Max, min e sella
Provare che il punto (0, 0) è un punto di minimo relativo per la funzione $f(x, y) = y^4 − 3x^2y + y^2 + 3$
Inoltre un altro esercizio mi dice di provare che il punto (0, 0) è un punto di sella per la funzione $f(x, y) = x^4 − 3y^2x + x^2 + 3$
Svolgendo l'esercizio 1 trovo che l'Hessiano del punto (0,0) è 0..quindi non posso sapere se e max min o sella...anke l'altro esercizio (essendo uguale ma a variabili invertite) ha Hessiano 0.
Come si risolve?? grazie
Inoltre un altro esercizio mi dice di provare che il punto (0, 0) è un punto di sella per la funzione $f(x, y) = x^4 − 3y^2x + x^2 + 3$
Svolgendo l'esercizio 1 trovo che l'Hessiano del punto (0,0) è 0..quindi non posso sapere se e max min o sella...anke l'altro esercizio (essendo uguale ma a variabili invertite) ha Hessiano 0.
Come si risolve?? grazie
Risposte
Ti aiuto provando a farti ragionare. Cosa significa che un punto è di minimo? E di massimo? Oppure di sella?
E poi forte delle definizioni, intuitivamente come lo posso verificare? Al di là della ovviamente ineccepibile teoria dell'uso dell'hessiano...
Pensaci!
E poi forte delle definizioni, intuitivamente come lo posso verificare? Al di là della ovviamente ineccepibile teoria dell'uso dell'hessiano...
Pensaci!
"ninja986":
Provare che il punto (0, 0) è un punto di minimo relativo per la funzione $f(x, y) = y^4 − 3x^2y + y^2 + 3$
Inoltre un altro esercizio mi dice di provare che il punto (0, 0) è un punto di sella per la funzione $f(x, y) = x^4 − 3y^2x + x^2 + 3$
Svolgendo l'esercizio 1 trovo che l'Hessiano del punto (0,0) è 0..quindi non posso sapere se e max min o sella...anke l'altro esercizio (essendo uguale ma a variabili invertite) ha Hessiano 0.
Come si risolve?? grazie
Poni y = $\lambda$ x e dimostra che nel primo caso hai una derivata seconda positiva per ogni valore di $\lambda$, mentre nel secondo caso la derivata seconda dovrebbe cambiare segno al variare di $\lambda$ (se è davvero un punto di sella).
nn riesco a seguirti...
"ninja986":
nn riesco a seguirti...
Cerca di immaginare la superficie di equazione z=f(x,y).
Che cosa si otterrebbe tagliando questa superficie con un piano di equazione y = $\lambda$ x ?
sidereus...ho capito il tuo consiglio..cercavo di capire quello di lord K...kmq dovrei utilizzare la derivata seconda x parlare della definizione dell'hessiano...cioe x vedere se e definita positiva o negativa??
"ninja986":
sidereus...ho capito il tuo consiglio..cercavo di capire quello di lord K...
Sono più o meno equivalenti.
Il senso che ti volevo suggerire è (con il minimo):
Dato un intorno $U_(\bar x_0)$, $\barx_0$ si dice di minimo(locale) e si denota con $min_(RR^2) f(x,y)=f(\barx_0)$ se comunque preso $\barx in U_(\barx_0)$ ho che $f(\barx)>=f(\barx_0)$
O anche, quale che sia la successione di elementi che converge a $\bar x_n rightarrow \barx in U_(\bar x_0)$ ho che $f(x_n)>=f(x_0)$. Seguendo delle opportune successioni potresti comunque trovare che esistono massimi o minimi...
Dato un intorno $U_(\bar x_0)$, $\barx_0$ si dice di minimo(locale) e si denota con $min_(RR^2) f(x,y)=f(\barx_0)$ se comunque preso $\barx in U_(\barx_0)$ ho che $f(\barx)>=f(\barx_0)$
O anche, quale che sia la successione di elementi che converge a $\bar x_n rightarrow \barx in U_(\bar x_0)$ ho che $f(x_n)>=f(x_0)$. Seguendo delle opportune successioni potresti comunque trovare che esistono massimi o minimi...
