Max, min funzione a due variabili
Salve a tutti
ho la seguente funzione $x^2*log(x+y)$, derivando prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$ e mettendo a sistema ottengo un insieme di punti critici $(0,y)$, in quell'insieme l'hessiano è nullo, pertando devo procedere in altro modo. Mi chiedo posso considerare il punto $(0,0)$ e considerare la retta $mx$, che sostituendola nella funzione ottengo la funzione $f(x,mx)$ derivando ottengo che si annulla per $x=0$. Eppure da alcuni calcoli empirici mi aspetto che un punto di minimo esista quando l'argomento del logaritmo è compreso tra $0$ e $1$, in particolare dovrebbe esserci un punto critico, ovvero di minimo quando $y=0$ e $x$ compreso in qualche valore tra $0$ e $1$. Non sto riuscendo a capire dove sbaglio.
Grazie a tutti per gli eventuali suggerimenti.
ho la seguente funzione $x^2*log(x+y)$, derivando prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$ e mettendo a sistema ottengo un insieme di punti critici $(0,y)$, in quell'insieme l'hessiano è nullo, pertando devo procedere in altro modo. Mi chiedo posso considerare il punto $(0,0)$ e considerare la retta $mx$, che sostituendola nella funzione ottengo la funzione $f(x,mx)$ derivando ottengo che si annulla per $x=0$. Eppure da alcuni calcoli empirici mi aspetto che un punto di minimo esista quando l'argomento del logaritmo è compreso tra $0$ e $1$, in particolare dovrebbe esserci un punto critico, ovvero di minimo quando $y=0$ e $x$ compreso in qualche valore tra $0$ e $1$. Non sto riuscendo a capire dove sbaglio.
Grazie a tutti per gli eventuali suggerimenti.
Risposte
in quei punti la funzione è nulla, disegna la retta di equazione $x+y-1=0$ in quanto, al di sopra di essa la funzione è ... mentre al di sotto......
"luluemicia":
in quei punti la funzione è nulla, disegna la retta di equazione $x+y-1=0$ in quanto, al di sopra di essa la funzione è ... mentre al di sotto......
Sopra è positiva e sotto e negativa. Se poi in $(0,y)$ la funzione è zero, inevitabile diventa che vi sia un punto di minimo quando l'argomento è tra $(0,1)$. Disegnandomi la retta come arrivo poi ad individuare questo punto di minimo?
Considerando le due componenti della funzione $x^2$ e $log(x+y)$ ed essendo il primo componente un infinitesimo di ordine superiore che considera solo la $x$ rispetto al secondo, posso stabilire che il punto di minimo sarà quando $y=0$, ma come mi trovo la $x$?
beh inserendo $0$ al posto della $y$, ottengo una funzione in una variabile e derivando ottengo che la derivata prima si annulla per $x =e^(-1/2)$. Difatto $f(e^(-1/2),0)$ mi sembra il mio punto di minimio cercato.
Anche se dovesse essere corretto, tutta la procedura che ho seguito non mi sembra molto corretta, ovvero potrei essere stato solo fortunato. Come mai i normali strumenti di ricerca di massimo e minimo relativo non mi hanno segnalato quel punto?
Se ho sbagliato nell'applicarli, dove? ovvero era possibile individuarlo, qualora fosse giusto, diversamente?
Grazie in anticipo, i vostri suggerimenti sono molto preziosi.
Anche se dovesse essere corretto, tutta la procedura che ho seguito non mi sembra molto corretta, ovvero potrei essere stato solo fortunato. Come mai i normali strumenti di ricerca di massimo e minimo relativo non mi hanno segnalato quel punto?
Se ho sbagliato nell'applicarli, dove? ovvero era possibile individuarlo, qualora fosse giusto, diversamente?
Grazie in anticipo, i vostri suggerimenti sono molto preziosi.
attento , in $(0;y)$ trovi min. rel se $ 01$ e "niente" se $y=1$; perchè parli di punto di min al singolare?
Tieni anche presente che qui non esistono nè min, nè max assoluti
Tieni anche presente che qui non esistono nè min, nè max assoluti
Ciao e grazie dei suggerimenti.
Innanzitutto vorrei dire che anche a me questa funzione sembra abbastanza strana nel suo studio, oppure sono io che la vedo così.
Parlo di un punto di minimo relativo perchè ho fatto i seguenti ragionamenti.
