MAX E MINIMI ASSOLUTI IMPOSSIBILE
calcolare se esistono i max e min assoluti della funzione
f(x,y)=3x-2y
sull'insieme D= [ (x,y)appartenente R^2 : y>= |senx| ; x^2+y^2 <=25 ; x appartiene all'intervallo (- pigreco,pigreco)
purtroppo mi dovete scusare ma non so scrivere nell'altro modo spero che ora sia piu chiaro...
come si svolge??potreste svolgermelo???[/quote]
f(x,y)=3x-2y
sull'insieme D= [ (x,y)appartenente R^2 : y>= |senx| ; x^2+y^2 <=25 ; x appartiene all'intervallo (- pigreco,pigreco)
purtroppo mi dovete scusare ma non so scrivere nell'altro modo spero che ora sia piu chiaro...
come si svolge??potreste svolgermelo???[/quote]
Risposte
Ciao!
Siccome non ricordo eventuali teoremi stratosferici tipo moltiplicatori di Lagrange (che tra l'altro non credo sia applicabile a questo caso), propongo una soluzione un po' originale.
Per cominciare, massimo e minimo assoluto esistono sicuramente perché stiamo parlando di una funzione continua su un compatto.
Una figura può aiutare:
L'area colorata di rosso è quella in cui dobbiamo cercare massimi e minimi assoluti.
La cosa importante da tenere presente è che la funzione $f(x,y)=3x-2y$ è lineare, e di conseguenza ristretta a qualsiasi retta essa è strettamente monotona oppure costante (è facile convincersene). Questo implica che se un punto interno alla zona rossa realizza il massimo assoluto o il minimo assoluto allora lo stesso fa un punto di frontiera (perché esiste un aperto "rosso" che contiene una retta contenente il punto; se su tale retta la f è costante basta studiare i punti di intersezione con la frontiera). Quindi il massimo e il minimo assoluti sono raggiunti sulla frontiera della zona rossa.
Ora è facile convincersi che la f ristretta al segmento AF realizza massimo e minimo sui punti A, F (non necessariamente nell'ordine): infatti la f è strettamente monotona oppure costante lungo la retta AF. Lo stesso vale per CD.
Per quanto riguarda i due archi di sinusoide aperti (cioè senza i punti A, B, C), per ogni punto di tali archi la retta tangente interseca la zona rossa "da ambo i lati", quindi essendo la f strettamente monotona o costante lungo tale retta, se un punto di uno dei due archi realizza massimo o minimo assoluti, lo stesso fanno i punti di intersezione della tangente con la frontiera.
Ci siamo quindi ridotti a cercare massimo e minimo assoluti sull'arco FD (ove non è possibile utilizzare un ragionamento analogo perché qui ogni punto ha una tangente "buona") e sui punti A, B, C.
Sull'arco FD risulta $f(x,sqrt{25-x^2}) = 3x-2sqrt{25-x^2}$, con x che varia tra $-pi$ e $pi$. Un rapido studio di funzione mostra che la $g(x):=f(x,sqrt{25-x^2})$ è strettamente crescente in $(-pi,pi)$, quindi nella ricerca degli estremanti ci possiamo limitare ai punti F, D.
Quindi basta confrontare i valori f(A), f(B), f(C), f(D), f(F) per trovare massimo e minimo assoluto.
Si trova che il massimo assoluto è $f(C)=3pi$, e il minimo assoluto è $f(F)=-3pi-2sqrt{25-pi^2}$.
Siccome non ricordo eventuali teoremi stratosferici tipo moltiplicatori di Lagrange (che tra l'altro non credo sia applicabile a questo caso), propongo una soluzione un po' originale.
Per cominciare, massimo e minimo assoluto esistono sicuramente perché stiamo parlando di una funzione continua su un compatto.
Una figura può aiutare:
L'area colorata di rosso è quella in cui dobbiamo cercare massimi e minimi assoluti.
La cosa importante da tenere presente è che la funzione $f(x,y)=3x-2y$ è lineare, e di conseguenza ristretta a qualsiasi retta essa è strettamente monotona oppure costante (è facile convincersene). Questo implica che se un punto interno alla zona rossa realizza il massimo assoluto o il minimo assoluto allora lo stesso fa un punto di frontiera (perché esiste un aperto "rosso" che contiene una retta contenente il punto; se su tale retta la f è costante basta studiare i punti di intersezione con la frontiera). Quindi il massimo e il minimo assoluti sono raggiunti sulla frontiera della zona rossa.
Ora è facile convincersi che la f ristretta al segmento AF realizza massimo e minimo sui punti A, F (non necessariamente nell'ordine): infatti la f è strettamente monotona oppure costante lungo la retta AF. Lo stesso vale per CD.
Per quanto riguarda i due archi di sinusoide aperti (cioè senza i punti A, B, C), per ogni punto di tali archi la retta tangente interseca la zona rossa "da ambo i lati", quindi essendo la f strettamente monotona o costante lungo tale retta, se un punto di uno dei due archi realizza massimo o minimo assoluti, lo stesso fanno i punti di intersezione della tangente con la frontiera.
Ci siamo quindi ridotti a cercare massimo e minimo assoluti sull'arco FD (ove non è possibile utilizzare un ragionamento analogo perché qui ogni punto ha una tangente "buona") e sui punti A, B, C.
Sull'arco FD risulta $f(x,sqrt{25-x^2}) = 3x-2sqrt{25-x^2}$, con x che varia tra $-pi$ e $pi$. Un rapido studio di funzione mostra che la $g(x):=f(x,sqrt{25-x^2})$ è strettamente crescente in $(-pi,pi)$, quindi nella ricerca degli estremanti ci possiamo limitare ai punti F, D.
Quindi basta confrontare i valori f(A), f(B), f(C), f(D), f(F) per trovare massimo e minimo assoluto.
Si trova che il massimo assoluto è $f(C)=3pi$, e il minimo assoluto è $f(F)=-3pi-2sqrt{25-pi^2}$.
dove lo hai preso $f(x,sqrt (25-x^2)$
questo non capisco
questo non capisco
$ x^2+y^2 = 25 $ è l'equazione della circonferenza di centro l'origine e raggio 5 .
Deduci $y = +-sqrt(25-x^2 )$ ; se interessa la parte superiore della crf allora $ y = sqrt(25-x^2) $.
Deduci $y = +-sqrt(25-x^2 )$ ; se interessa la parte superiore della crf allora $ y = sqrt(25-x^2) $.
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