"ninja986":
...kmq dovrei utilizzare la derivata seconda x parlare della definizione dell'hessiano...cioe x vedere se e definita positiva o negativa??
La matrice hessiana nel primo problema è $((0,0),(0,2))$
La forma quadratica ad essa associata è $2 y^2$, che è definita positiva in ogni intorno di (0,0). Pertanto...
sidereus..per il primo problema va tutto ok...x il secondo invece effettuando la sostituzione ho ke la derivata seconda è
$f(x, y) = x^4 − 3y^2x + x^2 + 3 $
posto y=λx $f(x,λx) = x^4 − 3λ^2x^3 + x^2 + 3 $
facendo la derivata seconda ho che $ 12x^2 − 18λ^2x + 2 $
e quindi...cosa posso dire...
$f(x, y) = x^4 − 3y^2x + x^2 + 3 $
posto y=λx $f(x,λx) = x^4 − 3λ^2x^3 + x^2 + 3 $
facendo la derivata seconda ho che $ 12x^2 − 18λ^2x + 2 $
e quindi...cosa posso dire...
Guarda il secondo è molto semplice! Anche perchè non devi fare neanche la fatica di ricavarti i punti critici! Te lo da lui!
Dopo che ti sei trovato le derivate parziali ti costruisci la matrice Hessiana! E da li vedrai poi che il punto $(0, 0)$ è un punto di sella!
fai sempre un passetto alla volta!
Prima derivate parziali!
Ti costruisci la matrice hessiana!
Sostituisci nella matrice i punti critici!
Dopo che ti sei trovato le derivate parziali ti costruisci la matrice Hessiana! E da li vedrai poi che il punto $(0, 0)$ è un punto di sella!
fai sempre un passetto alla volta!
Prima derivate parziali!
Ti costruisci la matrice hessiana!
Sostituisci nella matrice i punti critici!
il secondo ha hessiano uguale a 0...quindi nn sarebbe di sella
"ninja986":
il secondo ha hessiano uguale a 0...quindi nn sarebbe di sella
Infatti. Ha tutta l'aria di essere un minimo
eh...ke razza di esercizi...uno poi va in crisi...ke kakkio
ho un altro esercizio...provare ke x^3 - 3x y^2 nn abbiam max e min relativi...qst ha Hessiano nullo e inoltre tutti le componenti dell'hessiano sono 0...cosa pox fare??...tutti uguali so sti esercizi...ma ogni volta sono sempre diversi
Allora siccome anche io ho ancora un po di problemi come te proviamo a risolvere!
Abbiamo che
$(\partialf)/(\partialx) = 3x^2 - 3y^2$
$(\partialf)/(\partialy) = -6xy$
L'unico punto critico risulta essere $P = (0, 0)$
La matrice Hessiana $H_f = ((6x, -6y), (-6y, -6x))$ e nel punto $(0, 0)$ la matrice è nulla!
Ora non posso dire nulla sulla natura del punto $(0, 0)$!
Però posso provare a studiarmi il segno della funzione! Quindi cerco dove $f(x, y) >= 0$ cioè mi studio il segno!
$x^3 - 3xy^2 >= 0$ la $y$ è elevata ad un esponente pari quindi sarà sempre positiva quindi posso limitarmi allo studio di
$x^3 - 3x >= 0$ che mi da come risultati positivi tra $(-sqrt(3), 0) U (sqrt(3), infty)$
siccome la funzione è positiva a sinistra dello 0 (asse x negativo) e negativa a destra (asse x positivo) possiamo concludere che il punto (0, 0) è un punto di sella!
Ora.... ho detto un mucchio di cavolate oppure c'ho preso????
Abbiamo che
$(\partialf)/(\partialx) = 3x^2 - 3y^2$
$(\partialf)/(\partialy) = -6xy$
L'unico punto critico risulta essere $P = (0, 0)$
La matrice Hessiana $H_f = ((6x, -6y), (-6y, -6x))$ e nel punto $(0, 0)$ la matrice è nulla!
Ora non posso dire nulla sulla natura del punto $(0, 0)$!
Però posso provare a studiarmi il segno della funzione! Quindi cerco dove $f(x, y) >= 0$ cioè mi studio il segno!
$x^3 - 3xy^2 >= 0$ la $y$ è elevata ad un esponente pari quindi sarà sempre positiva quindi posso limitarmi allo studio di
$x^3 - 3x >= 0$ che mi da come risultati positivi tra $(-sqrt(3), 0) U (sqrt(3), infty)$
siccome la funzione è positiva a sinistra dello 0 (asse x negativo) e negativa a destra (asse x positivo) possiamo concludere che il punto (0, 0) è un punto di sella!
Ora.... ho detto un mucchio di cavolate oppure c'ho preso????
"clockover":
...Ora.... ho detto un mucchio di cavolate oppure c'ho preso????
Oddìo, qualche ingenuità ci sarebbe...
L'impostazione è corretta ma la disequazione non lo è.
Devi studiare il segno di $x^3-3xy^2=x(x-root(2)(3)y)(x+root(2)(3)y)$, per esempio disegnando i grafici delle rette $x=0$, $x-root(2)(3)y=0$ e $x+root(2)(3)y=0$. Si ottengono sei angoli con vertice in (0,0). Il segno della funzione cambia passando dall'interno di un angolo all'interno di un angolo adiacente. Sui lati la funzione è nulla. Il punto (0,0) è di sella.
[asvg]axes();
stroke="blue";
plot("(x*sqrt(3)/3)");
stroke="green";
plot("(-x*sqrt(3)/3)");
stroke="black";
line([2, 3], [3, 3]);
line([-2, 3], [-3, 3]);
line([-2.5, 2.5], [-2.5, 3.5]);
line([-3, 0.3], [-2, 0.3]);
line([-2, -2], [-2, -3]);
line([-2.5, -2.5], [-1.5, -2.5]);
line([2, -3], [3, -3]);
line([2, 0.3], [3, 0.3]);
line([2.5, 0.8], [2.5, -0.2]);[/asvg]
A parte la disequazione sbagliata enormemente l'impostazione è corretta dunque!
Quindi i passi da compiere sono:
1) derivate parziali (trovare i punti dove si annullano)
2) costruire una matrice hessiana e sostituire al suo interno i punti critici! Dove la matrice è positiva abbiamo un minimo, altrimenti il contrario!
3) se la matrice è indefinita dobbiamo ricorrere ad uno studio del segno della funzione
Ho dimenticato qualcosa?
Quindi i passi da compiere sono:
1) derivate parziali (trovare i punti dove si annullano)
2) costruire una matrice hessiana e sostituire al suo interno i punti critici! Dove la matrice è positiva abbiamo un minimo, altrimenti il contrario!
3) se la matrice è indefinita dobbiamo ricorrere ad uno studio del segno della funzione
Ho dimenticato qualcosa?
In pratica...se abbiamo l'Hessiano nullo..cosa si puo fare x capire se un punto è MAX, MIN o SELLA??
Scrivete tutti i metodi..
1) Studio del segno della funzione=bisogna vedere se nell'intorno del punto ci sono zone positive o negative..se ci sono solo zone positive allora è MIN..se ci sono solo zone negative allora è MAX...se ci sono zone positive e negative allora è SELLA
2) Forma quadratica=bisogna vedere come si presenta l'Hessiano del punto ke stiamo considerando..se è matrice nulla allora possiamo passare allo studio della funzione...se invece 1 componente della diagonale principale è diversa da 0, allora possiamo vedere di ke tipo è la forma quadratica associata all'Hessiano..
poi..conoscete altri metodi
Scrivete tutti i metodi..
1) Studio del segno della funzione=bisogna vedere se nell'intorno del punto ci sono zone positive o negative..se ci sono solo zone positive allora è MIN..se ci sono solo zone negative allora è MAX...se ci sono zone positive e negative allora è SELLA
2) Forma quadratica=bisogna vedere come si presenta l'Hessiano del punto ke stiamo considerando..se è matrice nulla allora possiamo passare allo studio della funzione...se invece 1 componente della diagonale principale è diversa da 0, allora possiamo vedere di ke tipo è la forma quadratica associata all'Hessiano..
poi..conoscete altri metodi
Uno dei metodi alternativi usati per questo tipo di problematiche è quello dello sviluppo in serie di Taylor della funzione, se ci pensate avete che:
$f(\vec x) = f(\vec x_0) + <(J_f)(\vec x_0)|(\vec x-\vec x_0)> + <(H_f)(\vec x_0)(\vec x - \vec x_0)|(\vec x - \vec x_0)> + o((\vec x - \vec x_0)^2)$
dove $$ è il prodotto scalare!
E da qui vengono valutati i massimi e minimi... come nel caso unidimensionale quando tutte le derivate sono nulle, si prosegue valutando le derivate successive, qui sarebbero da valutare i tensori successivi dello sviluppo di Taylor.
Ovviamente la cosa è parecchio scomoda...
$f(\vec x) = f(\vec x_0) + <(J_f)(\vec x_0)|(\vec x-\vec x_0)> + <(H_f)(\vec x_0)(\vec x - \vec x_0)|(\vec x - \vec x_0)> + o((\vec x - \vec x_0)^2)$
dove $
E da qui vengono valutati i massimi e minimi... come nel caso unidimensionale quando tutte le derivate sono nulle, si prosegue valutando le derivate successive, qui sarebbero da valutare i tensori successivi dello sviluppo di Taylor.
Ovviamente la cosa è parecchio scomoda...
Vorrei provare con un altro esercizio molto semplice
$f(x, y) = xy(x + y)$
Allora mi costruisco le derivate parziali, vedo dove si annullano e le inserisco nella matrice hessiana! L'unico punto critico mi viene $P = (0, 0)$ e la matrice hessiana associata è la matrice nulla!
Ora non posso dire nulla ma devo studiarmi il segno della funzione, e qui comincio ad avere delle difficoltà (scusate l'ingenuità)!
$xy(x + y) > 0$
$\{(xy > 0), (x + y > 0):}$
abbiamo che quando il segno di $x$ e $y$ sono discordi (primo e terzo quadrante) $xy >0$ e quando $y > -x$ la funzione è magiore di zero, quiandi mettendo tutto insieme ho che la funzione è positiva nel primo, seconda metà del secondo e prima metà del quarto (quadrante) e negativa nelle altre zone! Quindi $(0, 0)$ è un punto di sella!
PS se qualcuno mi aiuta metto anche io i segnetti nel grafico che non ho capito come si fa
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("y = -x");[/asvg]
$f(x, y) = xy(x + y)$
Allora mi costruisco le derivate parziali, vedo dove si annullano e le inserisco nella matrice hessiana! L'unico punto critico mi viene $P = (0, 0)$ e la matrice hessiana associata è la matrice nulla!
Ora non posso dire nulla ma devo studiarmi il segno della funzione, e qui comincio ad avere delle difficoltà (scusate l'ingenuità)!
$xy(x + y) > 0$
$\{(xy > 0), (x + y > 0):}$
abbiamo che quando il segno di $x$ e $y$ sono discordi (primo e terzo quadrante) $xy >0$ e quando $y > -x$ la funzione è magiore di zero, quiandi mettendo tutto insieme ho che la funzione è positiva nel primo, seconda metà del secondo e prima metà del quarto (quadrante) e negativa nelle altre zone! Quindi $(0, 0)$ è un punto di sella!
PS se qualcuno mi aiuta metto anche io i segnetti nel grafico che non ho capito come si fa
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("y = -x");[/asvg]
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