Sappiamo che se l'argomento della funzione logaritmo è compreso tra $0$ e $1$ allora la funzione è negativa, tuttavia essa non assume limite - infinito perchè, se $x$ e $y$ tendono a $0$, allora la funzione $f(x,y)=x^2*log(x+y)$ converge a zero, e questo perchè la funzione $x^2$ è di ordine superiore a $log(x+y)$, cioè converge più velocemente della funzione logaritmica. D'altra parte so anche che se l'argomento di $log$ è $>=1$ allora la funzione $log$ è $>=0$ sempre. Pertanto la funzione $fx,y)$ nel suo dominio sarà dapprima decrescente e poi crescente. Come arrivo a determinare allora il punto di minimo?
Ho seguito alcune intuizioni che sono:
Innanzitutto osservo che il mio punto di minimo relativo deve trovarsi quando $0
Sostituendo in $f(x,y)$ al posto di $y$ il valore $0$, ottengo $f(x,0)=x^2*log(x)$, derivando ottengo $2xlog(x) + x$ che si annulla in $x=0$ e in $e^(-1/2)$. Ed infatti se considero il punto $f(e^(-1/2),0)$ ottengo un punto di minimo, rispetto al dominio della funzione.
Ho sviluppato anche una matrice di dati localmente e rappresentandola si vede in effetti che quello risulta essere un punto di minimo.
Ciò che non mi convince è la procedura che ho seguito, che non è standard (non so se ci sia una procedura standard quando l'Hessiano è nullo), e che se fosse corretta ed unica richiede uno studio che trascende il tempo a disposizione durante l'esame, almeno per quanto riguarda le mie facoltà.
Vi è inoltre da dire che tale punto non appartiene all'insieme dei punti critici, il che è strano. Sbaglio in qualche cosa ma non ho capito dove, anche perchè, ripeto, rappresentando la funzione si vede che quel punto di minimo esiste.
Innanzitutto vorrei dire che anche a me questa funzione sembra abbastanza strana nel suo studio, oppure sono io che la vedo così.
Parlo di un punto di minimo relativo perchè ho fatto i seguenti ragionamenti.
Sappiamo che se l'argomento della funzione logaritmo è compreso tra $0$ e $1$ allora la funzione è negativa, tuttavia essa non assume limite - infinito perchè, se $x$ e $y$ tendono a $0$, allora la funzione $f(x,y)=x^2*log(x+y)$ converge a zero, e questo perchè la funzione $x^2$ è di ordine superiore a $log(x+y)$, cioè converge più velocemente della funzione logaritmica. D'altra parte so anche che se l'argomento di $log$ è $>=1$ allora la funzione $log$ è $>=0$ sempre. Pertanto la funzione $fx,y)$ nel suo dominio sarà dapprima decrescente e poi crescente. Come arrivo a determinare allora il punto di minimo?
Ho seguito alcune intuizioni che sono:
Innanzitutto osservo che il mio punto di minimo relativo deve trovarsi quando $0
Sostituendo in $f(x,y)$ al posto di $y$ il valore $0$, ottengo $f(x,0)=x^2*log(x)$, derivando ottengo $2xlog(x) + x$ che si annulla in $x=0$ e in $e^(-1/2)$. Ed infatti se considero il punto $f(e^(-1/2),0)$ ottengo un punto di minimo, rispetto al dominio della funzione.
Ho sviluppato anche una matrice di dati localmente e rappresentandola si vede in effetti che quello risulta essere un punto di minimo.
Ciò che non mi convince è la procedura che ho seguito, che non è standard (non so se ci sia una procedura standard quando l'Hessiano è nullo), e che se fosse corretta ed unica richiede uno studio che trascende il tempo a disposizione durante l'esame, almeno per quanto riguarda le mie facoltà.
Vi è inoltre da dire che tale punto non appartiene all'insieme dei punti critici, il che è strano. Sbaglio in qualche cosa ma non ho capito dove, anche perchè, ripeto, rappresentando la funzione si vede che quel punto di minimo esiste.
ciao,
fissa $x$ diverso da 0 e fai tendere $y$ a $-x$ da destra: trovi che il limite è meno infinito.
fissa $x$ diverso da 0 e fai tendere $y$ a $-x$ da destra: trovi che il limite è meno infinito.
"luluemicia":
ciao,
fissa $x$ diverso da 0 e fai tendere $y$ a $-x$ da destra: trovi che il limite è meno infinito.
Ok perfetto, quello trovato è solo un punto di minimo locale.
Non so perchè ma mi ero fissato sul fatto che $log$ potesse essere negativa solo se sia $x$ che $y$ fossero comprese tra $0$ e $1$, e la loro somma non avrebbe fatto mai più di $1$. Pertanto l'insieme dei punti $(0,y)$ non è ne di minimo ne di massimo, ma forse non sono neanche di sella. Perchè la funzione cambia di orientamento in un punto $x$ diverso da $0$.
Grazie mille.
attento, quello che tu hai trovato non è punto di min , neppure relativo (lo è solo della restrizione al semiasse positivo delle x): basta che osservi che se, fissata la tua ascissa, scegli l'ordinata negativa (restando nel dominio, ovviamente), la f risulta più piccola di quanto vale nel "tuo punto".
Ancora attento: per esempio sia $y>1$, abbiamo detto che in (0;y) la funzione si annulla. Pensa a un cerchio "abbastanza piccolo" con centro in tale punto. Comè è la funzione "nel cerchietto"? e allora il punto che cosa è?
Ancora attento: per esempio sia $y>1$, abbiamo detto che in (0;y) la funzione si annulla. Pensa a un cerchio "abbastanza piccolo" con centro in tale punto. Comè è la funzione "nel cerchietto"? e allora il punto che cosa è?
"luluemicia":
attento, quello che tu hai trovato non è punto di min , neppure relativo (lo è solo della restrizione al semiasse positivo delle x): basta che osservi che se, fissata la tua ascissa, scegli l'ordinata negativa (restando nel dominio, ovviamente), la f risulta più piccola di quanto vale nel "tuo punto".
Ancora attento: per esempio sia $y>1$, abbiamo detto che in (0;y) la funzione si annulla. Pensa a un cerchio "abbastanza piccolo" con centro in tale punto. Comè è la funzione "nel cerchietto"? e allora il punto che cosa è?
Si infatti, l'ho richiamato un punto di minimo locale (non relativo), o se vogliamo è un minimo assoluto in quella restrizione.
Beh rispetto all'insieme dei punti $(0,y)$ direi che la funzione nel cerchio di centro $(0,1)$ può assumere valori sia positiv che negativi.
Infatti se considero un intorno rispetto al punto $(0,1)$ posso avere anche valori di $x$ negativi che mi mandano la funzione $log$ in negativo se $x+y<1$.
E, per esempio, (0;2)?
"luluemicia":
E, per esempio, (0;2)?
In un intorno di (0,2) la funzione è ovunque positiva, e si annulla in (0,2), che è punto critico. Quindi (0,2), come tutti i punti critici del tipo (0,y), con y > 1, sono punti di minimo?
Mentre i punti critici (0,y), con y compreso tra 0 e 1, sono tutti punti di massimo? (dato che in ogni loro intorno la funzione assume ovunque valori negativi, e si annulla proprio nel punto critico). Sbaglio?
"luluemicia":
E, per esempio, (0;2)?
In $(0,2)$ la funzione è $0$ così come in tutti i punti $(0,y)$. Il fatto è che se consideriamo un intorno di punti del punto $(0,1)$ la funzione può essere positiva o negativa, diversamente se consideriamo un intorno di punti di $(0,1/2)$ la funzione è sempre negativa. Voglio dire tale insieme di punti non mi sembra neanche di sella. Secondo me in questo caso non si può dire nulla. Anche rappresentando graficamente la funzione l'insieme dei punti critici $(0,y)$ sembra non avere particolari proprietà.
"Roow":
[quote="luluemicia"]E, per esempio, (0;2)?
In un intorno di (0,2) la funzione è ovunque positiva, e si annulla in (0,2), che è punto critico. Quindi (0,2), come tutti i punti critici del tipo (0,y), con y > 1, sono punti di minimo?
Mentre i punti critici (0,y), con y compreso tra 0 e 1, sono tutti punti di massimo? (dato che in ogni loro intorno la funzione assume ovunque valori negativi, e si annulla proprio nel punto critico). Sbaglio?
[/quote]ok (metti non negativa al posto di positiva, e non positivi al posto di negativi perchè la funzione si annulla nei punti del semiasse positivo delle y)
"luluemicia":
ok (metti non negativa al posto di positiva, e non positivi al posto di negativi perchè la funzione si annulla nei punti del semiasse positivo delle y)
Ah sìsì certo, hai ragione
Un'ultima cosa: il punto critico (0,1) quindi è di sella? Dato che in un intorno di tale punto la funzione assume sia valori positivi che valori negativi? (oltre ad annullarsi nei punti dell'intorno di (0,1) che si trovano sul semiasse positivo delle y e sulla retta di equazione y = -x + 1).
sì
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