).
Ovvio, il tutto visto da studente che come te sta cercado di imparare la materia.
LeXuS4oK
, ho avuto l'idea di buttare giù una piccola rappresentazione grafica di quello che volevo dire.
L'idea è che nelle ultime due successioni gli indici, o sono pari o sono dispari (poichè l'indice è dettato rispettivamente dalla funzione $g(n)$ e $h(n)$), come hai fatto vedere tu sopra. Quindi utilizzando lo stesso n sia per l'entrata in una sottosuccessione che come entrata nella successione completa non si ottengono gli stessi risultati. Si ottengono invece gli stessi risultati utilizzando lo stesso indice di una successione estratta (cioè l'uscita di $g$ o $h$) e nella successione completa, poichè lo scopo delle due funzioni è appunto regolare l'entrata, rispettivamente, di numeri pari in una e dispari nell'altra (che è appunto il motivo per il quale la successione e stata divisa in due sottosuccessioni).
Ovvio, il tutto visto da studente che come te sta cercado di imparare la materia.
LeXuS4oK
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo